ANLISE COMBINATRIA Organizando coisas Prof Juliana Schivani http

ANÁLISE COMBINATÓRIA Organizando coisas Profª Juliana Schivani

http: //oglobo. com/economia/numero-de-celulares-no-brasil-maior-que-dehabitantes-2924116. Notícia de nov. 2010. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Os usuários de telefonia móvel do Estado de São Paulo que estão dentro da área de código (11) deverão se acostumar com a nova medida que acrescentará um dígito à esquerda, antes da combinação de números do celular atual, passando de oito para nove algarismos. Segundo a Anatel, a mudança terá como objetivo ampliar os recursos de numeração dessa área. O número 9 será o adotado para ampliar a sequência de dígitos da numeração pessoal de cada usuário de telefonia móvel em São Paulo. http: //www. fatoexpresso. com. br/2012/01/27/celular es-de-sao-paulo-terao-9 -digitos-a-partir-de-julho/ Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

http: //g 1. globo. com/economia/seudinheiro/noticia/2012/01/gastos-dos-brasileiros-comroupas-sobem-684 -em-9 -anos-diz-pesquisa. html Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Os nordestinos investiram pesado, no ano passado, para incrementar o guarda -roupa, gastando R$ 15, 3 bilhões em itens de vestuário. Os consumidores da região perderam apenas para os do Sudeste, que desembolsaram R$ 30, 5 bilhões. [. . . ] Segundo a pesquisa, 21, 4% dos brasileiros da classe C disseram comprar roupas pelo menos uma vez a cada três meses. Entre a elite, o índice ficou em 61, 6% e entre os emergentes, 38, 1%. [. . . ]. http: //sindilojasfor. org. br/acasadolojista/no rdestino-e-2º-em-gastos-com-roupas/ Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

25/10/2010 Explosão de frota esgota a numeração de placas [. . . ] A frota cresceu tanto que o Estado esgotou todas as possibilidades sequenciais com a letra K. [. . . ] O número de carros novos sendo emplacados no Estado é tão grande que, antes de liberar a nova sequência com as letras PE, o Denatran autorizou o emplacamento de 30 mil carros com as letras NXZ, NXV e NXW. Mas em um mês e meio o Detran-PE usou todas as sequências, tendo que pedir um novo grupo de letras. “Essa situação não vem acontecendo apenas em Pernambuco. É no País inteiro. “ [. . . ] Jornal do Commercio - PE Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

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Fonte: http: //g 1. globo. com/saopaulo/noticia/2014/01/rodiziomunicipal-de-veiculos-voltavigorar-nesta-segunda-emspp. html Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Quantos Quantas placas Quantas senhas números de de automóvel é bancárias podem telefones podem possível ter ser criadas com 4 ser feitos com 8 usando 3 letras e algarismos? 4 algarismos? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

ORGANIZAR e CONTAR formas adequadas um grande número de para ordenar possibilidades informações CONTAGEM Diferente da PROBABILIDADE, que calcula a chance de um evento específico ocorrer em meio a todas as possibilidades, a ANÁLISE COMBINATÓRIA determina o número de possibilidades de algum evento, sem precisar descrever necessariamente todas as possibilidades. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Alice acabou de comprar 3 blusas (rosa, branca e vermelho), 2 saias (comprida e média) e 2 sandálias (cor clara e cor escura). Ela irá à festa da sua melhor amiga e está indecisa quanto a que roupa vestir. De quantas maneiras diferentes, Alice pode escolher entre as blusas, saias e sandálias novas? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM blusa SE VESTIR saia calçado 3 opções 2 opções 3 · 2 = 12 opções Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 2 · 3 = 6 opções de combinações Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM blusa SE VESTIR saia calçado 12 opções 10 opções 3 opções 12 · 10 · 3 = 360 opções Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ou Princípio multiplicativo d 1 Decisão d x 1 maneiras d 2 x 2 maneiras d 3 x 3 maneiras x 1 · x 2 · x 3 maneiras Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantas placas de automóveis podem ser fabricadas com 3 letras seguidas de 4 algarismos? 26 26 26 10 10 26³ · 104 = 175 760 000 placas distintas Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantos números de telefones podem ser feitos com o prefixo 3211 e com o sufixo composto de 4 algarismos? 3 2 1 1 1 10 10 X X 14 · 104 = 10 000 números distintos Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Em um saguão de um prédio, existem 7 portas. Tentando melhorar a circulação de ar no local, o zelador está testando diferentes modos de deixar as portas abertas. Ele pode deixar de 1 até 6 portas abertas, mas não todas as 7 ao mesmo tempo. De quantas formas diferentes essas portas podem ficar abertas? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 2 2 2 2 Total de possibilidades = 27 = 128 Uma das 128 possibilidades é a de todas as portas abertas (o que não pode ocorrer) e a outra é de todas as fechadas (o que também não é o caso). Possibilidades possíveis = 128 – 2 = 126 Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 6 8 2 10 = 6 · 8 · 2 · 10 = 960 DIAS DE ALMOÇOS DISTINTOS Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? Como eu preciso escolher algarismos específicos no final (pelo fato de serem números ímpares), então começamos a escolha pelo último algarismo, para depois escolher o primeiro, que não pode ser zero (caso contrário, o número passa a ter 2 algarismos. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? Escolher o último número {1, 3, 5, 7, 9} ESCOLHER O NÚMERO Escolher o primeiro número {1, 2, . . . , 9} – último número 5 maneiras 8 maneiras Escolher o número do meio {0, 1, 2, . . . , 9} – dois números = 8 · 5 = 320 anteriormente escolhidos NÚMEROS Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? Outra forma de resolver a questão é pensar que o zero só pode ocupar a segunda posição, mas, não necessariamente ele pertencerá ao número. 0 Números com o zero: Números sem o zero: 8 1 5 7 8 5 (8 · 1 · 5) + (7 · 8 · 5) = 40 + 280 = 320 números Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? Escolher o último número {0, 2, 4, 6, 8} ESCOLHER O NÚMERO Escolher o primeiro número {1, 2, . . . , 9} – último número 5 maneiras 8 maneiras Se o zero tiver escolhido como sendo o último número, então a decisão 2 poderá ser tomada de 9 maneiras. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? 0 Zero no final: 9 Zero no meio: Sem o zero: 8 1 0 8 1 4 8 7 4 (9 · 8 · 1) + (8 · 1 · 4) + (8 · 7 · 4) = 72 + 32 + 224 = 328 números Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? Outra forma de resolver a questão é descobrir o total de números com os 10 algarismos e diminuir do total de números ímpares. Desse modo, encontramos, por eliminação, o total de números pares. Total geral de números – Total de ímpares = Total de pares (9 · 8) – 320 = 648 – 320 = 328 números Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Além do princípio multiplicativo, em que você escolhe uma coisa E depois outra, existe, também, o princípio ADITIVO, ADITIVO em que você tem a opção de escolher uma coisa OU outra. . E. → PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO → MULTIPLICAR. OU. → PRINCÍPIO ADITIVO → SOMAR Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Na cantina da Dona Delta tem coxinhas de camarão, lagosta e siri, além dos pastéis nos sabores: caranguejo e sururu. Se eu comprar um pastel ou uma coxinha. De quantas formas distintas eu posso fazer a minha escolha? 3 tipos 2 tipos OU 3 + 2 = 5 escolhas distintas Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Em uma prova de atletismo há dez atletas, entre eles, Henrique. Sabendo que o pódio é constituído dos três primeiros e que Henrique ganhou medalha, de quantas maneiras distintas pode-se organizar o pódio? OU H 8 1 9 72 possibilidades OU H 8 9 1 72 possibilidades Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani 9 H 1 8 72 possibilidades

Em uma prova de atletismo há dez atletas, entre eles, Henrique. Sabendo que o pódio é constituído dos três primeiros e que Henrique ganhou medalha, de quantas maneiras distintas pode-se organizar o pódio? OU H 1 9 8 OU 9 H 1 8 9 72 + 72 = 216 possibilidades Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani 8 H 1

ORGANIZAR / AGRUPAR GRUPO ORDENADAMENTE DE ELEMENTOS TODO eles PERMUTAÇÃO SIMPLES PERMUTAR objetos é pegar todos esses objetos e alterar sua ordem. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

2. PERMUTAÇÃO SIMPLES Pedro, Bia, João, Tiuko e Vitor são amigos que estudam na mesma sala e sempre sentam nas cinco carteiras da primeira fileira. Eles vivem brigando por causa da posição em que cada um quer sentar. A professora, então, propôs um rodízio completo dos amigos na fileira, trocando de posição todos os dias. Em quantos dias, as possibilidades dos 5 amigos se sentarem em 5 cadeiras, se esgotarão? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

2. PERMUTAÇÃO SIMPLES 5 · 4 · 3 · 2 · Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani 1 = 120

2. PERMUTAÇÃO SIMPLES Organizar 5 pessoas em 5 cadeiras 5 Escolher a 1ª pessoa para a 1ªcadeira -> maneiras 4 Escolher a 2ª pessoa para a 2ªcadeira -> maneiras 3 Escolher a 3ª pessoa para a 3ªcadeira -> maneiras 2 Escolher a 4ª pessoa para a 4ªcadeira -> maneiras 1 Escolher a 5ª pessoa para a 5ªcadeira -> maneira 120 maneiras Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

2. PERMUTAÇÃO SIMPLES significa que não haverá repetição de elementos a cada agrupamento. A decisão é escolher de n modos o elemento que ocupará o 1º lugar, lugar de n – 1 modos o elemento que ocupará o 2º lugar e assim por diante, até que a escolha do último lugar possa ser feita de apenas 1 modo Fatorial de um Pn = n · (n – 1) · (n – 2) ·. . . · 1 = n! Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani número n

2. 1 FATORIAL DE UM NÚMERO Consideremos um número natural n, maior que 1. O fatorial desse número n, isto é, n! (lê-se n fatorial) será o produto de todos os números anteriores a n até chegar no 1. Por definição, 0! = 1 e 1! = 1. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

2. 2 SIMPLIFICAÇÃO COM FATORIAL 5! 2! 5· 4· 3· 2! = = 60 2! 3! 6! 1 3! = = 6· 5· 4· 3! 120 1000! 1000· 999! = = 1000 999! Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

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Para fazer a operação de fatorial na calculadora, deve-se ativar a segunda função através do botão SHIFT e pressionar x! Não esqueça de usar os parênteses nas operações. Para resolver esta combinação na calculadora, faz: Um erro comum é esquecer do primeiro parênteses. Dessa forma, é como se fizesse: Análise Combinatória

2. PERMUTAÇÃO SIMPLES Em uma estante, há nove livros diferentes: quatro de Física e cinco de Matemática. De quantos modos é possível arrumá-los em uma única prateleira? Se pudermos colocá-los em qualquer ordem, o problema se reduz a nove objetos distintos devem ser alocados em 9 lugares. A resposta: permutação simples, ou seja, 9! maneiras. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

2. PERMUTAÇÃO SIMPLES Em uma estante, há nove livros diferentes: quatro de Física e cinco de Matemática. De quantos modos é possível arrumá-los em uma única prateleira, ficando os livros de cada área juntos? FÍSICA 4! e MATEMÁTICA OU MATEMÁTICA 5! 2 · (4! · 5!) = 5760 5! e FÍSICA 4! Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

ORGANIZAR / AGRUPAR GRUPO ORDENADAMENTE DE ELEMENTOS PARTE deles O J N A R R A CO M BIN AÇ ÃO Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Uma pessoa dispõe de 4 frutas distintas e deseja fazer uma salada com EXATAMENTE 3 dessas quatro frutas. Quantas saladas distintas podem ser produzidas? 1ª 2ª 3ª 4 3 2 = 24 modos distintos Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

A ordem da escolha não importa, ou seja, LUB = LBU = BLU = BUL = UBL = ULB. Então temos que “descontar” estas possibilidades dividindo pelo total de escolhas, isto é, por 3!, Assim o resultado correto será 24/3! = 4 saladas distintas. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

3. ARRANJO SUBGRUPO DE n ELEMENTOS DE p ELEMENTOS COM ORDEM Precisa-se escolher dentre 50 alunos de uma turma, 1 para ser líder, 1 para vice-líder e 1 para tesoureiro de uma comissão. De quantas maneiras distintas pode ocorrer esta escolha? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

3. ARRANJO PRESIDENTE, VICE-PRESIDENTE, TESOUREIRO JOÃO, PEDRO e RITA ≠ RITA, JOÃO, PEDRO A ordem da escolha é importante!!! 50 · 49 · 48 = 50 · 49 · 48 · 47! 50! = (50 – 3)! Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani = 117 600 possibilidades

3. ARRANJO Quantas senhas podem ser formadas no banco que utiliza 6 números distintos? A ordem da escolha é importante!!! 123456 10 9 8 ≠ 7 654321 6 5 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4! = 10! = 151 200 4! (10 – 6)! Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

4. COMBINAÇÃO SUBGRUPO DE p ELEMENTOS DE n ELEMENTOS SEM ORDEM Precisa-se escolher dentre 50 alunos de uma turma, 3 deles para montarem uma comissão de formatura. De quantas maneiras distintas pode ocorrer esta escolha? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

4. COMBINAÇÃO 1ª pessoa, 2ª pessoa, 3ª pessoa JOÃO, PEDRO e RITA = RITA, JOÃO, PEDRO A ordem da escolha NÃO é importante!!! 50 · 49 · 48 = 117 600 3· 2· 1 3! = 117 600 6 = 19 600 escolhas distintas total de permutações entre três escolhidos Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

4. COMBINAÇÃO Ache todas as combinações simples (sem repetição) constituída de 3 elementos com os objetos a 1 , a 2 , a 3 , a 4 e a 5. 5 4 3 5 · 4 · 3 = 60 Para cada tripla de elementos, contamos 6 (=3!) vezes, ao invés de apenas 1 vez. Dessa forma, o número que encontramos (60) é na verdade 6 vezes o número real de possibilidades. Assim, podemos chegar ao resultado correto dividindo o que encontramos por 6 (ou 3!). Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

4. COMBINAÇÃO Além da notação , usa-se também para simbolizar o uso de combinatória as notações Cn, p e , de modo que: Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

4. COMBINAÇÃO Num hospital, há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 vagas no banco de sangue e 2 vagas na radioterapia. Se 6 pessoas se candidatarem para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de quantas formas distintas essas vagas poderão ser preenchidas? Decisão d 1: escolher 3 pessoas para trabalhar no berçário dentre os 6 candidatos. Decisão d 2: escolher 5 pessoas para trabalhar no banco de sangue dentre os 8 candidatos. Decisão d 3: escolher 2 pessoas para trabalhar na radioterapia dentre os 5 candidatos. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Fonte: http: //ultimosegundo. ig. com. br/mega-sena/2014 -02 -19/mega-sena-sorteia-maior -premio-do-ano-confira-as-seis-dezenas. html Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Quantos cartões da Mega Sena (60 números) com 6 marcações cada, podemos fazer? 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6, 5, 4, 3, 2, 1 A ordem não é importante!!! C 60, 6 = 60! 6! (60 – 6)! 6! · 54! = 50. 063. 860 possibilidades de cartões com 6 números Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Fazendo uma aposta simples com 6 números, qual a probabilidade de você ser sorteado? 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6, 5, 4, 3, 2, 1 A ordem não é importante!!! P = 1 50. 063. 860 = 1, 99 · 10 -8 = 0, 00000199% Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

A prova antiga da UFRN continham 15 questões onde cada uma apresentava 4 alternativas. Quantas eram as possibilidades de gabaritos? Até 2012, as provas da UFRN passaram a ter 12 questões, ainda com quatro alternativas cada uma. Quantos gabaritos agora era possível obter? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

É mais fácil acertar com um jogo simples da MEGA SENA ou acertar “no chute” as 15 questões antigas da UFRN? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Se um apostador jogar 7 números, quantos cartões de 6 números serão equivalentes? C 7, 6 = = 7! 6! (7 – 6)! 6! · 1! 7 · 6! = 7 cartões 6! => 1 cartão de 7 números ≈ 7 cartões de 6 números Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Numa casa lotérica encontramos a tabela abaixo onde são mostrados os preços das apostas da MEGA-SENA. Será que estes valores são justos? QTD DE NÚMEROS VALOR 6 R$ 2, 00 7 R$ 14, 00 8 R$ 56, 00 9 R$ 168, 00 10 R$ 420, 00 C 7, 6 = 7 → 7 · R$2, 00 C 8, 6 = 28 → 28 · R$2, 00 C 9, 6 = 84 → 84 · R$2, 00 C 10, 6 = 210 → 210 · R$2, 00 = = R$ 4, 00 R$ 56, 00 R$ 168, 00 R$ 420, 00 Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

A Caixa Econômica Federal permite uma aposta de até 15 números num mesmo cartão. Neste caso, quanto custaria uma aposta de um cartão de 15 números? C 15, 6 = = 15! 6! (15 – 6)! 6! · 9! 15 · 14 · 13 ·. . . · 8 · 9! 720 · 9! = 5 005 cartões de 6 números 5 005 x R$ 2, 00 = R$ 10. 010, 00 Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Se você fosse apostar R$10. 010, 00 na Mega Sena, pensando em maximizar suas chances de acertar a sena você preferiria jogar apenas UM único cartão com 15 números ou 5005 Cartões com 6 números? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

ORGANIZAR / AGRUPAR GRUPO o grupo com DE ELEMENTOS IGUAIS PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

Quantas senhas (ANAGRAMAS) diferentes podemos formar com as letras da palavra CONCURSO? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

5. PERMUTAÇÃO Primeiro, vamos ver quantas permutações podemos fazer com a palavra CONTAR que não tem nenhuma letra repetida. CONTAR São 6 letras que podem ser permutadas: 6 5 4 3 2 6 ! = 720 palavras diferentes Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani 1

5. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO CONCURSO Na palavra CONCURSO há 8 letras, sendo 2 C’s e O’s. Ao trocar a posição das letras C e O, a palavra continua a mesma, isso quer dizer que precisamos “descontar” esses casos. P 8 (2, 2) = 8! 2! · 2! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 2! · 2! 2 = 10. 080 senhas (anagramas) diferentes Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

5. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO x, y, z, . . . são a quantidade de repetições de cada elemento no grupo. n é a quantidade total de elemento no grupo. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

5. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Quantos números com seis algarismos podemos formar usando apenas os algarismos 1, 1, 2 e 3? 111123 =. . . Ao formarmos um número com esses algarismos, se alterarmos as posições dos 1 entre eles, não teremos diferença no número obtido. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

SIMPLES REVISÃO PERMUTAÇÃO TODOS COM REPETIÇÃO Organizar n elementos diferentes ARRANJO (com ordem) PARTE DELES COMBINAÇÃO (sem ordem) Análise Combinatória

REFERÊNCIAS IEZZI, Gelson. . . [et al. ]. Matemática: ciência e aplicações, 2. ensino médio. 6ª ed. São Paulo: saraiva, 2012. (pág 250 – 266) PEREIRA, André Gustavo Campos. Análise combinatória e probabilidade: interdisciplinar. Natal, RN: EDUFRN, 2006. Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani

ANÁLISE COMBINATÓRIA Profª Juliana Schivani juliana. schivani@ifrn. edu. br docente. ifrn. edu. br/julianaschivani