Anno accademico 2017 18 Corso di Germana Scepi

Anno accademico 2017 -’ 18 Corso di Germana Scepi Lezione: 2 Argomento: Statistica e Analisi delle Serie Storiche scepi@unina. it I valori medi

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi Gli indici sintetici G: SCEPI Medie Variabilità Forma Consentono il passaggio da una pluralità di informazioni ad un’unica misura numerica; Sintetizzano l’intera distribuzione in un singolo valore, consentendo così confronti nel tempo, nello spazio o tra circostanze differenti; In alcuni casi, consentono di verificare se le conseguenze di una determinata azione abbiano prodotto il risultato desiderato, in quale direzione e con quale intensità.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi Gli indici sintetici G: SCEPI Medie Variabilità Forma Indici Dipendono dalla natura della variabile che si sta esaminando e sono espressi nella stessa unità di misura della variabile. Indici relativi Sono svincolati dall’unità di misura perché costruiti come rapporti tra indici assoluti o tra indici assoluti e loro valori estremi. Sono, quindi, numeri puri, utili per confrontare fenomeni omogenei. Indici Sono particolari indici relativi che variano in un intervallo finito, generalmente in [0, 1] oppure in [-1, +1]. Sono, quindi, di immediata interpretazione. assoluti normalizzati

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Gli indici di posizione: le medie Una media secondo Chisini La media di una variabile X è quel valore M, compreso tra minimo e massimo di una distribuzione di frequenza, che rispetto ad una funzione sintetica delle osservazioni ne lascia inalterato il valore: La media M è, dunque, quel valore che eguaglia la funzione f(. ) quando alle osservazioni si sostituisce il valore costante M. Il punto cruciale è specificare f(. ) in funzione della natura della variabile (additiva, moltiplicativa, inversa, …).

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Gli indici di posizione: le medie Es. : 125, 1. 250, 75, 84, 648 (€) Calcoliamo la media Che tipo di relazione esiste tra i diversi valori osservati? Additiva La definizione del Chisini ci dice che la media M è quel valore che risolve l’equazione:

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica Relazione di additività Criterio del Chisini Media semplice: Media con dati organizzati in frequenze: Media con le frequenze relative: G: SCEPI

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica (per distribuzioni semplici) Esempio G: SCEPI

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica (per distribuzioni semplici) Esempio 1. =20, 66 anni 2. =20, 66 anni 3. =20, 66 anni

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica (per distribuzioni in classi) Esempio In questo caso, la soluzione più comune consiste nell’utilizzare il valore centrale delle classi.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica (per distribuzioni in classi) Esempio In questo caso, la soluzione più comune consiste nell’utilizzare il valore centrale delle classi. Ipotizzando un valore max=120 minuti =31, 2 minuti

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica: le proprietà 1. Criterio di internalità La m. a. è sempre compresa tra il minimo e il massimo della distribuzione osservata: Distribuzione ordinata in modo non decrescente 2. La media come baricentro La somma degli scarti dalla media è nulla:

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica: le proprietà 3. Linearità della m. a. Se la variabile X ha media μ , allora la variabile Y=α +β X ha media pari a α +βμ : Questa proprietà implica che: . ) Se si aggiunge o si sottrae una costante α alla variabile X, la media sarà modificata dello stesso ammontare (caso β =1) . ) Se la variabile X è moltiplicata per un coefficiente β costante, la media risulterà moltiplicata per lo stesso ammontare (caso α =0)

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica: le proprietà 4. Proprietà associativa della m. a. La media di una variabile osservata in più gruppi può essere ottenuta come media delle medie dei singoli gruppi, tenuto conto della eventuale differente numerosità: Data una popolazione su cui è definita una variabile X con media μ , se dividiamo la popolazione in k gruppi, di numerosità n 1, n 2, …, nk, si ha: 5. Minimizzazione dei quadrati degli scarti La media aritmetica rende minima la somma degli scarti al quadrato:

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica Unità statistica: STUDENTE ETA’: Variabile continua (discretizzata) Indici sintetici GENERE: Mutabile sconnessa Distribuzione di frequenza

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica Unità statistica: STUDENTE ETA’: Variabile continua (discretizzata) GENERE: Mutabile sconnessa G: SCEPI

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica G: SCEPI Internalità Min=19 ; Max=23

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica G: SCEPI Proprietà baricentrica 0

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica G: SCEPI Proprietà baricentrica

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica G: SCEPI Proprietà baricentrica

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica Proprietà associativa Età Maschi: Età Femmine: Età complessiva: N. B. – In questo caso non avrebbe alcun senso effettuare una media semplice tra il valore medio dei maschi e quello delle femmine, perché queste ultime, essendo più numerose, hanno un “peso” maggiore. Tale peso è rappresentato dalla frequenza relativa.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica Minimizzazione della somma dei quadrati degli scarti 0 22, 93 Inserendo un qualsiasi valore diverso dalla media aritmetica nell’espressione: si ottiene un risultato maggiore di quello ottenuto con la m. a. (quindi, la m. a. minimizza la somma dei quadrati degli scarti).

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica ponderata Il medagliere ufficiale di Londra 2012 N. B. - La classifica viene convenzionalmente stilata secondo il numero di medaglie d’oro vinte e non secondo il numero totale di medaglie. Questo spiega perché, ad esempio, la Corea del Sud preceda nella classifica Paesi come la Germania, la Francia, l’Italia e l’Australia, che hanno un numero complessivo di medaglie più alto ma un numero minore di medaglie d’oro.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica ponderata O A B T Questa è la classifica ufficiale, stilata secondo il criterio del numero di medaglie d’oro. Se considerassimo il numero complessivo di medaglie, le prime due posizioni risulterebbero invertite.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica ponderata O A B T Se stiliamo la classifica sulla base del numero complessivo di medaglie, diamo peso uguale a tutti i “metalli” (oro, argento e bronzo). Se lo facciamo sul solo numero di medaglie d’oro, non teniamo in nessun conto gli argenti e i bronzi. Decidiamo di dare, alle diverse medaglie, i pesi 6: 3: 1 I fattori di ponderazione diventano: Oro Argento Bronzo

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica ponderata O Es. : CINA: A B T

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica ponderata O Es. : USA: A B T

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica ponderata G: SCEPI

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica ponderata Tabella iniziale Tabella dopo la riponderazione

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La media aritmetica ponderata Tabella iniziale Tabella dopo la riponderazione

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica ponderata G: SCEPI

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La media aritmetica ponderata G: SCEPI

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Le medie “robuste” n=15 X=Euro in tasca Distribuzione ordinata Me =30 €

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Le medie “robuste” La mediana, Me, è il valore assunto dall’unità statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata in modo non decrescente. E’ un indice “robusto” in quanto non dipende da variazioni che si verificano nelle code della distribuzione (dove si possono trovare i c. d. “valori anomali”) I passi per il calcolo della mediana 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente 2. Si individua la posizione mediana: n dispari: n pari: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Le medie “robuste” I passi per il calcolo della mediana 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente 2. Si individua la posizione mediana: n dispari: n pari: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana n=15 X=Euro in tasca 1. Distribuzione ordinata: 2. 3. Mediana=30 €

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Le medie “robuste” La mediana, Me, è il valore assunto dall’unità statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata in modo non decrescente. E’ un indice “robusto” in quanto non dipende da variazioni che si verificano nelle code della distribuzione (dove si possono trovare i c. d. “valori anomali”) I passi per il calcolo della mediana 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente 2. Si individua la posizione mediana: n dispari: n pari: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana Per dati raggruppati in classi:

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Le medie “robuste” La mediana, Me, è il valore assunto dall’unità statistica che occupa la posizione centrale della distribuzione ordinata in modo non decrescente. E’ un indice “robusto” in quanto non dipende da variazioni che si verificano nelle code della distribuzione (dove si possono trovare i c. d. “valori anomali”) I passi per il calcolo della mediana 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente 2. Si individua la posizione mediana: n dispari: n pari: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana Frequenza cumulata fino alla classe precedente la classe mediana Per dati raggruppati in classi: Limite inferiore della classe mediana Frequenza relativa cumulata fino alla classe prec. la classe mediana ; Ampiezza della classe mediana Frequenza relativa della classe mediana

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La mediana Esempio G: SCEPI 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente Posizione mediana: 2. Si individua la posizione mediana n dispari: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana n pari: Per dati raggruppati in classi:

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La mediana Esempio G: SCEPI 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente Posizione mediana: 2. Si individua la posizione mediana n dispari: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana n pari: 1. Si ordina la distribuzione: E’ già ordinata 2. Si individua la posizione mediana: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana:

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La mediana Esempio G: SCEPI 1. Si ordina la distribuzione in modo non decrescente Posizione mediana: 2. Si inidividua la posizione mediana n dispari: 3. Si osserva il valore che occupa la posizione mediana n pari: Per dati raggruppati in classi:

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi La mediana Esempio G: SCEPI

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI La mediana Esempio N. B. – La differenza rispetto al risultato precedente è dovuto al solo effetto arrotondamento legato all’aver utilizzato tre cifre decimali. Utilizzando tutti i decimali, i risultati sarebbero identici.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili n=45 • La presenza di uno o più valori “anomali” potrebbe rendere la media aritmetica non rappresentativa dell’insieme considerato; • La media aritmetica è, molto probabilmente, un valore non presente nella distribuzione;

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili Posizione mediana 1 Più giovane (18 anni) 45 Meno giovane (25 anni)

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili 1 Quantili Posizione mediana Valore mediano = 22 45 anni • La presenza di uno o più valori “anomali” potrebbe non avere alcuna conseguenza sul valore mediano, dal momento che le “posizioni relative” delle unità non cambiano; • La mediana è sempre un valore osservato nella distribuzione.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili 45 1 Q 1 = 19 anni Q 2=Me=22 anni Q 3 = 23 anni

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili 45 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 5=Q 2=Me=22 anni D 8 D 9

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili 45 1 P 10 P 50=D 5=Q 2=Me=22 anni P 95

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili 4500 1 P 10 P 50 P 95

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti Esempio: Giorni di allacciamento per nuove utenze telefoniche compagnia XYZ Determinare: • Il valore medio; • il valore mediano.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili A. Distribuzioni semplici: 1. Si individua la posizione quantile ; 2. Si osserva il valore che occupa la posiz. quantile Calcolare: 1. il 3° quartile ; 2. il 1° decile ; 3. il 70° percentile

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili B. Distribuzioni in classi: 1. Si individua la classe quantile ; Specifico quantile cercato Limite inferiore della classe quantile 2. Si calcola il valore quantile Frequenza cumulata fino alla classe precedente la classe quantile Ampiezza della classe quantile Frequenza della classe quantile Frazione quantile Frequenza relativa cumulata fino alla classe prec. la classe quantile Frequenza relativa della classe quantile

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici robusti • Quartili • Decili • Percentili Quantili B. Distribuzioni in classi: 1. Si individua la classe quantile ; Calcolare: 1. il 3° quartile ; 2. Si calcola il valore quantile 2. il 1° decile ; 3. il 70° percentile

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici di tendenza centrale • La moda Mo di una distribuzione di frequenza è la modalità cui corrisponde la massima frequenza, assoluta o relativa. E’un indice di immediata interpretazione e può essere calcolata anche per variabili qualitative. Nel caso di variabili continue, si considera generalmente la sola classe modale. Mo=20 anni

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici di tendenza centrale • La moda Mo di una distribuzione di frequenza è la modalità cui corrisponde la massima frequenza, assoluta o relativa. E’un indice di immediata interpretazione e può essere calcolata anche per variabili qualitative. Nel caso di variabili continue, si considera generalmente la sola classe modale. Classe modale=20 -40 anni

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Altri indici di tendenza centrale • La moda Mo di una distribuzione di frequenza è la modalità cui corrisponde la massima frequenza, assoluta o relativa. E’un indice di immediata interpretazione e può essere calcolata anche per variabili qualitative. Nel caso di variabili continue, si considera generalmente la sola classe modale. Classe modale=20 -40 anni

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Caratteri, informazioni e indici Variabili quantitative Media, Mediana, Moda Mutabili ordinabili Mediana, Moda Mutabili sconnesse Moda

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Quale valore medio scegliere? La scelta del valore medio dipende dal tipo e dalle caratteristiche della distribuzione; Più che individuare l’indice “migliore in assoluto” (che non esiste), è importante anche valutare le differenze tra le diverse misure, che possono fornire ulteriori, importanti informazioni anche, ad esempio, sulla forma della distribuzione; Volendo comunque definire delle caratteristiche dei diversi indici di posizione, possiamo dire che: (Piccolo, pag. 95) moda è utile quando occorre “minimizzare gli scontenti”, e quindi in tutte quelle situazioni in La cui il consenso e il numero delle singole unità ha significato per la decisione. In breve, la moda è un indice per governare; mediana minimizza i costi complessivi ed è resistente ai valori estremi. Quindi, la mediana è La un indice per decisioni che implicano costi elevati nei casi estremi; media aritmetica è il baricentro dei dati e propone, quindi, un valore che equi-ripartisce il La fenomeno tra le unità statistiche, pervenendo così a decisioni nelle quali contano, a parità numerica, gli estremi molto più dei valori centrali. Quindi, la media aritmetica è un indice di equilibrio generale.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Esercizi di riepilogo Si riporta di seguito la distribuzione per fasce di età della popolazione della Circoscrizione di Fuorigrotta (Fonte, Censimento 2001): Definire: • l’unità statistica • il tipo di variabili osservate Calcolare: • la media, la mediana e la moda • il primo e il terzo quartile • il decimo e il novantesimo percentile Disegnare: • l’istogramma

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi G: SCEPI Esercizi di riepilogo Esempio: Giorni di allacciamento per nuove utenze telefoniche compagnia XYZ Determinare: • Il valore medio; • il valore mediano; • la classe modale; • il primo quartile; • il 90° percentile; • il 99° percentile.

Università di Napoli Federico II, DISES, A. a. 2017 -18 Lezione 2 – I valori medi Esercizi di riepilogo In un ascensore di un grande Centro commerciale è scritto: Carico max: 1000 kg, e per motivi di sicurezza l’ascensore non parte se tale peso è superato. Supponiamo che siano già dentro 13 persone, il cui peso medio è di 69, 5 kg, e che un altro signore di 90 kg stia entrando: l’ascensore partirà? G: SCEPI