ANLISE COMBINATRIA E PERMUTA Prof Elisson de Andrade

ANÁLISE COMBINATÓRIA E PERMUTA Prof. Elisson de Andrade

Análise combinatória •

Fatoriais • Para fazer a análise combinatória precisamos compreender o que é um FATORIAL • Notação: 3! • Como calcular 3! • Resposta: 3! = 3. 2. 1 = 6

Fatoriais • Calcule os seguintes resultados: • 4! • Resp: 24 • 5! • Resp: 120 • 5!/4! • Resp: 5 • 13!/11! • Resp: 156

Análise combinatória • Suponha o seguinte problema. Temos quatro bolinhas num saquinho. 1 2 3 4 • Se tirarmos apenas duas bolinhas, quais as possiblidades de combinações? 1 1 2 1 3 2 4 2 3 4

Análise combinatória • Ou seja, temos 6 possibilidades de “agrupar 4 bolinhas, duas a duas” • Porém, e se tivéssemos 20 bolinhas numeradas, e quiséssemos agrupá-las 3 a 3? • Sem uma fórmula, fica difícil fazer essas combinações apenas “no visual”

Análise combinatória • • Aqui estamos falando em agrupar n elementos, k a k • Seguindo o exemplo: agrupar 4 bolinhas, 2 a 2

PIT STOP: aula passada x essa aula

Agora estamos com 2 tipos de contagem • Aula passada: experimento em múltiplas etapas • Etapa 1: tirar uma de 4 bolinhas de um saco • Etapa 2: tirar uma de 4 bolinhas de um saco • Etapa 3: tirar uma de 4 bolinhas de um saco • Combinações: 43 = 64 • Aula Atual: quantas combinações posso fazer com 4 bolinhas, duas a duas

Análise combinatória • • Ou seja, 4 elementos, combinados 2 a 2, dão 6 possibilidades

Exercício 1 • De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinho?

Exercício 2 • Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco, qual o número de combinações?

Exercício 3 • Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os tipos de sorvete disponíveis?

Facilitando Para fazer análise combinatória na calculadora científica, basta digitar o valor de n, clicar no botão n. Cr, e em seguida o valor de k

FATORIAL

Vamos refazer todos os 3 exercícios, agora na calculadora

Exercício 4 • Na sua calculadora, calcule o número de possibilidades de um jogo da MEGA SENA • São 60 números, que podem ser dispostos 6 a 6 • RESP: 50. 063. 860 possibilidades

Exercício 5 • Se você joga na mega sena com 7 números, com quantas • • combinações de 6 números está apostando? RESP: 7 combinações Faça o mesmo para jogar com 8 e 9 números RESP: 28 e 84 combinações Se a chance de 6 únicos números é 1 em aprox. 50 milhões, qual a chance de apostar 7, 8 e 9 números? • 7: 1 em 7, 1 milhões • 8: 1 em 1, 7 milhão • 9: 1 em 595 mil

PERMUTA

Permuta •

4 bolinhas numeradas de 1 a 4 estão em um saquinho. Quantas combinações teremos ao retirar duas a duas? Permuta a ordem importa Análise combinatória a ordem NÃO importa 12 21 12 13 13 31 14 23 14 41 24 34 23 32 24 42 34 43

Exercício 1 • Temos um saco com 5 bolinhas numeradas. Quantas permutas é possível fazer 2 a 2?

Facilitando Para fazer análise combinatória na calculadora científica, basta digitar o valor de n, clicar no botão n. Pr, e em seguida o valor de k

Exercício 1 • Nosso sistema numérico é composto de números de 0 a 9. Quantas permutas de 3 algarismos são possíveis serem feitas? Obs: não chegamos a 1000 números porque não estamos considerando a possibilidade de repetir números (ex: 111, 112, 377 etc). Para isso faríamos uma contagem POR ETAPAS, em que teríamos nk = 103 = 1000 possibilidades (do 000 até 999)

Exercício 2 • Placas de carros utilizam as 26 letras. Quantas permutas de letras são possíveis para iniciar uma placa com letras diferentes. Obs: mais uma vez, não chegamos ao total de possibilidades de combinações de LETRAS, pois não contabilizamos placas com duas ou três letras iguais. Para tal, faríamos uma combinação por ETAPAS, 263 = 17. 576

Exercício 3 • Placas de carros utilizam 4 números. Quantas permutas de números são possíveis para finalizar uma placa com números diferentes entre si. Obs: por fim, não chegamos ao total de possibilidades DE 4 NÚMEROS POSSÍVEIS, pois não contabilizamos placas com dois, três ou quatro números iguais. Para tal, faríamos uma combinação por ETAPAS, 104 = 10. 000

Curiosidade • Como vimos nas OBSERVAÇÕES, existem 17. 576 mil combinações totais de 3 letras e 10. 000 de números. • Logo, teremos:

LISTA DE EXERCÍCIOS