Anlisis Combinatorio Trabajo Practico N 5 Anlisis Combinatorio

Análisis Combinatorio

Trabajo Practico Nº 5 Análisis Combinatorio 1) Con las letras de la palabra MESA, forme todas las palabras posibles con o sin sentido sin repetir letras, calculando previamente su número. 2) ¿ De cuántas maneras distintas pueden salir alineados al campo de juego, los jugadores titulares de un equipo de fútbol ? . De cuántas maneras distintas pueden hacerlo si el arquero debe ocupar siempre la primera posición ? . 3) Un grupo musical va a grabar un compact que contiene 7 temas ; ¿ De cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ? Si el compact requiere que dos temas en particular no se escuchen en forma consecutiva, ¿ de cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ?

4) Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de Combinatoria y 2 de Algebra. ¿ De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva ? 5) Un señor olvidó la combinación del candado que cierra su maletín y que consiste en cinco ruedas contiguas con los dígitos de 1 a 6 cada rueda. En el peor de los casos, ¿ cuántos intentos tendrá que hacer antes de poder abrirlo ? 6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ? . 7) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5. ¿ Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse ? . ¿ Cuántos son pares ? . ¿ Cuántos terminan en 32 ? . Cuántos son divisibles por 5 ? .

8) Con 22 consonantes y 5 vocales : a) ¿ Cuántas palabras distintas con o sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) se pueden formar ? b) ¿ En cuántas de las palabras del ítem a) la letra central es una vocal ? c) ¿ Cuántas de las palabras del ítem a) se forman con 3 consonantes y 2 vocales ? 9) En un curso de 42 estudiantes de Lic. en Sistemas, se desea elegir 3 alumnos para formar una Comisión. a ) De cuántas maneras se puede elegir si los representantes tienen iguales atribuciones ? . b) ¿ De cuántas maneras se puede elegir si los representante tienen diferentes atribuciones ? .

10) Se tienen 10 puntos a, b, c, . . , j ; pertenecientes a un plano , de los cuales no hay 3 alineados. a) ¿ Cuántas rectas determinan esos puntos ? b) ¿ Cuántas de esas rectas pasan por el punto a ? c) ¿ Cuántos triángulos determinan esos puntos ? d) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un vértice en a ? e) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un lado en ab ? 11) Entre 12 hombres y 8 mujeres debe elegirse una delegación de 5 personas. a) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación ? b) ¿ De cuántas maneras se puede formar si dos personas determinadas deben estar siempre la delegación? c) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber 3 hombres y 2 mujeres ? d) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y 1 mujer ? e) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación no pueden estar juntas 2 personas enemistadas ? f) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos o ninguno en la delegación ?

12) Todas las personas que asisten a una fiesta se estrechan la mano. Si se estrecharon la mano en 45 oportunidades ; ¿ cuántas personas asistieron a dicha reunión ? . 13) Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse con las letras de las palabras : INDEPENDENCIA ; CATAMARCA ; MONOMIO. (usando todas letras en cada caso) 14) Con los dígitos 2, 3 y 9 : ¿ Cuántos números mayores que 100 se forman ? ¿ Cuántos son pares ? 15) Determine n N si existe, tal que :

16) Desarrolle las siguientes potencias aplicando Binomio de Newton : 17) Hallar si existe : a) el undécimo término de sin efectuar el desarrollo. b) el ó los términos centrales de c) el coeficiente de x 32 en d) el término de grado 7 en e) el término que contiene a-35 en 18) En el desarrollo ordenado del binomio son equidistantes de los extremos. Hallar n. , los términos T 10 y T 15

Permutaciones Si tres alumnos deben exponer en una clase especial, y desean analizar todas las posibilidades del orden de exposición que tienen. . Es simple advertir que una alternativa es. . . Primero expone Pablo (que suele ser muy convincente) Pablo Matías Pablo Julio 4 3 4 luego expone Matías, (que sabe mucho , pero no convence) y por último Julio, (que es algo desordenado) Una alternativa diferente será si Julio toma el lugar de Matías y éste el de Julio Matías Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio 1 -2 -3 1 -2 Julio Pablo Matías

Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones, tenemos otra alternativa Julio Matías Julio Pablo Matías Pablo 1 -2 Luego es Matías el que toma el primer turno Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el segundo y el tercer expositor Matías Pablo 3 Julio Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son los órdenes en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar. . . la cantidad de funciones inyectivas posibles, entre el conjunto de personas y los lugares que pueden ocupar Que se encuentra con la expresión Pn = n! 1 -2 -3 4 4

La función factorial n! se define: de N 0 N es decir: n! es igual al producto de los n primeros números naturales 1 -2 n! = n (n-1) (n-2) (n-3). . . 3 2 1 3 Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición) resolvemos. . . P 3 = 3 ! = 3 2 1 = 6 Los ordenamientos posibles son 1 2 3 4 5 6 Pablo Julio Matías Julio Pablo Julio Matías Pablo Julio 1 -2 -3 4 4

1) Calculamos previamente el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras Se trata de ordenar cuatro MESA EMSA SMEA AMES elementos (letras) en cuatro posiciones diferentes MEAS EMAS SMAE AMSE MAES ESMA SEMA AEMS MASE ESAM SEAM AESM MSEA EAMS SAME ASEM MSAE EASM SAEM ASME P 4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 2) Si son jugadores de un equipo de fútbol son once jugadores para once posiciones si el arquero ocupa siempre la primera posición P 11 = 11! = 11 10 9. . . . 3 2 1 = 39. 916. 800 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores) P 10 = 10 ! = 10 9 8. . . . 3 2 1 = 3. 628. 800 11

3) Se deben ordenar 7 temas para un compact el total de ordenamientos posibles es P 7 = 7 ! = 7 6 5. . . . 3 2 1 = 5. 040 si dos temas no se deben escuchar en forma consecutiva. . . vamos a buscar el número de situaciones en que aparecen dos temas en particular (por ejemplo el 2 y el 3) juntos Un ordenamiento será : 1 2 3 otro ordenamiento puede ser. . . 1 4 4 5 6 7 2 3 5 si 2 y 3 deben estar juntos 6 7 observando convenientemente advertimos que estamos ordenando P 6 = 6 ! = 720 6 temas en 6 lugares (el 2 y 3 consideramos un solo tema) Y debemos considerar también cuando Aparece primero el 3 y luego el 2 (los temas aparecen juntos) 1 4 3 nuevamente. . . 2 5 6 7 P 6 = 6 ! = 720 entonces dos temas determinados no aparecen juntos en P 7 – 2 P 6 = 7 ! – 2 6 ! = 5. 040 – 2 720 = 3. 600

4) Cada asignatura puede ocupar una posición, las posibilidades son G A C G G C A G A G C C G Pero el orden de los problemas de cada materia también pueden cambiarse G A 1 1 2 2 3 3 2 3 1 2 1 1 2 2 1 C entonces la cantidad total de posibles temas es : P 3 = 3 ! = 6 A 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 4 4 3 4 2 3 3 4 1 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 3 3 3 4 4 4 1 1 2 2 3 3 2 4 1 2 2 3 1 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1 P 3 ( P 3 P 4 P 2 ) = 3 ! ( 3! 4! 2! ) = 6 6 24 2 = 1. 728

5) Supongamos que el maletín tenga una sola rueda de 6 dígitos Las posibilidades serán que se abra con 1, 2, 3, 4, 5, ó 6 Lo que significa que en el peor de los casos se deberá hacer 6 intentos a cada dígito de la primera rueda le corresponden 6 dígitos de la segunda rueda Pero si el maletín tuviera 2 ruedas de 6 dígitos habrán entonces 6 nuevas alternativas por cada dígito de la primera rueda 1 2 Las posibilidades con 2 ruedas son 6 x 6 = 36 Pero el maletín tiene 3 ruedas, entonces se agregan 6 3 6 1 5 alternativas más a cada una de las 36 posibilidades anteriores 4 Para tres ruedas son 6 x 6 = 216 Generalizando, podemos plantear que para n ruedas el número de intentos será : 6 n En este caso, con n = 5 2 3 4 5 6 65 = 7. 776

Permutaciones Circulares Si debo ordenar cuatro amigos en fila sabemos que la cantidad de alternativas está dada por la permutación de 4 elementos P 4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 formas a b c d a Entre las que se encuentran las siguientes. . . c d a b c y son formas diferentes Pero, si los amigos estuvieran alrededor de un círculo en vez de estar alineados. . . Lo que antes eran 4 configuraciones diferentes, ahora no se pueden diferenciar a d b c b a d c Las cuatro ordenaciones deben ser consideradas la misma ordenación c b d a d c b a En todos los casos a la izquierda de a está d y a la derecha b. . . La permutación circular de m elementos se resuelve. . .

6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ? . Puede que Ud. esté pensando en la permutación de cuatro elementos. . y esto sería correcto si los amigos juegan al truco en fila india Pero todos sabemos que al truco se juega en pareja y alrededor de una mesa donde. . . Se trata entonces de la permutación circular de 4 elementos que se resuelve. . . A B C D es lo mismo que. . . A B D C B A A y C siguen siendo compañeros C D B a la izquierda y D a la derecha de A

VARIACION ó ARREGLO Si queremos formar números de dos cifras con los dígitos 1, 2 y 3 Resulta que debemos tomar dos de los elementos (dígitos) y formar un número de dos cifras Por ejemplo, si tomamos los dígitos 1 y 2 formamos el 12 8 a 7 9 8 b 10 El mismo 12, con las cifras invertidas forma otro número de dos cifras 21 también 13 y 31. . . . finalmente 23 y 32 Esta operación viene dada por la expresión: donde Se lee “arreglo de m elementos tomados de a n” m=3 y n=2 3 : cantidad total de elementos que disponemos 2 : cantidad de elementos que tomamos para formar cada arreglo observe que con solo cambiar el orden de los dígitos, se considera un caso diferente; aunque no se haya cambiado alguno de los dígitos 7 8 -9 -10

7) Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras i) debemos resolver Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número par Asignamos el lugar de la cifra par al 2 y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4 ii) Los números pares son: iii) Si los números deben terminar en 32 cifra 1 cifra 2 par cifra 1 cifra 2 2 cifra 1 cifra 2 4 cifra 3 2 iv) Si debe ser múltiplo de 5, debe terminar en 5 cifra 1 cifra 2 5

8 a) Con 22 consonantes y 5 vocales se pueden formar palabras con ó sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) Por ejemplo la palabra L U C H A C H U L A Si se cambia el orden de sus letras resulta otra palabra distinta sin haber cambiado ninguna de sus letras (elementos) Debe aplicarse VARIACIÓN O ARREGLO Dispongo de 22 c + 5 v para formar las palabras, 27 elementos en total Para formar palabras de 5 letras (elementos) 27 A 5= 9. 687. 600 palabras Esto se puede resolver directamente con calculadora ó simplificando previamente 8 b

8 b) Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocal Podemos pensar que A la palabra será: Si el lugar central debe ocupar una vocal (por ejemplo la A) Quedan 4 lugares para completar con 22 consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro) La operación que resuelve esto es: 26 A 4= 358. 800 palabras Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas Entonces a Lo multiplicamos por 5 porque la letra central puede ser A E O I U 5 x 358. 800 = 1. 794. 000 palabras

COMBINACION Si tenemos una situación donde nos interesa saber las alternativas posibles cuando es necesario que cambie un elemento al menos (no nos interesa el orden en que se presenten los elementos) 11 a 10 11 d-e 12 c Tenemos una combinación, que se resuelve con la expresión 11 b-c 12 a-b 12 d 12 f 12 e 13 Si tenemos Jamón, queso y lechuga y queremos saber cuántos tipos de sandwich podemos preparar usando dos de los alimentos mencionados un sandwich hecho de jamón y queso será lo mismo que uno hecho de queso y jamón Una vez elegidos alimentos cualesquiera, es necesario cambiar uno de ellos al menos para cambiar el sabor del sandwich Este es un caso de combinación, combinación que se resuelve: 10 11 -12 13 3

9) De 42 estudiantes; debo tomar 3; pero no hay diferencia de posiciones ni de “cargos” entre los tres, en la comisión son todos “iguales” Es un caso de combinación 14 Arreglo 20 11. 480 formas Pero. . . Combinación Que tienen iguales atribuciones significa que todos pueden cumplir el mismo rol María prepara las diapositivas Será María dá la charla de introducción diferente Pablo dá la charla de introducción si. . . Juan expone; Pablo expone Juan prepara las diapositivas Se aprecia que: aunque los elementos seleccionados (Juan, Pablo y María) sean los mismos, los equipos 1 y 2 serán diferentes, por el rol que desempeñan sus integrantes. Ahora nos interesa el orden de los elementos esto se resuelve con variación ó arreglo = 68. 880 formas

10) Si tenemos 10 puntos en un plano de los cuales no hay 3 alineados Sabemos que dos puntos cualesquiera determinan una recta por ejemplo Pero la recta es la misma que y así sucesivamente. . . Es necesario que un elemento (punto) sea diferente para que se trate de una recta diferente La cantidad de elementos que disponemos para formar rectas son 10 puntos son necesarios 2 puntos para unirlos (sin importar el orden ) y así formar la recta entonces. . . 5 45 11 b-c 11 d-e

10 b) Para saber cuántas de las 45 rectas pasan por el punto a, pensemos que disponemos de 10 puntos b, c; d; . . . h; i; j a En principio tengo 10 elementos para 2 lugares –recta- sin importar el orden Si uno de los lugares ocupa el punto a 9 rectas Me quedan ahora 9 elementos para el lugar que resta 11 c) tres puntos no alineados pueden formar un triángulo Podemos distinguir entre otros, el triángulo acf; el triángulo cfi ; etc. Entonces corresponderá tomar los 10 puntos de tres en tres recordando que cfi = fci = icf etc. 5 3 2 120 triángulos 11 d-e

d) Para saber cuántos triángulos tienen vértice en En principio tengo 10 elementos (puntos) para 3 lugares (vértices del triángulo) Si el elemento a debe estar siempre ocupando un lugar a: a porque es un vértice de cualquiera de los triángulos que busco 4 Me quedan 9 elementos (puntos) para ubicar en las dos posiciones restantes que son 2 (vértices) 36 triángulos tienen vértice en a e) Si los triángulos deben tener un lado (ab) común, significa que de los 10 puntos dos puntos ya están ubicados a b Me quedan entonces 8 elementos (puntos) para ocupar un lugar (vértice) 8 triángulos

11 a) Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden) Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación. . . de 20 personas (total de elementos) tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación posible) 3 15. 504 maneras distintas 12 b) Si dos personas deben estar siempre en la misma delegación supongamos. . . b a persona a dos ya están ocupados persona b La operación es la misma. . . pero del total de 20 personas descuento 2 que ya están ubicadas porque deben estar siempre juntas 3 y me quedan 3 lugares para las de los 5 lugares que dispongo 18 personas restantes 816 formas si dos personas deben estar juntas 12 c 12 d 12 e 12 f

11 c) Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con los 12 hombres disponibles tomados de a 3 2 220 delegaciones de tres hombres 4 Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con las 8 mujeres disponibles tomadas de a 2 = 28 delegaciones de dos mujeres Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente. . para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres. . . las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son. . . 220 28 = 6. 160 formas de componer la delegación solicitada 12 d 12 e 12 f

11 d) si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y una mujer, analizamos las siguientes alternativas. . . De los cinco lugares disponibles Tres están ocupados por hombres h y quedan dos lugares para mujeres 220 28 = 6. 160 Pero también puede suceder que. . . h h m m la cantidad de delegaciones posibles con esta configuración ya hemos visto en el punto anterior h h m De los cinco lugares disponibles cuarto están ocupados por hombres y solo uno por mujer lo que resulta. . . 5 No hay otra alternativa que verifique la condición, porque si 495 8 = 3. 960 hay cinco hombres, no hay mujeres; y si hay tres o mas El resultado es la suma de las dos mujeres, queda lugar para dos posibilidades analizadas hombres o menos 10. 120 formas 12 e 12 f

11 e) si dos personas enemistadas no deben estar juntas en la delegación Supongamos que los enemistados son a y b La cantidad de delegaciones en las que a y b están juntos son. . a b 3 816 Conociendo la cantidad total de delegaciones que se pueden formar (de 12 a) y la cantidad de delegaciones en las que dos personas están juntas Las delegaciones en las que esas dos personas no están juntas, será. . . 15. 504 – 816 = 14. 688 formas Otra manera de calcular lo mismo es mediante la operación 8. 568 + 3. 060 = 14. 688 formas justifique Ud. el procedimiento. . . 12 f

11 f) Si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos ó ninguno. . . Tenemos dos alternativas: la primera es que estén juntos Así de 20 personas (12 H y 8 M) quedan 18 posibles (porque 2 ya están ubicados) para 3 lugares de los 5 iniciales 3 La otra alternativa es que no estén ninguno de los dos En esa situación tenemos 18 personas para cubrir los cinco lugares, porque no están ninguno de los dos 816 3 4 3 8. 568 El resultado está dado por la suma de las cantidades de ambas posibilidades 816 + 8. 568 = 9. 384 formas

12) Todas las personas se estrechan la mano una vez Supongamos que sean tres personas: A , B y C B A se produjeron tres saludos A C C B observe Ud. Que para tener un “saludo diferente”, necesitamos que se salude al menos una persona diferente Entonces se trata de una combinación. . . Pero como no sabemos de cuántas personas, consideramos esa cantidad igual a m y como el saludo se establece entre dos personas, a las m personas las tomamos de 2 en 2 En total fueron 45 saludos resolvemos. . . buscamos m aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado

10 -9 m 1 = 10 m 2 = - 9 Por ser – 9 un número negativo, adoptamos como solución única Verificamos. . . 5 45 m = 10

Permutaciones con repetición Si tenemos solo dos símbolos ( 0 y 1 ) para emitir señales de 2 símbolos diferentes Podremos emitir las señales 0 1 La cantidad de señales posibles se calcula mediante 1 0 si los símbolos no pueden repetirse si no debemos repetir símbolos. . Pero si podemos repetir El conjunto de símbolos será { 0, 0, 1, 1 } símbolos; con dos ceros y dos unos y las señales posibles. . . 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 La cantidad de señales posibles cuando hay símbolos Permutaciones con repetición repetidos se calcula con Con dos elementos que se 2 repiten dos veces cada uno 6 (0 y 1) Permutación de cuatro elementos, con dos elementos que se repiten dos veces cada uno Generalizando

Sabe Ud. que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte; . . . y 1. 000 byte son 1 Kb, etc. Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos) ese byte con sus 8 símbolos emitirá 0 0 0 0 Supongamos un byte en el que hay señales como. . 5 ceros y 3 unos 1 0 0 ¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ? 0 0 1 1 0 1 etc. . . En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 1, 1, 1 } conjunto de 8 elementos, y la operación que resuelve. . . de los cuales uno se repite 5 veces; y el otro se repite 3 veces Señales diferentes se pueden emitir desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos

13 i) La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras De las cuales I se repite 2 veces D se repite 2 veces N se repite 3 veces E se repite 3 veces Las demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo una vez 43. 200 palabras i i ) La palabra CATAMARCA C se repite 2 veces 4 De las cuales A se repite 4 veces 7. 560 palabras i i i ) La palabra M O N O M I O M se repite 2 veces tiene 9 letras 3 tiene 7 letras O se repite 3 veces 420 palabras De las cuales

Arreglo con Repetición Dado un conjunto de dos elementos {a, b} donde al menos un elemento se repite aaa aab aba puedo formar cadenas de tres elementos baa bbb bba bab Se trata de un Arreglo de 2 elementos, tomados de tres en tres, con repetición Dado un conjunto de tres elementos {a, b, c} también puedo formar cadenas de dos elementos incluyendo aquellas donde los elementos se repiten aa ab ba bb ac Se trata de un Arreglo de 3 elementos, tomados de dos en dos, con repetición Generalizando, Arreglo de m elementos tomados de n en n, con repetición; se calcula con. . . ca cc bc cb

Ahora podemos volver sobre el problema del total de información que se almacena en 1 byte. . . un bit entrega señales bi-estables con los elementos son { 0, 1 } Pero, en 1 byte hay 8 bit, es decir que las cadenas que se forman en un byte están conformadas por 8 señales, que pueden ser ceros ó unos Para calcular cuántas señales diferentes puedo almacenar en 1 byte, debo plantear un Arreglo de dos elementos tomados de ocho en ocho con repetición señales diferentes

14) Con los dígitos 2, 3 y 9 se puede formar números De los cuales serán mayores que 100 solo aquellos números que tengan tres cifras Son pares los números terminados en cifra par en este caso, la única cifra par es el 2 quedan entonces dos lugares, pero los elementos de que disponemos para esos dos lugares siguen siendo 3 2 recuerde que hay repetición de elementos; y los resolvemos con. . . efectivamente, esos números son. . . 2 2 3 2 2 9 2 3 2 2 3 3 2 3 9 2 2 9 3 2 9 9 2

15) desarrollamos las expresiones factoriales hasta queden en condiciones de poder simplificarse Haciendo pasajes de divisores como factores y viceversa simplificando los factores que son idénticos en el numerador y el denominador se simplifica 4! ; se resuelve el producto de los binomios haciendo pasajes de términos finalmente ó bien 16 b 16 c-d 16 e

Resolvemos ahora como ecuación de segundo grado a x 2 + b x + c = 0 con la fórmula si a=1 b = -12 y c = 20 son soluciones de la ecuación n = 10 adoptamos como solución de porque n = 2 es una solución absurda, ya que no es posible hallar 16 b 16 c-d 16 e

Verificamos la solución n = 10 Multiplicamos ambos miembros por y simplificamos queda verificado el resultado 16 b 16 c-d 16 e

Multiplicamos por 2 ambos miembros Ahora multiplicamos ambos miembros por (n – 3 )! simplificamos y obtenemos que se puede escribir Dividimos ambos miembros por (n - 1)! y simplificamos finalmente 16 c-d 16 e

Verificamos la solución n = 4 queda verificado el resultado 16 c-d 16 e

desarrollamos las factoriales y resolvemos según convenga hacemos pasajes factores como divisores y viceversa entonces resolvemos luego y simplificamos n=7 te queda la tarea de verificar el resultado desarrollamos convenientemente las factoriales y simplificamos 16 e

Quedamos con Sacamos factor común Resolvemos el corchete efectuamos el producto del 1 er miembro Para resolver la ecuación de 2º grado previamente multiplicamos todo por (6) simplificamos En la ecuación de 2º grado Y finalmente Las soluciones posibles son a = -1 n=3 n = 10 b = 13 16 e c = -30

Verificamos para n = 3 simplificamos 2 2 queda verificado el resultado n = 3 Para n = 10 4 queda verificado el resultado n = 10 6 16 e

desarrollamos los factoriales resolvemos. . . 2 simplificamos y operamos. . finalmente tenemos que es

Resolvemos Donde como una ecuación de 2º grado a=2 b=5 c= -52 Descartamos n 2 como resultado porque el resultado debe ser entero y verificamos n = 4 3 2 queda verificado el resultado n = 4

Binomio de Newton Sabemos que el ( a + b )2 se desarrolla cuadrado de un binomio y el cubo de un binomio ( a + b ) generalizando ( a + b ) 0 1 3 se desarrolla a 2 + 2 a b + b 2 a 3 +3 a 2 b+3 a b 2 + 17 a b 3 17 b n 2 n -1 n El desarrollo dela potencia de un binomio se compone de una sucesión de sumas (sumatoria) donde cada término está compuesto por un número combinatorio que multiplica al primer término del binomio elevado a una potencia y multiplica también al segundo término del binomio elevado a otra potencia donde el numerador de los números combinatorios se mantiene constante mientras el denominador aumenta desde 0 hasta n el exponente del primer término en cada sumando se forma con la diferencia entre el numerador y denominador del número combinatorio (va de n a 0) el exponente del segundo término en cada sumando se forma con el denominador del número combinatorio (va de 0 a n)

El desarrollo de la potencia de un binomio se escribe 17 a 1 17 b 1 n Los números combinatorios equidistantes en el desarrollo del binomio de Newton son iguales n

16) donde a = x ; b = -3 ; n = 5 nos conviene resolver los números combinatorios como cálculo auxiliar 17 b

reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión observe que los números combinatorios equidistantes que conforman el desarrollo de la potencia del binomio son iguales 17 b

donde a = x 3 ; b = 1/x ; n = 4 nos conviene resolver los números combinatorios como cálculo auxiliar

reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión 8 1 4 1

Término k-ésimo Si el desarrollo de la potencia de un binomio es 18 a-b 18 c-d Vemos que en el número combinatorio, para el primer término k = 0; para el segundo término k = 1; para el tercer término k = 2 y así sucesivamente. . . El desarrollo de la potencia n del binomio siempre tiene n + 1 términos así Si n (exponente) es par, n + 1 (cantidad de términos) es impar entonces el desarrollo tendrá un término central Si n (exponente) es impar, n + 1 (cantidad de términos) es par entonces el desarrollo tendrá dos términos centrales 18 e

17) a) Para hallar el undécimo término sin efectuar el desarrollo de Aplicamos la fórmula donde a = 2 x 2 ; b=-x; n = 15 y k = 11 Tenga presente que (–x)10 = [(-1)10 x 10] comprobamos b) Calcular el o los términos centrales de Si n = 9 el desarrollo tiene 10 términos, entonces hay 2 términos centrales hacemos términos centrales son el 5º y 6º 18 c-d 18 e

Hallamos entonces el 5º y el 6º término para donde n=9 a=3 x y b = -2 y k = 5 ahora n=9 a=3 x y b = -2 y k = 6

17 c) El coeficiente de x 32 en el desarrollo de Debe hallarse teniendo en cuenta que el término que contenga x 32 (si existe) debe ser de la forma aplicando la fórmula del término k-ésimo Resolvemos en el término k-ésimo solamente los factores que contienen x Llegamos a una expresión que contiene una potencia de x, en función de k ; como nosotros queremos saber cuál es el término (k) que contiene x 32 ; igualamos el exponente de x a 32 y despejamos k 18 d 18 e

17 c) Para verificar hallamos el 5º término del desarrollo de 18 d) Para hallar el término de grado 7 en Usamos el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior entonces, trabajando con los exponentes El problema NO TIENE SOLUCION porque k debe ser un número natural 18 e

17 e) Para hallar el término que contiene a-35 en planteamos. . . y estudiamos en particular los factores que contienen a La potencia del denominador pasa al numerador con signo cambiado operamos los exponentes del factor a (producto de potencias de igual base) igualamos el factor a elevado a la potencia que buscamos ( -35 ) igualamos los exponentes y despejamos k El término que contiene a-35 es el 23º 23 < 25 B. C. Recuerde que k debe ser un número natural menor ó igual que el exponente del binomio

18) Si los términos T 10 y T 15 son equidistantes de los extremos en el desarrollo de (x + a)n hallar n es mucho mas simple de lo que parece El desarrollo tiene n + 1 términos y si T 10 y T 15 son equidistantes de los extremos Antes que T 10 hay 9 términos después de T 15 también deben haber 9 términos T 1 + T 2 +. . . +T 8 + T 9 + T 10 +. . . +T 15 +T 16 +T 17 +. . . +T 23 +T 24 podíamos haber planteado: si T 10 y T 15 son equidistantes de los extremos 10 – 1 = 9 15 + 9 = 24 9 términos a la izquierda de T 10 el último término es T 24 el desarrollo de cualquier binomio y para tiene n + 1 términos finalizar. . . entonces. . . n = 23 te presento alguien que en algún momento puede darte una ayuda importante. . . n + 1 = 24 Serás lo que debas ser, sino serás nada. Gral. José de San Martín