Anlisis de Varianza Ing Ral Alvarez Guale MPC

Análisis de Varianza Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Propósito del Análisis de Varianza • Supóngase que en un experimento agrícola cuatro tratamientos químicos diferentes del suelo producen rendimientos medios de trigo de 28, 22, 18 y 24 hl/ha respectivamente. ¿Hay una diferencia apreciable en estas medias o la dispersión observada simplemente se debe al azar?

Clasificación Simple o Experimentos de un Factor • En un experimento de un factor se obtienen medidas u observaciones para z grupos independientes de muestras, donde el número de medidas en cada grupo es b. • Hablamos de a tratamientos cada uno de los cuales tiene b repeticiones o réplicas.

Clasificación Simple o Experimentos de un Factor-Iguales número de Observaciones

Fórmulas •

Tabla de Observaciones-Un factor Tratamiento 1 . . . Tratamiento 2 . . . Tratamiento a . . .

Variación Total •

Variación dentro de Tratamientos •

Variación entre Tratamientos •

• Variación Total = Variación dentro de tratamientos + Variación entre tratamientos

Métodos cortos para obtener variaciones •

Fórmulas cortas Tratamiento 1 . . . Tratamiento 2 . . . Tratamiento a . . .

Tablas de Análisis de varianza Variación Grados de Libertad a-1 a(b-1) ab-1 Media de Cuadrados F

Problema 1 • La tabla siguiente muestra los rendimientos en hl/ha de una cierta variedad de trigo cultivado en un tipo particular de suelo tratado con Químicos A, B o C. Hallar a) El rendimiento medio para los diferentes tratamientos, b) La gran media para todos los tratamientos, c) la variación total, d) la variación entre tratamientos, e) la variación dentro de tratamientos.

Problema 1 •

Datos del Problema 1 A 48 49 50 49 B 47 49 48 48 C 49 51 50 50

Solución Tabla Original A 48 49 50 49 B 47 49 48 48 C 49 51 50 50 Tabla modificada (Restando 45) A 3 4 5 4 B 2 4 3 3 C 4 6 5 5

a) Media de tratamientos Tabla modificada (Restando 45) A 3 4 5 5 4 B 2 4 3 3 3 C 4 6 5 5 5 • Por lo tanto son 49, 48 y 50 hl/ha para A, B y C (sumando 45 a cada resultado)

b) La gran media • Así la gran media para el conjunto original de datos es 45+4 = 49 hl/ha

c) Variación Total

d) Variación entre tratamientos •

e) Variación dentro de tratamientos

f)Y g) Estima insesgada de la varianza entre/dentro tratamiento •

h) Prueba de hipótesis 0. 05 •

i) Prueba de hipótesis 0. 01 •

Resumen del Problema 1 Variación Grados de Libertad a-1=2 a(b-1)=(3)(3)=9 ab-1=(3)(4)-1=11 Media de Cuadrados F

• Resolver el problema 1, utilizando Métodos cortos para obtener variaciones

c) Variación Total •

Variación entre y dentro de tratamiento •

Resumen Problema 2 A B C 3 2 4 4 4 6 5 3 5 4 3 5 16 12 20 256 144 400

Problema 3 • Una compañía desea comprar una de cinco máquinas diferentes A, B, C, D, E. En un experimento diseñado para decidir si hay diferencia en el rendimiento de las máquinas, cinco operadores experimentados trabajan con las máquinas durante intervalos iguales. La siguiente tabla muestra el número de unidades producidas. Ensayar la hipótesis de

Problema 3 significación del a) 0. 05 y b)0. 01 A 68 72 75 42 53 B 72 52 63 55 48 C 60 82 65 77 75 D 48 61 57 64 50 E 64 65 70 68 53

Solución: Problema 3 Se resta de cada elemento de la matriz un valor apropiado, por ejemplo: 60 A 8 12 15 -18 -7 B 12 -8 3 -5 -2 C 0 22 6 17 15 4 -10 D -12 1 -3 E 4 10 8 5 -7

Cálculos del Problema 3 A 8 12 15 -18 -7 10 100 B 12 -8 3 -5 -2 0 0 C 0 22 6 17 15 60 3600 4 -10 -20 400 -7 20 400 D -12 1 -3 E 4 10 8 5

Variaciones Totales • Se obtienen las variaciones totales, entre y dentro de cada tratamiento

Resumen del Problema 3 Variación Grados de Libertad a-1=4 a(b-1)=(5)(4)=20 ab-1=(5)(4)-1=24 Media de Cuadrados F

Conclusión: Problema 3 •

Clasificación Simple o Experimentos de un Factor-Diferentes número de Observaciones

Fórmulas •

Fórmulas cortas Tratamiento 1 . . . Tratamiento 2 . . . Tratamiento a . . .

Tabla de Análisis de Varianza Variación Grados de Libertad a-1 n-a n-1 Media de Cuadrados F

Problema 4 • La siguiente tabla muestra la duración en horas de las muestras de tres tipos diferentes de tubos de televisión fabricados por una compañía. Utilizando el método corto, ensayar al nivel de significación del (a)0. 05, (b) 0. 01 si hay diferencia en los tres tipos. Muestras Muestra 1 407 411 409 Muestra 2 404 406 408 405 Muestra 3 410 408 406 408 402

Cálculos cortos Muestra 1 7 11 9 Muestra 2 4 6 8 5 Muestra 3 10 8 6 8 2

Cálculos cortos Muestra 1 7 11 9 Muestra 2 4 6 8 5 Muestra 3 10 8 6 8 2

Resumen del Problema 4 Variación Grados de Libertad a-1=3 -1=2 n-a=12 -3=9 Media de Cuadrados F

Clasificación Simple o Experimentos de dos Factores

¿Cuándo utilizar? • Las ideas de análisis de varianza para clasificación simple o experimentos de un factor pueden generalizarse. Para la clasificación doble o experimentos de dos factores se ilustra por medio del siguiente ejemplo:

Ejemplo • Supóngase que en un experimento agrícola consiste en examinar los rendimientos por acre de 4 variedades diferentes de trigo (tratamiento), donde cada variedad se cultiva en 5 parcelas diferentes (bloques). En este caso hay dos clasificaciones o factores, puesto que puede existir diferencias en rendimiento por tratamiento o bloques

Tabla de Observaciones-Dos factores BLOQUES T R A T A M 1 2 . . . 1 . . . 2 . . . a . . . b

Fórmulas cortas T R A T A M I E N T O S 1 2 . . . 1 . . . 2 . . a . . b

Donde •

Tabla de Análisis de Varianza Variación Grados de Libertad a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab-1 Media de Cuadrados F

Problema 5 La siguiente tabla muestra los rendimientos por acre de cuatro cosechas de plantas diferentes cultivadas en parcelas tratadas con tres tipos diferentes de fertilizantes. Utilizando el método corto, ensayar el nivel de significación de 0, 01 si (a) hay una diferencia significativa en rendimiento por acre debida a los fertilizantes, (b) hay una diferencia significativa en rendimiento por acre debido a las cosechas.

Tabla: Problema 5 Cosecha III Fertilizante A 7. 2 Fertilizante B 9. 6 Fertilizante C 5. 7 Cosecha IV

1 2 3 4 Fertilizante A 7. 2 24. 8 615. 04 Fertilizante B 9. 6 33. 2 1102. 24 Fertilizante C 5. 7 23. 6 556. 96 19. 2 21. 0 22. 5 18. 9 368. 64 441 506. 25 357. 21

Tabla de Análisis de Varianza Variación Grados de Libertad 2 3 6 11 Media de Cuadrados F

Conclusiones: Problema 5 • Al nivel de significación de 0. 05 con 2, 6 grados de libertad, F 0. 95 = 5. 14, entonces, ya que 6. 24>5. 14 podemos rechazar la hipótesis de que las medias de fila son iguales y concluir que al nivel de 0. 05 hay una diferencia significativa en el rendimiento debido a los fertilizantes.

Conclusiones: Problema 5 • Ya que el valor de F correspondiente a las diferencias en las medias de columna es menor que 1 podemos concluir que no hay diferencia significativa en el rendimiento debido a las cosechas.