Anlisis de Seales 1 Generalidades Cuando hablamos de

Análisis de Señales 1. - Generalidades Cuando hablamos de la capacidad de un sistema de transmisión, estaremos hablando de la velocidad de transmisión de la información en un sistema de comunicación y ello está vinculado a la rapidez con que las señales pueden variar en el tiempo. Sabemos que a). - Según la teoría del estado transitorio, todo sistema que contiene elementos capaces de almacenar energía (elementos L y C en los sistemas eléctricos), las corrientes y tensiones (según sea el caso) no pueden instantáneamente alcanzar el máximo nivel de amplitud, se necesita un tiempo determinado, que depende de la naturaleza de la red. b). - Las redes capacitivas o inductivas, limitan la respuesta en el tiempo o transitoria de un sistema, y que esta respuesta está vinculada con la respuesta en frecuencia o de estado estacionario de un sistema. c). - Los conceptos relativos a frecuencia son muy utilizados en la práctica de las comunicaciones eléctricas, y el análisis del estado estacionario nos permite simplificar el estudio de los sistemas Análisis de Señales 1

Por lo expuesto, la idea es estudiar las relaciones que existen entre las respuestas de tiempo y frecuencia, debido por ejemplo a: a). -Las estaciones de radiodifusión están obligadas a trabajar en frecuencias que individualmente les son asignadas, con tolerancias muy estrechas, esto podría limitar la velocidad de transmisión del sistema b). -La respuesta de frecuencia de un cable telefónico está limitada, con lo cual estaremos limitando la velocidad de transmisión de cada canal c). -Las estaciones de televisión trabajan con anchos de banda limitados a 6 Mhz, esto provocará la limitación de transmisión de la información Por lo tanto, cuando se diseñan circuitos para comunicaciones electrónicas, frecuentemente es necesario analizar y predecir el funcionamiento del circuito basándose en la distribución de potencia y en la composición de frecuencia de la señal de información, lo que hace que debamos efectuar un análisis de señales. Análisis de Señales 2

Si bien todas las señales en las comunicaciones electrónicas no son senoidales o cosenoidales con una frecuencia sencilla, muchas lo son y las que no lo son, se pueden representar en una serie de funciones seno y coseno. Con lo expuesto, lo que es necesario estudiar es la respuesta en frecuencia y las relaciones que vinculan la respuesta en frecuencia con la respuesta en el tiempo Por ejemplo, un Osciloscopio, es un instrumento de dominio en el tiempo, en su pantalla se desplegará la representación de una amplitud en función del tiempo de una señal de entrada, lo que nos da una forma de onda de señal, lo que se muestra es la forma y la magnitud instantánea de la señal con respecto al tiempo; mientras que en un Analizador de Espectro, es un instrumento en el dominio de la frecuencia, mostrando en su eje vertical la amplitud y en su eje horizontal la frecuencia Análisis de Señales 3

1. 1 Señales continuas y discretas Existen básicamente dos tipos de señales, en tiempo continuo o señales analógicas y señales en tiempo discreto o señales digitales. Una señal y(t) es una señal en tiempo continuo si la variable independiente que es” t” es una variable continua, es decir que el valor de y(t) es especificado en todo instante “t” de un intervalo de tiempo dado, ya sea por una expresión matemática o gráficamente por una curva, en otras palabras la variable “t” puede tomar cualquier valor real. Análisis de Señales 4

• Si la variable “t” es una variable discreta, es decir, y(t) está definida por puntos del tiempo discreto, entonces y(t) es una señal de tiempo discreto, a menudo generada por muestreo de una señal de tiempo continuo, como una señal de tiempo discreto está definida solamente en tiempos discretos, con frecuencia se la identifica como una secuencia de números y[n], donde “n” es un entero Análisis de Señales 5

1. 2 Señales periódicas y No periódicas Una Señal Periódica f(t) tiene la propiedad, de que existe un número positivo “T”, para el cual : (1. 1) Señal periódica de período To Puede observarse que una señal periódica repite un mismo patrón durante un tiempo múltiplo de T, por lo tanto podríamos expresarla como Donde el valor To, es el mínimo valor de T, para el cual, se cumple la periodicidad, lo cual nos permitirá decir que habrá una frecuencia fundamental dada por fo=1/To Análisis de Señales 6

Toda señal que no cumpla con lo descripto anteriormente se dice que es una señal aperiódica o no periódica como la que se dibuja a continuación Señal aperiódica o No periódica Análisis de Señales 7

1. 2. 1 Señales de Potencia y Energía La energía total de una señal x(t) en el dominio del tiempo se define en la forma La señal x(t) puede ser una tensión o una corriente. E es la energía normalizada para una resistencia de 1 Ohm, y se expresa en joules. ( normalizamos la expresión) Como x(t) puede, en general, ser compleja, una definición más general de la energía normalizada es Si x(t) es real e independiente de T, la energía se puede definir en la forma siguiente, que es la más utilizada en la caracterización de señales reales de aplicación práctica. Si la señal es periódica, no es necesario tomar el límite y la integración se efectúa dentro de un período T, es decir, Esta es la potencia normalizada para una resistencia de 1 ohm; se mide en vatios (W). Análisis de Señales 8

En base a lo mencionado, podemos definir tres clases de señales: a. - Se dice que x(t) es una Señal de Energía, si y sólo si 0 señal debe tener una potencia promedio igual a cero o sea E (energía finita), este tipo de . Lo cual también puede expresarse como Las señales de energía finita tienen potencia cero. b. - Se dice que x(t) es una Señal de Potencia, si y sólo si 0<P<∞ (potencia promedio finita), entonces si P∞ > 0 nos dice que E∞→∞ Lo cual implica que la energía de una señal de potencia es infinita (E = ∞). Las señales de potencia finita tienen una energía infinita. c. - Toda señal que no cumpla con las propiedades anteriores no son señales de energía y/o potencia Análisis de Señales 9

Evidentemente, todas las señales periódicas son necesariamente señales de potencia. Sin embargo, no todas las señales de potencia son periódicas. En efecto, hay muchas señales que tienen una potencia límite dada cuando T → ∞, aunque tales señales sean no periódicas o tengan un comportamiento de carácter aleatorio. En este tipo de señales hay que utilizar para su definición la ecuación Lo expresado se debe a que en muchas aplicaciones, las señales están relacionadas con cantidades físicas de potencia o energía. Por ejemplo, si v(t) e i(t), son el voltaje y corriente de un resistor de resistencia R, entonces la potencia instantánea P(t), está expresada por: La Energía Total Disipada, en el intervalo de tiempo t 1 ≤ t 2, está dado por: La Potencia Promedio, en ese intervalo será: Normalizando la energía y la potencia promedio de una señal arbitraria, en el caso analizado anteriormente R=1 ohm. Se debe recordar, que la Energía se mide en Joules y la Potencia en Watts Análisis de Señales 10

Ejemplo Determinar si la señal donde “A” y ”a” son constantes y a > 0, es una señal de potencia, de energía o ninguna de las dos Por inspección, x(t) no es periódica; pero como la curva se extiende hasta el infinito, no es obvio si es o nó de energía, entonces aplicando Se verifica que, , por lo tanto la señal Análisis de Señales es una señal de energía 11

Ejemplo Determinar si la señal x(t) de la siguiente figura es de energía, de potencia o ninguna de las dos. . Como puede observarse, el área bajo la señal es infinita, por lo tanto no es una señal de energía. La señal no es periódica puede ser de potencia. Aplicando Se verifica entonces que ; por lo tanto, x(t) es una señal de potencia. Podemos decir también que una señal continua de amplitud A para todo “t” es una señal de potencia cuya potencia es Análisis de Señales 12

Ejemplos 1. - Sea la señal sinusoidal inspección, el período T de x(t) es T=1/fc , donde A, fc y Ø son constantes reales, por Obsérvese que la integral de la derecha es cero pues la integración cubre dos períodos completos de la función por integrar. La potencia promedio de una señal sinusoidal será entonces: Donde es el “valor eficaz” de la señal sinusoidal, resultado ya obtenido en los cursos de circuitos Eléctricos. Nótese que la información de fase (valor de Ø) no interviene para nada en el cálculo de la potencia. Esto es válido para cualquiera señal, sea o nó sinusoidal. Análisis de Señales 13

1. 2. 2. El Impulso Unitario Delta Dirac, representado en la forma δ(t), no es una función en el sentido matemático usual. Pertenece a una clase especial de funciones conocida como “funciones generalizadas” o “distribuciones”, y se define mediante un proceso o regla de asignación en vez de una ecuación. El impulso unitario Delta Dirac se define entonces mediante la integral donde x(t) es una función cualquiera continua en t = 0. El impulso unitario Delta Dirac se representa en la forma mostrada en la Fig. 1. 13. Mediante un cambio de variables en la definición (1. 16), se puede demostrar la conocida “Propiedad de Muestreo o Cernido” del impulso unitario Delta Dirac. En efecto, si x(t) es continua en t = to, se verifica que La propiedad de muestreo del impulso unitario, expresión (1. 17), es de mucha aplicación en el análisis de señales y sistemas y la estaremos utilizando continuamente. Análisis de Señales 14

Otras propiedades del impulso unitario son: Esta última expresión establece que el “área” de un impulso unitario es la unidad. Quiere decir también que los coeficientes constantes que afecten el impulso unitario representan el “área” del mismo. Estas propiedades se han utilizado también para definir el impulso unitario. Se pueden interpretar diciendo que δ(t - to) tiene área unitaria concentrada en el punto discreto to y área cero en cualquiera otra parte. Análisis de Señales 15

1. 3. EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Las señales eléctricas utilizadas en los sistemas de comunicación están representadas generalmente en el dominio del tiempo donde la variable independiente es t. Pero en el análisis de sistemas de comunicación es imperativo describir las señales en el dominio de la frecuencia donde la variable independiente es f. Esto quiere decir que una señal temporal se puede considerar como constituida por un número de componentes de frecuencia, generalmente señales sinusoidales, con una amplitud, fase y frecuencia dadas. Por consiguiente, aunque una señal existe físicamente en el dominio del tiempo, puede decirse que ella está formada por un conjunto de componentes en el dominio de la frecuencia, denominado el “espectro” de la señal. 1. 3. 1. Representación Espectral Para introducir la noción de dominio de la frecuencia o espectro, consideremos la señal sinusoidal x(t) = Acos(2πfo t + φ), que se puede escribir en la forma x(t) = Re{Aexp[ j(ωo t + φ)]} = Re{Aexp( jφ) exp( jωo t)} donde ωo = 2πfo (1. 24) Esta es la “representación fasorial” porque el término dentro de las llaves se puede ver como un vector rotatorio (fasor) en un plano complejo cuyos ejes son las partes real e imaginaria, como se muestra en la Fig. 1. 14(a). Análisis de Señales 16

El fasor de longitud A gira en el sentido contrario a las agujas del reloj a una velocidad de fo revoluciones por segundo. Asimismo, ωo = 2πfo es la velocidad angular en radianes por segundo. El ángulo φ es la fase o desfase con respecto al eje real o con respecto a t = 0 en el eje t. Los tres parámetros necesarios para especificar un fasor son entonces la amplitud A, la fase φ y la frecuencia rotacional o cíclica fo. En el dominio de la frecuencia el fasor está definido para un valor particular de la frecuencia, por ejemplo, para f = fo. En consecuencia, se puede asociar tanto la amplitud A como la fase φ con este valor particular de f en la forma mostrada en la Fig. 1. 14(b), que se denomina “espectro de líneas”. Análisis de Señales 17

Este espectro consta de dos gráficos: uno de Amplitud vs Frecuencia y el otro de Fase vs Frecuencia, siendo ambos necesarios para representar sin ambigüedades en el dominio de la frecuencia un fasor definido en el dominio del tiempo. El espectro de líneas de la Fig. 1. 14(b) está definido solamente para frecuencias positivas y por ello se le llama “espectro de líneas unilateral”. Pero esta representación se puede extender a todo el eje “f “de la manera siguiente. que es la representación en “fasores conjugados” puesto que los dos términos de x(t) son conjugados entre sí. La representación correspondiente se muestra en la Fig. 1. 15(a): dos fasores de amplitud A/2 que giran en sentidos opuestos a velocidades de fo revoluciones por segundo. Análisis de Señales 18

En la representación espectral de señales se utilizarán algunas convenciones y notación que se pueden resumir en lo siguiente: (a) Los ángulos de fase se medirán respecto al coseno, es decir, respecto al eje real positivo del diagrama fasorial. Las señales seno deberán convertirse en cosenos mediante la identidad sen(ωt) = cos(ωt − π / 2). (b) Los ángulos de fase se expresarán en radianes o en grados, según la aplicación. En este texto la tendencia será la de expresar los ángulos siempre en radianes. (c) La amplitud de las componentes de frecuencia o de las líneas espectrales se considerará siempre como una magnitud positiva; cuando aparezcan signos negativos, éstos deberán ser absorbidos en la fase, Por ejemplo, −A cos(ωt) = A cos(ωt ± π); es indiferente que se tome el signo (+) o el signo (−), pues el coseno es una función par. (d) En general, el módulo del espectro de una señal x(t) será una función par y positiva de f, mientras que la fase será una función impar de f. Análisis de Señales 19

Una componente continua puede describirse también en el dominio de la frecuencia. En efecto, sea x(t) = A cos(ωo t); si fo = 0, entonces x(t) = A. Esto significa que cuando f → 0, las líneas del espectro se acercan al origen, formando una línea con el doble de amplitud. En consecuencia, una componente continua ±A se representa en el dominio de la frecuencia como una línea de amplitud ±A a la frecuencia f = 0 (en el origen). La “fase” de una componente continua será entonces, por definición, cero. En general, los gráficos de Amplitud y Fase son necesarios para describir completamente una señal sinusoidal, aunque podemos decir que el gráfico Amplitud vs Frecuencia, que en lo sucesivo llamaremos “espectro de amplitudes”, es más importante que el “espectro de fase”. El espectro de amplitudes no solamente muestra qué componentes de frecuencia están presentes, sino también en qué proporción. El espectro de amplitudes muestra el “contenido espectral o frecuencial” de una señal; en este aspecto se puede considerar como una función de distribución en el dominio de la frecuencia. Análisis de Señales 20

Supongamos que tenemos un sistema de comunicaciones y colocamos un filtro pasabajos, veamos el espectro Análisis de Señales 21

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1. 4. SERIES Y ESPECTROS DE FOURIER Hemos visto cómo las señales sinusoidales puras se pueden representar en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, en muchos casos se tiene señales que, aunque periódicas, son mucho más complicadas que las simples señales sinusoidales. Cuando se aplican señales sinusoidales puras a un filtro cualquiera, se puede calcular fácilmente su salida, en especial la potencia de salida. Pero, ¿cómo podría calcularse la potencia de salida del mismo filtro cuando se le aplica una señal periódica rectangular, por ejemplo? La solución a este problema no es tan evidente y se puede decir que es muy difícil de obtener con los métodos usuales en el dominio del tiempo. 1. 4. 1. Señales Periódicas Las señales periódicas son de gran aplicación en el análisis de sistemas de comunicación y sería deseable poder representarlas en términos de señales periódicas elementales, tales como el seno o el coseno. Este es el objetivo del Análisis de Fourier, así designado en honor del físico francés Jean Baptiste Fourier. Análisis de Señales 23

Definición En la expresión (1. 1) se dió la definición de señal periódica que repetiremos aquí con un ligero cambio en la notación. Entonces, para todo t real y para un T positivo, una señal periódica está definida mediante la expresión donde T es el período de la señal. La señal XT (t) puede considerarse como la repetición periódica de una señal x(t), algunas veces llamada “señal generatriz o generadora” de XT (t), en cualquier intervalo de duración T, como se muestra en la Fig. 1. 17. Si repetimos el mismo patrón de (1. 26) para un entero k cualquiera, podemos escribir : Análisis de Señales 24

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1. 4. 2. Series de Fourier En la ingeniería de las comunicaciones, además de las conocidas señales periódicas seno y coseno, se emplea una gran cantidad de formas de onda periódicas para simular señales físicas, tales como señales rectangulares, diente de sierra, señales rectificadas, señales moduladas, etc. , que se pueden representar en el dominio de la frecuencia mediante los métodos que se verán a continuación. Si una señal XT(t) es periódica y satisface ciertas condiciones, se puede representar en el dominio de la frecuencia mediante un número infinito de componentes sinusoidales relacionadas armónicamente (múltiplos de) con la frecuencia fundamental. La amplitud y la fase relativas de cada una de estas componentes están especificadas en el desarrollo en serie de Fourier de XT(t). Definición Cualquiera señal periódica XT(t), definida en el intervalo (-T/2, T/2), donde T es su período y que satisface las siguientes condiciones suficientes, se puede desarrollar en Serie de Fourier: Las condiciones 2 y 3 implican que XT(t) es una función acotada en el intervalo (-T/2, T/2). Estas condiciones se conocen con el nombre de “Condiciones de Dirichlet”. Análisis de Señales 27

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En la Fig. 1. 21(b) se observa que a medida que T aumenta, manteniendo τ fijo, dos características del espectro cambian también: la separación entre las diferentes componentes discretas de frecuencia y la amplitud de las mismas. El espectro se hace más denso pero de menor amplitud a medida que T aumenta. Nótese, sin embargo, que el perfil o “envolvente” del espectro no cambia puesto que él depende de la duración del impulso. Por el contrario, si T es fijo y τ varía, la amplitud del espectro aumenta proporcionalmente a τ y la distancia al primer cero de la envolvente se hace cada vez menor, como se muestra en la Fig. 1. 21(c). Nótese que si T/τ es un número entero, a las frecuencias n/τ las componentes serán cero; pero si T/τ es fraccionario, las componentes en n/τ serán distintas de cero. Obsérvese la relación inversa entre el primer cero del espectro o “extensión espectral” y el valor de τ; cuando τ disminuye, la extensión espectral aumenta y viceversa. Obsérvese también que cuando τ = T, el tren de impulsos rectangulares degenera en una constante A. En este caso el espectro constará de una sola línea de amplitud A a la frecuencia cero. Análisis de Señales 38

Propiedades del Espectro Discreto Hemos dicho que el espectro discreto posee ciertas propiedades que son muy útiles en la representación espectral de señales periódicas. Esta propiedades son: 1. Las líneas espectrales están igualmente espaciadas en fo, puesto que todas las frecuencias están relacionadas armónicamente con la frecuencia fundamental fo. 2. La componente continua corresponde a la frecuencia cero y es el valor promedio de la señal. En efecto, para n = 0, 3. Si XT (t) es real, el espectro de amplitudes es simétrico (par en nfo) y el espectro de fase es antisimétrico (impar en nfo), es decir, Análisis de Señales 39

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Ejemplo 1. 10. La señal rectificada de onda completa del Ejemplo 1. 8 se aplica a un filtro pasabajo de ganancia unitaria y ancho de banda de 400 Hz. Calcular las potencias de entrada y salida del filtro. Solución Suponiendo que el rectificador no tiene pérdidas, la potencia de la señal rectificada es la misma que la potencia de la señal sin rectificar. Entonces, de (1. 9), la potencia a la entrada del filtro es El filtro tiene un ancho de banda de 400 Hz, y como las componentes discretas están separadas en 120 Hz, solamente saldrán las componentes a las frecuencias de 120 Hz, 240 Hz y 360 Hz, es decir, n = 3 componentes más la componente continua. Del teorema de Parseval, la potencia de salida del filtro será Utilizando El 99, 92% de la potencia total de la señal está contenida en las tres primeras componentes más la componente continua. Análisis de Señales 45

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1. 8. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES PERIODICAS La Transformada de Fourier surgió de la necesidad de conocer el espectro de una señal no periódica. Para las señales periódicas dicha información se obtuvo a partir del desarrollo en Serie de Fourier. Sin embargo, para unificar el análisis, es conveniente extender el uso de la Transformada de Fourier a señales periódicas. Es evidente que si se desea obtener la transformada de una señal periódica a partir de la definición, expresión (1. 68), el resultado sería infinito pues las señales periódicas no son de módulo integrable (no cumplen con la condición (1. 72)). No obstante, mediante un proceso de límites se puede representar una señal periódica en términos de la Transformada de Fourier siempre que a esta transformada se le permita incluir impulsos Delta Dirac. Análisis de Señales 72

La Transformada de Fourier de una señal periódica es un tren infinito de impulsos unitarios Delta Dirac, espaciados en fo y cada uno de área Xn, donde Xn, el coeficiente de Fourier, se definió en (1. 42). Es evidente que el espectro de una señal periódica seguirá siendo discreto aún cuando se calcule a partir de la Transformada de Fourier. Aún más, una señal que contenga una parte periódica y una parte aperiódica, poseerá un espectro continuo en el que existirán componentes discretas superpuestas sobre él. Análisis de Señales 73

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2. 3. 2. Interpretación Gráfica de la Convolución La interpretación gráfica de la convolución es de mucha utilidad en el análisis de sistemas así como también en el análisis espectral de señales pues permite visualizar los resultados de muchas relaciones abstractas. Si en un sistema lineal sólo se conoce x(t) y h(t) en forma gráfica, entonces la convolución grafica resulta muy útil. Como ejemplo de esto supongamos que x 1 (t) y x 2 (t) son los impulsos rectangular y triangular mostrados en la Fig. 2. 9(a). Vamos a determinar gráficamente el producto de convolución donde τ es la variable independiente y t el parámetro tiempo. En la Fig. 2. 9(b) se muestra x 1(τ) y x 2 (−τ). Nótese que x 2 (−τ) se obtiene girando x 2 (t), con t = τ , alrededor del eje vertical que pasa por el origen. El término x 2 (t − τ) representa la función x 2 (−τ) desplazada t segundos a lo largo del eje τ; en la Fig. 2. 9(c) se muestra x 2 (t − τ) y x 1 (τ) y el sentido del desplazamiento. El valor de la integral de convolución para un t particular viene dado por la integral (2. 52) evaluada en t y representa el área bajo la curva producto de x 1 (τ) y x 2 (t − τ), es decir, de su área de intersección. Análisis de Señales 82

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Por ejemplo, para t = −t 2 , dicha área es la región sombreada de la Fig. 2. 9(d); el valor de en t = −t 2 es igual a esa área sombreada y se ha representado como una amplitud en la Fig. 2. 9(f). Lo mismo para t = t 3, Fig. 2. 9(e). Para encontrar los valores del producto de convolución se selecciona diferentes valores de t, se desplaza la función x 2 (−τ) según esos valores y se calcula el área de intersección correspondiente. Estas áreas representan los valores del producto de convolución en los valores respectivos de t. La gráfica de las áreas de intersección, expresadas como funciones de t, Fig. 2. 9(f), representa el producto de convolución La integral de convolución, expresión (2. 52), introduce el concepto de “función de ponderación (weighting function)” en la terminología del análisis de sistemas [Brown y Nilsson, 1962]. En efecto, la respuesta de un sistema al impulso unitario se ha denominado también “función de ponderación del sistema” porque multiplica la función de entrada en la integral de convolución. El concepto de ponderación se evidencia cuando la rotación y traslación de x 2 (t) es vista sobre una escala temporal (en τ ) la cual se caracteriza como “pasado”, “presente” y “futuro”. Análisis de Señales 84

En la Fig. 2. 10; se supone que x 2 (t) es la excitación del sistema. En el gráfico de x 2 (t − τ), Fig. 2. 10, el eje vertical representa el presente, el semiplano de la mano izquierda el futuro, y el semiplano de la mano derecha el pasado. Con referencia a la Fig. 2. 9(d) y (e), y visualizando la multiplicación de x 1 (τ) por x 2 (t − τ), se puede ver que x 1 (τ) “pesa” o pondera la función x 2 (t) de acuerdo con valores presentes y pasados. Para la función dada x 1(τ), los valores pasados de x 2 (t) son ponderados menos y menos a medida que pasa el tiempo. Dicho de otra manera, el sistema “recuerda” menos y menos acerca de los valores pasados de la entrada. Usando estas ideas, podríamos decir que una respuesta impulsional h(t) que fuera plana daría igual peso o ponderaría por igual a todos los valores pasados y presentes de la excitación x(t); éste sería un sistema con memoria perfecta. Por otro lado, si la respuesta impulsional fuera un impulso muy angosto, el sistema tendría poca memoria. Por ejemplo, h(t) = u(t) caracterizaría un sistema de memoria perfecta, mientras que h(t) = δ(t) caracterizaría un sistema de memoria cero. Análisis de Señales 85

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