Anlise de Resposta em Freqncia 8 1 Introduo

Análise de Resposta em Freqüência 8. 1. Introdução 8. 2. Diagramas de Bode 8. 3. Construção do Diagrama de Bode com o Matlab Prof. André Marcato Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA 1

Introdução Aula 4 l Resposta em Freqüência: Resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal l Métodos de resposta em freqüência: Variase a freqüência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante. l Forma Gráfica: Ø Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico Ø Diagrama de Nyquist ou diagrama polar Ø Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de fase (carta de Nichols)

Obtenção das Respostas em Regime Permanente às Entradas Senoidais l. A resposta em regime permanente da função de transferência de um sistema pode ser obtida diretamente a partir da função de transferência senoidal Função de transferência na qual s é substituído por jw, onde w é a freqüência Aula 4

Sistema Estável, Linear, invariante no tempo l Aula 4 Se a entrada for um sinal senoidal, a saída em regime permanente também será um sinal senoidal com a mesma freqüência, mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase serão diferentes.

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Objetivo: Objetivo Mostrar que após esperar até que as condições de regime permanente sejam alcançadas, a resposta em freqüência pode ser calculada substituindo-se s por jw na função de transferência. Será mostrado também que a resposta em regime permanente é dada por: Relação de amplitude entre a saída e a entrada senoidal Aula 4 Defasagem, ou diferença de fase, entre a entrada senoidal e a saída senoidal

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Aula 4

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Aula 4

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Multiplicando os dois lados da igualdade por e avaliando no ponto igual s = -jw Repetindo o mesmo procedimento para Aula 4

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Aula 4

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais ü A amplitude do sinal de saída é dada pelo produto da amplitude do sinal de entrada pelo módulo de G(jw) ü O ângulo de fase da saída, difere do ângulo de fase da entrada pelo valor de Aula 4

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Aula 4

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Aula 4

Exemplo 8. 1. Aula 4

Exemplo 8. 1. Aula 4

Exemplo 8. 1. l Aula 4 Conclusões: Conclusões l Se w for pequeno: a defasagem da saída será pequena e a amplitude de resposta de saída será K vezes a amplitude da entrada l Se w for grande: a amplitude de resposta (saída) será pequena e quase inversamente proporcional a w. A defasagem se aproxima de -90º à medida que w tende a infinito. l Essa é uma rede de atraso de fase.

Exemplo 8. 2. Aula 4

Exemplo 8. 2. Aula 4

Exemplo 8. 2. Aula 4

Diagramas de Bode l Aula 4 Dois gráficos traçados em relação à freqüência em escala logarítmica: l Gráfico do Módulo em d. B l Gráfico do ângulo de fase l Representação padrão do logarítmo do módulo de G(jw) – a base do logarítmo é 10: l A unidade da representação do módulo é o decibel (db) l A multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma. 19

Fatores Básicos de G(jw)H(jw) Aula 4 l Ganho K l Fatores integral e derivativo (jw)± 1 l Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 l Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 l Uma vez familiarizados com a construção dos gráficos logarítmicos destes fatores básicos é possível utilizá-los na construção de um gráfico logarítmico composto por qualquer forma geral de G(jw)H(jw). 20

O Ganho K Aula 4 l Um número maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéis l Um número menor que uma unidade tem valor negativo l A curva do módulo em d. B de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis l O ângulo de fase do ganho K é zero l O efeito da variação do ganho K na função de transferência é o deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em d. B da função de transferência por um valor constante correspondente, sem nenhum efeito na curva de ângulo. 21

Conversão de um Número de d. B Aula 4 22

O Ganho K - Propriedades Aula 4 l Quando um número aumenta de um fator 10, o valor correspondente em d. B fica acrescido de 20 l Estendendo a análise: l O recíproco de um número difere apenas no sinal: 23

Fatores integral e derivativo ± 1 (jw) l O valor de logarítmico de 1/jw em decibéis é: l O ângulo de fase de 1/jw decibéis é constante e igual a 90. l No diagrama de Bode as relações entre as freqüências são dadas em termos de oitavas e décadas: Aula 4 l Uma oitava é um intervalo compreendido entre w 1 e 2 w 1, onde w 1 é qualquer valor de freqüência. l Uma década é um intervalo compreendido entre w 1 e 10 w 1, onde w 1 é qualquer valor de freqüência. l Exemplo: a distância horizontal entre w=10 é igual a distância horizontal entre w=30. 24

Gráfico de -20 logw d. B versus w l Em escala logaritmica será uma reta l Localiza-se um ponto (0 d. B, w=1) l Como a inclinação da reta será -20 d. B/década (ou 6 db/Década) Aula 4 25

Fatores integral e derivativo (jw)± 1 Aula 4 l De forma análoga, o módulo de jw em decibéis é: l O ângulo de fase é 90 o l A curva do logarítmo do módulo é uma reta com inclinação de 20 db/década 26

Diagrama de Bode de G(jw) = 1/jw e G(jw) = jw Aula 4 27

Fatores integral e derivativo (jw)± 1 l Se a função de transferência possuir o fator (1/ jw)n ou (jw)n , as grandezas logaritmicas se tornarão respectivamente: Ou Aula 4 l As inclinações passam a ser respectivamente -20 n d. B/década ou 20 n db/década l O ângulo de fase de (1/jw)n é igual a -90. n em toda a faixa de freqüência, enquanto que o de (jw)n é igual a 90. n em toda a faixa de freqüência. 28

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 l O módulo em d. B para o fator de primeira ordem 1/(1+jw. T) é: Para baixas freqüências, como w << 1/T Aula 4 Para altas freqüências, como w >>1/T 29

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 Aula 4 l Para w>>1/T, a curva de módulo em d. B é então, uma reta com inclinação de -20 d. B/década (ou -6 db/oitava) l A representação logaritmica da curva de resposta em freqüência pode ser aproximada por duas assíntotas

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 Freqüência de canto, ou freqüência de quebra ou mudança de inclinação Aula 4 31

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 Aula 4

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 Aula 4

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 Aula 4

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 Aula 4 l A FT (1/(1+jw. T) tem as características de um filtro passabaixas. l Para freqüências acima e 1/T, o módulo em d. B cai rapidamente para o infinito l No filtro passa baixas, a saída pode seguir, com fidelidade, a entrada senoidal para baixas freqüências l Em altas freqüências, a amplitude tende a zero e o ângulo de fase de saída tende a -90º. l Se a entrada tem muitos harmônicos, os componentes de baixa freqüência são reproduzidos com fidelidade na saída, enquanto os componentes de alta freqüência são atenuados na amplitude ou defasados. l Um elemento de primeira ordem fornece uma duplicação na saída somente para fenômenos constantes ou lentamente variáveis.

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)± 1 Aula 4

Fatores de primeira ordem (1+jw. T)±n Aula 4

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4 l As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em freqüência não são precisas para um fator com baixos valores de z. l O módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da freqüência de canto como do coeficiente de amortecimento z.

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Para baixas freqüências, como w << wn Aula 4 Para altas freqüências, como w >>wn

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4

Fatores quadráticos [1+2 z (jw/wn)+(jw/wn)2]± 1 Aula 4

Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr g(w) Aula 4

Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr Aula 4

Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr Aula 4

Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr Aula 4

Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr Aula 4

Procedimentos Geral para a Construção do Diagrama de Bode Aula 4 l Reescreve-se a função de transferência senoidal G(jw)H(jw) como produto de fatores básicos. l Identifica-se a freqüência de canto associada a estes fatores básicos l Traça-se as curvas assitóticas com módulo em d. B com as inclinações apropriadas entre as freqüências de canto l A curva do ângulo de fase pode ser obtida adicionando-se as curvas de ângulo de fase dos fatores individuais

Exemplo 8. 3. Aula 4

Exemplo 8. 3. Aula 4

Exemplo 8. 3. Aula 4

Exemplo 8. 3. Aula 4

Exemplo 8. 3. Aula 4

Exemplo 8. 3. Aula 4

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima Aula 4

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima Aula 4

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima Os valores dos ângulos de fase são menores para o sistema de fase mínima (G 1) para todas as freqüências Aula 4

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima Aula 4

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima l Aula 4 Para sistemas de fase mínima, as características de módulo e de ângulo de fase estão relacionadas univocamente. l Se a curva de módulo de um sistema for especificada para toda a gama de valores de freqüência de zero a infinito, a curva de ângulo de fase será determinada de forma única e vice-versa l Isto não ocorre para sistemas de fase nãomínima.

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima l Aula 4 Para sistemas de fase mínima: l O ângulo de fase em w=∞ torna-se -900(p-q), onde p e q são os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência, respectivamente. l A inclinação da curva de módulo em d. B em w=∞ é igual a -20(p-q)/década (esta condição vale também para os sistemas de fase nãomínima).

Retardo no Transporte Aula 4 l Tem comportamento de fase não-mínima e apresenta atraso excessivo, sem atenuação nas altas freqüências l Esses retardos de transporte normalmente ocorrem nos sistemas térmicos, hidráulicos e pneumáticos

Retardo no Transporte Aula 4

Retardo no Transporte Aula 4

Exemplo 8. 4. Aula 4

Exemplo 8. 4. Aula 4

Exemplo 8. 4. Aula 4

Relacionamento entre o Tipo de Sistema e a Curva do Módulo em d. B Aula 4

Determinação do Erro Estático de Posição Aula 4

Determinação do Erro Estático de Posição Aula 4

Determinação do Erro Estático de Velocidade Aula 4

Determinação do Erro Estático de Posição Aula 4

Determinação do Erro Estático de Posição Aula 4

Determinação do Erro Estático de Posição Aula 4

Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração Aula 4

Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração Aula 4

Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração Aula 4

Construção do Diagrama de Bode com o Matlab Aula 4

Construção do Diagrama de Bode com o Matlab Aula 4

Construção do Diagrama de Bode com o Matlab Aula 4

Exemplo 8. 5 Aula 4

Exemplo 8. 5. Aula 4

Exemplo 8. 6 Aula 4

Exemplo 8. 6 Aula 4

Exemplo 8. 6. Aula 4

Exemplo 8. 6. Aula 4

Exemplo 8. 6. Aula 4

Exemplo 8. 6. Aula 4

Exemplo 8. 6. Aula 4

Exemplo 8. 6. Aula 4

Exemplo 8. 6. Aula 4

Obtenção dos Diagramas de Bode nos Sistemas Definidos no Espaço de Estados Aula 4

Aula 4

Exemplo 8. 7. Aula 4

Aula 4