ANLISE DE VARI NCIA MULTIVARIADA MANOVA Outubro de

ANÁLISE DE VARI NCIA MULTIVARIADA - MANOVA Outubro de 2008

OBJETIVOS DA AULA • Usar o R para realizar análises de variância univariadas (aov) e multivariadas (manova). • Realizar comparações simultâneas no caso de rejeição da hipótese nula de ausência de efeito de tratamento.

EXEMPLO 1 Para começar vamos trabalhar com a base de dados milk. txt. Descrição dos dados: as unidades de observação referem-se a caminhões de transporte de leite e os dados observados são custos (combustível, consertos, capital) associados ao veículo. O fator refere-se ao tipo de combustível que pode ser gasolina ou diesel.

Dados de transporte de leite • Primeiro, é necessário verificar se as suposições básicas do modelo são plausíveis: normalidade e variância constante. • milk=read. table(http: //www. im. ufrj. br/~flavia/mad 484/milk. txt, header=T) • Para isso vamos usar as funções Shapiro. test (verifica a normalidade dos dados) e var. test (realiza um teste de comparação das variâncias nos dois tipos de combustível).

Dados de transporte de leite • Verificadas as suposições básicas, estamos prontos para realizar a análise de variância univariada para verificar a hipótese de não haver diferença nas médias de custo de combustível. • comb=aov(milk$x 1~milk$comb)

TABELA ANOVA PARA CUSTO DE COMBUSTÍVEL summary(comb) g. l. SQ QM F p-valor tratamento 1 19, 96 2, 7874 0, 1007 resíduos 55 393, 80 7, 16 Total 56 413, 76 Portanto, não rejeitamos a hipótese nula de igualdade entre os custos médios de combustível.

Análise de variância do custo sobre consertos • • • cons=aov(milk$x 2~milk$comb) summary(cons) g. l. SQ QM F p-valor tratamento 1 134, 34 134. 34 7, 1096 0. 01005 * resíduos 55 1039, 26 18. 90 Portanto, ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula de igualdade entre as médias de custo de conserto para os dois tipos de caminhão.

Análise de variância do custo sobre capital • • • cap=aov(milk$x 3~milk$comb) summary(cap) gl SQ QM F p-valor Tratamento 1 1016, 25 39, 307 5. 885 e-08 Residuals 55 1421, 98 25, 85 • Portanto, para esse custo também rejeitamos a hipótese nula.

Análise de variância multivariada • Agora vamos realizar a análise de variância multivariada. Observe que aqui também é necessário verificar as suposições básicas do modelo, a saber, normalidade, variância igual e independência entre as diferentes observações. • Será necessário carregar o pacote stats do R.

ESTATÍSTICAS PARA TESTAR A HIPÓTESE DE AUSÊNCIA DE EFEITO DE TRATAMENTO • Vimos em aula a estatística lambda de Wilks dada pela razão entre os determinantes da matriz de somas de quadrados e produtos cruzados devida aos resíduos sobre o determinante da matriz de somas de quadrados e produtos cruzados da variação total. • Quanto menor for o valor dessa estatística, maior a evidência a favor da hipótese nula de ausência de efeito de tratamento.

ESTATÍSTICAS PARA TESTAR A HIPÓTESE DE AUSÊNCIA DE EFEITO DE TRATAMENTO • Outras estatísticas usadas para esse teste são baseadas nos auto-valores da matriz • Sejam os respectivos auto-valores • Estatística de Hotelling-Lawley: • Estatística de Pillai: • Estatística de Roy:

ESTATÍSTICAS PARA TESTAR A HIPÓTESE DE AUSÊNCIA DE EFEITO DE TRATAMENTO • O R calcula todas essas estatísticas. • Voltando aos dados de transporte de leite, suponha que após análise inicial, as suposições básicas do modelo tenham sido consideradas adequadas (normalidade, variâncias iguais e independência das observações).

MANOVA • Após carregar o pacote stats, defina o vetorresposta Y de dimensão 3 por: • Y=cbind(milk$x 1, milk$x 2, milk$x 3) • Defina o fator combustível por • classe=milk$comb • Faça então: • geral=manova(Y~classe) • geral 2=summary. manova(geral)

Call: manova(Y ~ classe) Terms: classe Residuals resp 1 19. 9576 393. 7967 resp 2 134. 3407 1039. 2641 resp 3 1016. 249 1421. 979 Deg. of Freedom 1 55 Residual standard error: 2. 675806 4. 34692 5. 084699 geral 2$SS $classe [, 1] [, 2] [, 3] [1, ] 19. 95757 -51. 77947 -142. 4144 [2, ] -51. 77947 134. 34071 369. 4910 [3, ] -142. 41438 369. 49102 1016. 2490 $Residuals [, 1] [, 2] [, 3] [1, ] 393. 7967 186. 8572 157. 6213 [2, ] 186. 8572 1039. 2641 311. 6113 [3, ] 157. 6213 311. 6113 1421. 9791

geral. W=summary. manova(geral, test="Wilks") geral. P=summary. manova(geral, test="Pillai") geral. R=summary. manova(geral, test="Roy") geral. HL=summary. manova(geral, test="Hotelling-Lawley") Df Wilks approx F num Df den Df Pr(>F) classe 1 0. 5122 16. 8262 3 53 8. 358 e-08 *** Df Pillai approx F num Df den Df Pr(>F) classe 1 0. 4878 16. 8262 3 53 8. 358 e-08 *** Df Roy approx F num Df den Df classe 1 0. 9524 16. 8262 3 Pr(>F) 53 8. 358 e-08 *** Df Hotelling-Lawley approx F num Df den Df Pr(>F) classe 1 0. 9524 16. 8262 3 53 8. 358 e-08 *** Residuals 55 Signif. codes: 0 ‘***’ 0. 001 ‘**’ 0. 01 ‘*’ 0. 05 ‘. ’ 0. 1 ‘ ’ 1

Resultado • Verifica-se então que os dados não trazem evidência a favor da hipótese nula, de modo que rejeita-se H 0.

Comparações Múltiplas • Quando a hipótese de ausência de efeito de tratamento é rejeitada, os efeitos que levaram à rejeição da hipótese são de interesse. • Para comparações duas a duas, a abordagem de Bonferroni pode ser usada para construir intervalos simultâneos de confiança para as diferenças dos efeitos de tratamento tomados dois a dois. • Esses intervalos serão mais estreitos que os intervalos simultâneos T 2 obtidos para todos os contrastes.

MODELO

No exemplo de transporte de leite, a hipótese nula foi rejeitada. Obtenha os intervalos de confiança de Bonferroni. Observe que como k=2 e p=3, teremos ao todo 3 contrastes a serem analisados, referindo-se às diferenças nas médias de cada uma das três componentes.

Como exercício obtenha os três intervalos e tire Suas conclusões.

Como segunda atividade vamos analisar os dados crabs sobre medidas morfológicas de duas espécies de caranguejos. Será necessário carregar o pacote MASS para obter os dados.