Anlisis Matemtico III P R I M E

Análisis Matemático III P R I M E R AP A R T E Funciones S E G U N D AP A R T E Integrales T E R C E R AP A R T E Ecuaciones diferenciales C U A R T AP A R T E Método para resolver una ecuación diferencial

Parte I Funciones

FUNCIONES Definición f Función A y B Conjuntos La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B. x A a f(x) f(a) B

FUNCIONES Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales: Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f). Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A. El número f(x) es el valor de f en x.

FUNCIONES y y=f(x) Rango x Dominio

FUNCIONES Ejemplo Encuentre el dominio y rango de cada función: 1. f(x)=2 x-1 2. g(x)=x 2

FUNCIONES Solución 1. La ecuación de la gráfica es y=2 x-1, la cual es la ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R. 1 -1 -1 1/ 2 1

FUNCIONES Solución 2. La ecuación de la gráfica g(x)=x 2, la cual representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo. 4 3 2 1 -2 -1 1 2

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Funciones Potencia Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma: Ejemplos:

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Función Exponencial Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma: Ejemplos:

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Propiedades de la Función Exponencial Siendo: 1. 4. 2. 5. 3. 6.

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2. 71828. Definición La función exponencial para cualquier x є R se define como: Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Gráfica de la Función Exponencial “base e” 4 3 2 1 -1. 5 -1 -0. 5 1 1. 5

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Función Logarítmica Para a>0 y a 1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como: Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos: Forma Logarítmica Forma Exponencial log 28=3 23=8 loga 1=0 a 0=1 log 10 0. 1=-1 10 -1=0. 1 log 10 1000=3 103=1000

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Propiedades de la Función Logarítmica Siendo: a, b 1 y x, y >0 se tienen las siguientes características: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Logaritmo Natural Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por: Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Función de Logaritmo Natural 0. 5 -1 -2 -3 -4 1 1. 5 2

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Propiedades como Funciones Inversas 1. Si a > 0 y a 1 se tiene: 2. Si a = e se tiene:

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Ejemplo: Desarrolla las siguientes expresiones:

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Solución: 1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Solución: 2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Solución: 3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Solución: 4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:

I. 1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Ejercicios de Tarea: 1. Desarrolla la siguiente expresión: 2. Despejar x de las siguientes expresión: a) b) c)

I. 2 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN EXPONENCIAL Funciones de Base Arbitraria Para a>0 y a 1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es: y para la derivada de au es:

I. 2 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN EXPONENCIAL Ejemplo: 1. Derivar las siguientes funciones: (a) y=2 x (b) y=2 senx Solución: (a) (b)

I. 2 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN EXPONENCIAL Funciones de Base e Para a>0 y a 1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es: y para la derivada de eu es:

I. 2 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicios para Realizar en Clase: 1. Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e 3 x+1 b) y=(ex+1)2 c) y=e 3 x d) y=etan 3 x

I. 2 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicios de Tarea: 1. Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a 5 x-1 b) y=x 2 ex c) y=e 5 x

I. 3 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN LOGARÍTMICA Derivación con Base e Si a>0, a 1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es: y la derivada de lnu es:

I. 3 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN LOGARÍTMICA Ejemplo: 1. Derivar las siguientes funciones: (a) (b) Solución: (a) (b)

I. 3 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN LOGARÍTMICA Ejercicios para Resolver en Clase: 1. Derivar las siguientes funciones: a) b) c)

I. 3 DIFERENCIACIÓN DE LAFUNCIÓN LOGARÍTMICA Ejercicios de Tarea: 1. Derivar las siguientes funciones: a) b)

I. 3. 1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. Método de la Derivación Logarítmica: 1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar. 2. Derive con respecto a x. 3. Resuelva la ecuación resultante para y’.

I. 3. 1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Ejemplo: 1. Derivar las siguiente ecuación: Solución:

I. 3. 1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Ejercicios para Resolver en Clases: 1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones: a) b)

I. 3. 1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Ejercicios de Tarea: 1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones: a) b)

C APÍTULO II Integrales

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Definición Una función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I. Ejemplo Se necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4 x 3, por los conocimientos en diferenciación se diría que: Por lo tanto F es una primitiva de f.

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Familia de Primitivas: Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma: Ejemplo Sabemos que la función F(x)=x 4 es una primitiva de f(x)=4 x 3 así que las siguientes funciones: G 1(x)=x 4+5 G 2(x)=x 4 -123 también son primitivas de f(x). Es la familia de primitivas de f(x)

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación: Definición El proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos: lo que significa que:

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Partes de la Integración: Variable de Integración Símbolo de la Integración Integrando Constante de Integración

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Reglas de la Integración: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Reglas de la Integración: 9. 10. 11. 12. 13. 14.

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Ejemplo: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1. 2. 3. 4. 5.

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Solución: 1. 2. 3.

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Solución: 4. 5.

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Ejercicios para resolver en Clase: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1. 2. 3.

II. 1 INTEGRAL INDEFINIDA Ejercicios de Tarea: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1. 2. 3.

II. 2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Identidades Fundamentales: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

II. 2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración: 15. 16. 17. 18.

II. 2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejemplo: Calcular la siguiente integral Solución:

II. 2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejercicios para Resolver en Clases: 1. Resolver las siguientes integrales a) b) c)

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Ramas del Cálculo Diferencial Cálculo Integral Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Teorema Fundamental de Cálculo Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces: Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Propiedades de la Integral Definida Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces: 1. Si k es cualquier constante entonces: 2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Propiedades de la Integral Definida 3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]: 4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Propiedades de la Integral Definida 5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Ejemplo Resuelva las siguientes integrales: 1. 2.

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Solución: 1. Geométricamente la integración de la función (1) en el intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada:

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Solución: 2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Ejercicios para Resolver en Clase Resolver las siguientes integrales: 1. 2. 3.

II. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Ejercicios de Tarea Resolver las siguientes integrales: 1. 2. 3.

II. 4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Método de Sustitución Sea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces: Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y: Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.

II. 4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Ejemplo: 1. Resolver la integral: Solución:

II. 4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Ejercicios para Resolver en Clases 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) b) c)

II. 4. 1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución. Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:

II. 4. 1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación: Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces

II. 4. 1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Ejemplo Solución Tomando la sustitución u=2 x+1 tenemos que Hallamos los nuevos límites de integración:

II. 4. 1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Por lo tanto:

II. 4. 1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Ejemplo: Evaluar la siguiente integral

II. 4. 1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS Ejercicios para Resolver en Clase Evaluar las siguientes integrales: 1. 2. 3.

II. 4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Ejercicios de Tarea Calcular las siguientes integrales 1. 2. 3.

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces: Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Ejemplo Solución De manera que:

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Solución Notamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cosx y v=x 2/2 por lo que: es una integral mas difícil de calcular.

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Ejemplo Solución De manera que: La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que:

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Ejercicios para Resolver en Clase Resuelva las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4.

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Fórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Ejemplo De donde: Por lo tanto:

II. 5 INTEGRACIÓN POR PARTES Ejercicios de Tarea Resuelva las siguientes integrales: 1. 5. 2. 6. 3. 7. 4.