ANLISE COMBINATRIA FATORIAL 5 5 4 3 2
ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 3! = 3. 2. 1 = 6 2! = 2. 1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO n! = n. (n 1). (n 2). (n 3). . . 2. 1 Exemplo: Calcular o valor de: a) 4! + 3! 24 + 6 30 b) 7! 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 5040 Observe que: 4!+3! 7! c) = 10. 9. 8! 8! = 90
(n + 1)! = (n + 1). n. (n – 1). (n – 2). (n – 3). . (n + 1)! = (n + 1). n. (n – 1)! O conjunto solução de: d) é: 50. 49! – 49! Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! 49! m– 3=1 m=4 49!(50 – 1) 49! 49 (n + 1). n. (n – 1)! m=3 = 210 Logo a soma dos valores de m é 7 (n + 1). n = 210 n 2 + n – 210 = 0 n’ = 14 m– 3=0 n’’ = - 15 (não convém)
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E 1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E 2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : : En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E 1. E 2. . . Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição. ) 26 26 26 10 10 = 175. 760. 000
Arvore das Possibilidade
Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis 244 244 244 : : : 3215 5138 0008 2344 0000 Usando o princípio fundamental da contagem: 244 10 10 = 10 000 números fixo
Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 100 99 = 9900 maneiras
USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS IMPORTA ORDEM COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM FORMULÁRIO Pn = n!
Permutação Simples É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.
Exemplo Quantos números de 5 algarismos podem ser formados por 1, 9, 8, 7, 5?
Permutação com Repetição Pn = Onde n é o número de elementos e o número de repetições.
Exemplo A palavra BANANA possui quantos anagramas?
Arranjo Simples
Combinação Simples
Distinguindo Permutações, Arranjos e Combinações Simples • Arranjos são os agrupamentos que diferem pela ordem e pela natureza de seus elementos. • Combinações são os agrupamentos que diferem pela natureza de seus elementos. • Permutações são os agrupamentos que diferem apenas pela ordem de seus elementos.
01. Um número de telefone é uma seqüência de 7 dígitos, o primeiro dígito deve ser diferente de 0 ou 1. Quantos números de telefone distintos existem?
02. Vamos contar o número de palavras feitas de quatro letras distintas do alfabeto.
03. O número de combinações de duas possíveis letras em um conjunto de 4 (A, B, C E D).
04. Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta r paralela a s. Quantos triângulos existem com vértices em 3 desses 13 pontos?
- Slides: 20