Anhang F Beispielklausur n In diesem Kapitel wird

Anhang F: Beispielklausur n In diesem Kapitel wird ein Beispiel für eine Klausur vorgestellt. Dabei sind jeweils die Aufgaben und die Lösungen gegeben. n Beachten Sie n Diese Beispielklausur erhebt weder in Form, Inhalt noch Umfang einen Anspruch auf Vollständigkeit. - dies betrifft insbesondere reine Wissensfragen, die hier etwas vernachlässigt sind. n Grundsätzlich ist der gesamte in der Vorlesung und den Übungen behandelte Stoff möglicher Gegenstand der Prüfung n Vorbereitung n Arbeiten Sie die gesamten Folien nochmals durch n Bearbeiten Sie alle Übungsaufgaben nochmals n Arbeiten Sie das Skript von Herrn Geise durch n Bearbeiten Sie dessen Übungsaufgaben Bedenken Sie: In der Klausur sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Informatik n Fehlt in dieser Beispielklausur a). . .

Information n Eine Nachrichtenquelle sendet Zeichen aus dem Alphabet X = {a, b, c, d, e} mit den Wahrscheinlichkeiten p(a)=1/2, p(b)=p(c)=p(d)=p(e)=1/8 Berechnen Sie die Entropie der Quelle a) b) c) d) e) Wie groß ist der Informationsgehalt der einzelnen Zeichen Wie groß ist der Informationsgehalt der Nachricht „abc“ Wie groß ist der mittlere Informationsgehalt einer Nachricht mit 1000 Zeichen Finden Sie einen möglichst optimalen Code für dieses Alphabet Angenommen die Wahrscheinlichkeiten wären p(b)=1/2, p(a)=p(c)=p(d)=p(e)=1/8. Wie groß wäre dann die Redundanz Ihres Codes aus Aufgabe d) n Hamming a) Codieren Sie die Binärzahl 1000 mit der Hamming-Methode b) Wieviele Bits können als fehlerhaft erkannt werden ? c) Wieviele Bits können korrigiert werden ?

Zahlensysteme n Stellen Sie die Dezimalzahl 7, 25 a) Binär b) Hexadezimal c) Oktal dar n Berechnen Sie im Binärsystem (mit Vollständiger Rechnung) a) 1100101 : 100 b) Machen Sie schriftlich die Gegenprobe c) 10111 – 1010 (durch Subtraktion des Zweierkomplements

Zahlensysteme n Fehlt in dieser Beispielklausur: a) Gleitpunktzahlen b) IEEE 754 c). . .

Datenstrukturen n Gegeben ist folgende Struktur . . . Vorname Nachname . . . a) Definieren Sie Datenstrukturen, mit denen diese Struktur einer zweifach verketteten Liste repräsentiert werden kann. b) Begründen Sie, weshalb diese Datenstruktur als „dynamisch“ bezeichnet wird (im Gegensatz zu statisch) c) Geben Sie jeweils zwei Gründe für die Verwendung dynamischer bzw. statischer Datentypen an. d) Definieren Sie statische Datenstrukturen, mit denen man die oben aufgezeichnete Struktur möglichst vollständig abbilden kann.

Algorithmenentwurf n Gegeben ist folgender Algorithmus: x=a, y=5; while (x>0) { y = y+1; x = x-1; } a) Formen sie die while Schleife in eine repeat-Schleife um b) Bilden Sie die Funktion dieses Algorithmus‘ ohne Schleifen, mit Hilfe von Sprüngen und Marken nach

Algorithmenentwurf n Fehlt in dieser Beispielklausur: a) b) c) d) Weitere Umformungen Blockung Umwandlung Rekursion/Iteration. . .

Berechenbarkeit n Beweisen Sie mit Hilfe einer Turing-Maschine, dass f: N N mit: f(x) ist Binärkomplement von x berechenbar ist. a) Geben Sie dabei an: l l l Alphabet Bandinschrift (mit Codierverfahren) Kopfposition Zustände (mit dem Startzustand und den Endzustände) Zustandsübergänge b) Zeichen Sie für eine Zahl das Turingband vor- und nach Ausführung des Turingprogrammes

Korrektheit n Tausch zweier Variablen a) Entwerfen Sie einen Algorithmus zum Vertauschen der Werte zweier Variablen (vom Typ integer) l Vorbedingung: x=a, y=b l Nachbedingung: x=b, y=a b) Beweisen Sie die Korrektheit Ihres Algorithmus n Gegeben sei folgender Algorithmus: x=3, y=5; while (x>0) { y = y+1; x = x-1; } a) Was macht dieser Algorithmus ? b) Beweisen Sie Ihre Antwort für Frage a) mit Hilfe der Hoare'schen Logik

Komplexität n Fehlt in dieser Beispielklausur: a) b) c) d) Fragen zu den Konstanten c und n 0 Beispiele für O(. . . ) Bestimmung des Aufwandes für iterativen/rekursiven Algorithmus. . .

Reguläre Ausdrücke n gegeben ist folgender regulärer Ausdruck R (in UNIX-Notation): [abc]*d[abc]+ (mit Alphabet = {a, b, c, d} ) a) formulieren Sie den Ausdruck in die „klassische“ Notation für reguläre Ausdrücke um. b) Geben Sie 2 Worte aus L(R) deren Länge jeweils genau 10 Zeichen betragen c) Geben Sie zwei Worte aus * an, die nicht in L(R) sind d) Konstruieren Sie einen indeterministischen endlichen Automaten A mit L(A)=L(R) n Konstruieren sie reguläre Ausdrücke (in UNIX-Notation) für a) Hexadezimalzahlen b) Eigennamen bestehend aus optionalen Titeln, Vor- und Nachnamen (eventl. Doppelnamen, keine Beachtung von Umlauten) l Beispiele. : Prof. Dr. Peter Kneisel, Sabine Mustermann, Dr. Kloebner, Karl. Heinz Müller-Lüdenscheid) c) Lall-Sprache: Bestehend aus l‘s, die durch Vokale miteinander-Verbunden sind l Beispiele: lal, lala, lelalilu, lelelalal

Endliche Automaten n Gegeben ist folgender endlicher Automat A z 0 b a z 1 z 2 b a z 3 a) Von welchem Typ ist dieser Automat: Ist dies ein NEA oder ein DEA, begründen Sie Ihre Antwort b) Formen Sie den Automaten in den anderen Typ so um, dass immer noch die gleiche Sprache akzeptiert wird. c) Welches sind die Symbole, die der Automat verarbeitet ? d) Geben Sie die Übergangsfunktion an e) Formulieren Sie einen regulären Ausdruck R mit L(R) = L(A)

Grammatiken n gegeben ist folgende Grammatik G: G = { N, T, P, S }, N = { A, B, C, S }, T = { a, b, c }, P = { S: =ABC, A: =ABA, C: =CBC, A: =a, B: =b, C: =c } a) b) c) d) e) Ist die Grammatik kontextfrei ? Begründen Sie Ihre Antwort Beweisen Sie: abababcbc L(G) Begründen sie verbal, weshalb b 2 a 2 c 3 L(G) Geben Sie einen regulären Ausdruck R an mit L(R) = L(G) Welchem Typ der Chomsky-Hierachie entspricht die Sprache, die durch G definiert ist ? f) Ist die Sprache L(G) vom Chomsky-Typ-0 ? Begründen Sie Ihre Antwort

Lösung: Information n Eine Nachrichtenquelle sendet Zeichen aus dem Alphabet X = {a, b, c, d, e} mit den Wahrscheinlichkeiten p(a)=1/2, p(b)=p(c)=p(d)=p(e)=1/8 a) h(a) = -ld(1/2) = 1 bit. h(b)=h(c)=h(d)=h(e)=-ld(1/8)=3 bit b) 1 bit + 3 bit = 7 bit c) 1000 x Mittlerer Informationsgehalt: H(x)= p(xi)h(xi) = 1000 x ( 0, 5 bit + 4 ( 3 bit / 8 ) ) = 1000 x 2 bit = 2000 bit d) Nach Huffmann: p(de)=1/4, p(bc)=1/4, p(debc)=1/2, p(a)=1/2). p(abcde)=1 also z. B. : a=1, b=000, c=001, d=010, e=011 e) L(xneu) = p(xi)l(xi) = (0, 5 x 3 + 0, 125 x 1 + 0, 125 x 3)bit = 1, 5 bit + 1, 25 bit = 2, 75 bit L(x) = ( 1 bit/2 + 4 ( 3 bit / 8 ) ) = 2 bit Redundanz = L(xneu)-L(x)m = 2, 75 bit – 2 bit = 0. 75 bit n Hamming a) 100 P 0 PP (Relevant: Bit 3, 5, 7) 100 P 0 P 1 (even Parity: also 1 ergänzen) 100 P 0 P 1 (Relevant: Bit 3, 6, 7) 100 P 011 (even Parity: also 1 ergänzen) 100 P 011 (Relevant: Bit 5, 6, 7) 1001011 (even Parity: also 1 ergänzen) b) Der Hamming-Abstand D ist 3 bit, es können D-1 = 2 bit Fehler erkannt werden c) Es können (D-1)/2 = 1 bit Fehler korrigiert werden.

Lösung: Zahlensysteme n Dezimalzahl 7, 25 a) Vorkommateil: Nachkommateil 7 : 2 = 3 Rest: 1 2 · 0, 25 = 0, 5 --> Ziffer: 0 3 : 2 = 1 Rest: 1 2 · 0, 5 = 1 --> Ziffer: 1 1 : 2 = 0 Rest: 1 -> 111 ->0, 01 Binärzahl: 111. 01 b) 7, 4 (7 * 160 + 4 * 16 -1) c) 7, 2 (7 * 80 + 2 * 8 -1) n Berechnung n 1100101 : 100 = 11001, 01 x 100 1100101 --0000000 100 -----110010100 mit Komma: 1100101. 00 0101 100 --100 n 10111 – 1010 = 10111 + 10110 (Komplement + 1) = 101101 = 1101 (Überlauf weggelassen)

Lösung: Datenstrukturen n Doppelt verkettete Liste a) Person : record { vorname : array[1. . 64] of char; nachname: array[1. . 64] of char; prev : *Person; next : *Person; } b) Man kann aus diesen Strukturen beliebig lange Ketten von Personen bilden c) Pro: Dynamisch: Verwaltung von Objekten, deren Anzahl zur Entwicklungszeit nicht bekannt ist. Speicherverbrauch nur für die Objekte, die tatsächlich zur Laufzeit existieren. Pro Statisch: Einfach in der Realisierung, schnell in der Bearbeitung (Fehlerunanfälliger) d) Person : record { vorname : array[1. . 64] of char; nachname: array[1. . 64] of char; } Personeliste: array[1. . . 65534] od Person;

Lösung: Algorithmenentwurf n Umformung der while-Schleife: a) Als repeat-Schleife: x=a; y=5; if (x>0) { repeat { y = y+1; x = x – 1; } until (x<=0) } b) Sprünge und Marken x=a; y=5; 1: if (x<=0) goto 2 { y = y+1; x = x– 1; goto 1 } 2: . . .

Lösung: Berechenbarkeit n Definiere eine Turing-Maschine, die beliebige binäre Ziffernfolgen bitweise invertiert. n Die Turing-Maschine: l l l Alphabet : {_, 0, 1}, Bandinschrift: Zahl, codiert als Binärzahl, alles andere „_“ Kopfposition: links neben der Binärzahl Zustände: {q 0, q 1, q 2}, Startzustand. q 0, Endzustände: {q 2} Zustandsübergänge: A Q {r, l} _, q 0, r 0, q 0 1, q 1, r 1, q 0 0, q 1, r 0, q 1 1, q 1, r 1, q 1 0, q 1, r _, q 1 _, q 2, r n Das Turing-Band vor und nach Abarbeitung des Turing-Programmes für die Zahl: 44 1 0 1 1 0 0 0 1 1

Lösung: Korrektheit n a) und b) z : integer { x=a, y=b } z=y; {x=a, y=b, z=b} y=x; {x=a, y=a, z=b} x=z; {x=b, y=a, z=b x=b, y=a} q. e. d n Beweis durch Anwendung der Hoare‘schen Logik: a) Der Algorithmus liefert für y den Wert 8 Nachbedingung Q: (y=8) b) x=3, y=5; {x=3, y=5} { INV: y=8 -x x 0 } while (x>0) { { INV x>0 (y+1)-1=8 -x x 0 x>0 } y = y+1; { y-1=8 -x x 0 x>0 y=9 -((x-1)+1) x 0 x>0 } x = x-1; { y=9 -(x+1) x 0 x>0 y=8 -x x 0 INV} } { INV x 0 y=8 -x x=0 y=8 = Q } q. e. d.

Lösung: Reguläre Ausdrücke n gegeben ist folgender regulärer Ausdruck R (in UNIX-Notation): [abc]*d[abc]+ (mit Alphabet = {a, b, c, d} ) a) b) c) d) (a|b|c)*d(a|b|c)* abcabcdabc abddab. abcabcaabbccd NEA: z 0 a, b, c, z 1 d z 2 a, b, c z 3 n Konstruieren sie reguläre Ausdrücke (in UNIX-Notation) für a) [1 -9 A-F][0 -9 A-F]* b) (Prof. )? (Dr. )? ([A-Z][a-z]*(-[A-Z][a-z]*)? ) c)VOKAL = [AEIOU] (l{VOKAL})*l? Reguläre Ausdrücke sind fehleranfällig: Aber keine Bange: In der Klausur werden - wenn überhaupt - nur wenig komplexe reguläre Audrücke abverlangt

Lösung: Endliche Automaten n Gegeben ist folgender endlicher Automat A b z 0 a z 1 b z 2 a z 3 a) Dies ist ein indeterministischer endlicher Automat, da es einen Übergang gibt. b) NEA DEA z 0 b a z 2 b a z 3 c) a, b d) = { (z 0, a, z 1), (z 1, b, z 0), (z 1, , z 1), (z 2, a, z 3), (z 3, b, z 2) } e) a(ba)*

Lösung: Grammatiken n gegeben ist folgende Grammatik G: G = { N, T, P, S }, N = { A, B, C, S }, T = { a, b, c }, P = { S: =ABC, A: =ABA, C: =CBC, A: =a, B: =b, C: =c } a) Die Grammatik ist kontextfrei, da auf der linken Seite aller Regeln genau ein Nichtterminalsymbol steht b) Beweis durch Ableitung : S ABC ABABABCBC . . . : abababcbc c) Es gibt keine Regel, die ein b vor ein a produziert, daher ist b 2 a 2 c 3 L(G), denn in b 2 a 2 c 3 ist ein b vor einem a. d) (ab)+c(bc)* e) Da die Grammatik G kontextfrei ist die Sprache vom Chomsky-Typ-2. Da sich die Sprache auch als regulären Ausdruck darstellen lässt, ist die Sprache sogar Chomsky-Typ 3. f) Ja, denn jede Chomsky-Typ 2 bzw. 3 Sprache ist auch vom Chomsky. Typ 0