Anlisis Factorial El anlisis Factorial AF fue introducido

Análisis Factorial El análisis Factorial (AF) fue introducido por el psicólogo Charles Spearman (1904) ya que decidió realizar su tesis doctoral sobre la medición objetiva de la inteligencia y propuso el primer modelo factorial, basado en un solo factor. El AF es una técnica estadística que establece una relación entre variables y atributos que a primera vista no son aparentemente relacionados, también proporciona la estructura interna, las relaciones subyacentes, permitiendo establecer cómo unos factores afectan a otros y permite crear un modelo matemático, también permite reducir un conjunto de variables a un número de factores representativos.

Existen dos tipos de AF, el Análisis Factorial Exploratorio (AFE) y el Análisis Factorial Confirmatorio (AFC), el primero se usa para tratar de descubrir la estructura interna de un número relativamente grande de variables, aquí la hipótesis a priori del investigador es que puede existir una serie de factores asociados a grupos de valores y el segundo trata de determinar si el número de factores obtenidos y sus cargas corresponden con los que cabría esperar a la luz de una teoría previa acerca de los datos, aquí la hipótesis a priori del investigador es que existen unos determinados factores preestablecidos y que cada uno de ellos está asociado con un determinado subconjunto de variables.

El cual puede representarse en forma matricial como: Donde

Que llamaremos comunalidad y al segundo se le conoce como varianza especifica, de esta forma

Rotación de Criterio Varimax (Ortogonal) Esta rotación conduce al criterio de maximizar la varianza de los coeficientes que definen los efectos de cada factor sobre las variables observadas. Rotación de Criterio de Quartimax Minimiza la variabilidad de los coeficientes para cada variable, reduciendo así el número de factores para explicar una variable. Simplifica la interpretación de las variables, mejorando la solución por filas, se utiliza cuando en el modelo hay muchos factores.

Ejemplo 3 La contaminación por mercurio de peces de agua dulce comestibles es una amenaza directa contra nuestra salud. Entre 1990 y 1991, se llevó a cabo un estudio en 53 lagos de Florida con el fin de examinar los factores que influyen en el nivel de contaminación por mercurio. Las variables que se midieron fueron X 1=Número de identificación del lago X 2= nombre del lago X 3=Alcalinidad (mg/l de carbonato de calcio) X 4=p. H X 5= calcio (mg/l) X 8= Número de peces estudiados por lago X 9= Mínimo de la concentración de mercurio en cada grupo de peces X 10= Máximo de la concentración de mercurio en cada grupo de peces X 11= Estimación (mediante regresión) de la X 6= Clorofila (mg/l) concentración de mercurio en un pez de 3 años X 7= Concentración media de mercurio (partes (o promedio de mercurio cuando la edad no está por millón) en el tejido muscular del grupo de disponible) peces estudiados en cada lago X 12= Indicador de la edad de los peces

X 1 X 2 1 Alligator 2 Annie 3 Apopka 4 Blue Cypress 5 Brick 6 Bryant 7 Cherry 8 Crescent 9 Deer Point 10 Dias 11 Dorr 12 Down 13 Eaton 14 East Tohopekaliga 15 Farm-13 16 George 17 Griffin 18 Harney 19 Hart 20 Hatchineha 21 Iamonia 22 Istokpoga 23 Jackson 24 Josephine 25 Kingsley 26 Kissimmee 27 Lochloosa X 3 X 4 5. 9 3. 5 116 39. 4 2. 5 19. 6 5. 2 71. 4 26. 4 4. 8 6. 6 16. 5 25. 4 7. 1 128 83. 7 108. 5 61. 3 6. 4 31 7. 5 17. 3 12. 6 7 10. 5 30 55. 4 X 5 6. 1 5. 1 9. 1 6. 9 4. 6 7. 3 5. 4 8. 1 5. 8 6. 4 5. 4 7. 2 5. 8 7. 6 8. 2 8. 7 7. 8 5. 8 6. 7 4. 4 6. 7 6. 1 6. 9 5. 5 6. 9 7. 3 X 6 3 1. 9 44. 1 16. 4 2. 9 4. 5 2. 8 55. 2 9. 2 4. 6 2. 7 13. 8 25. 2 86. 5 66. 5 35. 6 57. 4 4 15 2 10. 7 3. 7 6. 3 13. 9 15. 9 X 7 0. 7 3. 2 128. 3 3. 5 1. 8 44. 1 3. 4 33. 7 1. 6 22. 5 14. 9 4 11. 6 5. 8 71. 1 78. 6 80. 1 13. 9 4. 6 17 9. 6 9. 5 21 32. 1 1. 6 21. 5 24. 7 X 8 1. 23 1. 33 0. 04 0. 44 1. 2 0. 27 0. 48 0. 19 0. 83 0. 81 0. 71 0. 5 0. 49 1. 16 0. 05 0. 19 0. 77 1. 08 0. 98 0. 63 0. 56 0. 41 0. 73 0. 34 0. 59 0. 34 X 9 5 7 6 12 12 14 10 12 24 12 12 12 7 43 11 10 40 6 12 12 10 36 10 X 10 0. 85 0. 92 0. 04 0. 13 0. 69 0. 04 0. 3 0. 08 0. 26 0. 41 0. 52 0. 1 0. 26 0. 5 0. 04 0. 12 0. 07 0. 32 0. 64 0. 67 0. 33 0. 37 0. 25 0. 33 0. 25 0. 23 0. 17 X 11 X 12 1. 43 1. 53 1 1. 9 1. 33 0 0. 06 0. 04 0 0. 84 0. 44 0 1. 5 1. 33 1 0. 48 0. 25 1 0. 72 0. 45 1 0. 38 0. 16 1 1. 4 0. 72 1 1. 47 0. 81 1 0. 86 0. 71 1 0. 73 0. 51 1 1. 01 0. 54 1 2. 03 1 1 0. 11 0. 05 0 0. 18 0. 15 1 0. 43 0. 19 1 1. 5 0. 49 1 1. 33 1. 02 1 1. 44 0. 7 1 0. 93 0. 45 1 0. 94 0. 59 1 0. 61 0. 41 0 2. 04 0. 81 1 0. 62 0. 42 1 1. 12 0. 53 1 0. 52 0. 31 1

X 1 X 2 28 Louisa 29 Miccasukee 30 Minneola 31 Monroe 32 Newmans 33 Ocean Pond 34 Ocheese Pond 35 Okeechobee 36 Orange 37 Panasoffkee 38 Parker 39 Placid 40 Puzzle 41 Rodman 42 Rousseau 43 Sampson 44 Shipp 45 Talquin 46 Tarpon 51 Tohopekaliga 47 Trafford 48 Trout 49 Tsala Apopka 50 Weir 52 Wildcat 53 Yale X 3 X 4 3. 9 5. 5 6. 3 67 28. 8 5. 8 4. 5 119. 1 25. 4 106. 5 53 8. 5 87. 6 114 97. 5 11. 8 66. 5 16 5 25. 6 81. 5 1. 2 34 15. 5 17. 3 71. 8 X 5 4. 8 5. 8 7. 4 3. 6 4. 4 7. 9 7. 1 6. 8 8. 4 7 7. 5 7 6. 8 5. 9 8. 3 6. 7 6. 2 8. 9 4. 3 7 6. 9 5. 2 7. 9 X 6 3. 3 1. 7 3. 3 58. 6 10. 2 1. 6 1. 1 38. 4 8. 8 90. 7 45. 6 2. 5 85. 5 72. 6 45. 5 24. 2 26 41. 2 23. 6 12. 6 20. 5 2. 1 13. 1 5. 2 3 20. 5 X 7 7 14. 8 0. 7 43. 8 32. 7 3. 2 16. 1 45. 2 16. 5 152. 4 12. 8 20. 1 6. 4 6. 2 1. 6 68. 2 24. 1 9. 6 27. 7 9. 6 6. 4 4. 6 16. 5 2. 6 8. 8 X 8 0. 84 0. 5 0. 34 0. 28 0. 34 0. 87 0. 56 0. 17 0. 18 0. 19 0. 04 0. 49 1. 1 0. 16 0. 1 0. 48 0. 21 0. 86 0. 52 0. 65 0. 27 0. 94 0. 43 0. 25 0. 27 X 9 8 11 10 10 10 12 13 13 4 12 10 12 12 12 44 6 10 12 11 12 12 X 10 0. 59 0. 31 0. 19 0. 16 0. 31 0. 25 0. 07 0. 09 0. 05 0. 04 0. 31 0. 79 0. 04 0. 05 0. 27 0. 05 0. 36 0. 31 0. 3 0. 04 0. 59 0. 08 0. 23 0. 15 X 11 1. 38 0. 84 0. 69 0. 59 0. 65 1. 9 1. 02 0. 3 0. 29 0. 37 0. 06 0. 63 1. 41 0. 26 1. 05 0. 48 1. 4 0. 95 1. 1 0. 4 1. 24 0. 9 0. 69 0. 4 0. 51 X 12 0. 87 0. 5 0. 47 0. 25 0. 41 0. 87 0. 56 0. 16 0. 23 0. 04 0. 56 0. 89 0. 18 0. 19 0. 44 0. 16 0. 67 0. 55 0. 58 0. 27 0. 98 0. 31 0. 43 0. 28 0. 25 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1

Factor Porcentaje de Númer Eigenvalo Varianza o r 1 5. 36123 53. 612 2 1. 25426 12. 543 3 1. 21668 12. 167 4 0. 909433 9. 094 5 0. 591417 5. 914 6 0. 303147 3. 031 7 0. 206736 2. 067 8 0. 086821 0. 868 3 9 0. 051639 0. 516 10 0. 018637 0. 186 Porcentaje Acumulado 53. 612 66. 155 78. 322 87. 416 93. 330 96. 362 98. 429 99. 297 99. 814 100. 000

Matriz de Cargas Antes de Rotar X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 Factor 1 0. 811926 0. 780309 0. 652218 0. 656059 -0. 922255 -0. 061766 -0. 852987 -0. 877406 -0. 930945 -0. 137338 Factor 2 -0. 242932 -0. 245724 -0. 293991 0. 114178 -0. 13556 -0. 644593 -0. 0496408 -0. 159448 -0. 0591273 -0. 755074 Factor 3 -0. 383073 -0. 260423 -0. 564067 -0. 291158 -0. 330539 0. 336495 -0. 427631 -0. 223353 -0. 282632 0. 253085 Variable X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 Comunalidad 0. 864986 0. 737084 0. 82999 0. 528223 0. 978186 0. 532544 0. 912919 0. 845152 0. 950036 0. 65305 Varianza Específica 0. 135014 0. 262916 0. 17001 0. 471777 0. 0218136 0. 467456 0. 0870806 0. 154848 0. 0499644 0. 34695

Matriz de Cargas del Factor Después Varimax Rotación X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 Factor 1 -0. 365236 -0. 412643 -0. 12334 -0. 362791 0. 944048 -0. 0331758 0. 931574 0. 849697 0. 908485 0. 0957469 Factor 2 3 0. 855316 0. 0047414 0. 750625 0. 0580591 0. 902628 -0. 00625052 0. 567346 -0. 273356 -0. 286195 0. 0710735 -0. 0444584 0. 727645 -0. 206008 -0. 0514878 -0. 325466 0. 131294 -0. 352516 0. 0205827 0. 00717756 0. 802391 Variable X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 Comunalidad 0. 864986 0. 737084 0. 82999 0. 528223 0. 978186 0. 532544 0. 912919 0. 845152 0. 950036 0. 65305 Varianza Específica 0. 135014 0. 262916 0. 17001 0. 471777 0. 0218136 0. 467456 0. 0870806 0. 154848 0. 0499644 0. 34695 -0. 365236*X 3 - 0. 412643*X 4 - 0. 12334*X 5 - 0. 362791*X 6 + 0. 944048*X 7 - 0. 0331758*X 8 + 0. 931574*X 9 + 0. 849697*X 10 + 0. 908485*X 11 + 0. 0957469*X 12

El factor 1 explica el 53, 6% de la variación total y las variables que explica son: X 7= Concentración media de mercurio (partes por millón) en el tejido muscular del grupo de peces estudiados en cada lago X 9= Mínimo de la concentración de mercurio en cada grupo de peces X 10= Máximo de la concentración de mercurio en cada grupo de peces X 11= Estimación (mediante regresión) de la concentración de mercurio en un pez de 3 años (o promedio de mercurio cuando la edad no está disponible) Concentración de Mercurio

El factor 2 explica el 12. 54% de la variación total y las variables que explica son: X 3=Alcalinidad (mg/l de carbonato de calcio) X 4=p. H X 5= calcio (mg/l) X 6= Clorofila (mg/l)

El factor 3 explica el 12. 16% de la variación total y las variables que explica son: X 8= Número de peces estudiados por lago X 12= Indicador de la edad de los peces Edad y número de peces