Andengradsfunktionen Parabel Forskrift og udseende Tegning af en

Andengradsfunktionen Parabel Forskrift og udseende Tegning af en parabel Løsning af andengradsligning

Andengradsfunktionen Ved funktioner taler vi om…

Andengradsfunktionen Ved funktioner taler vi om… Et navn for funktionen (hvad den hedder)

Andengradsfunktionen Ved funktioner taler vi om… Et navn for funktionen (hvad den hedder) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …)

Andengradsfunktionen Ved funktioner taler vi om… Et navn for funktionen (hvad den hedder) En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem)

Andengradsfunktionen Ved funktioner taler vi om… Andengradsfunktionen En funktions-forskrift (hvad dens udtryk er: y = …) Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem)

Andengradsfunktionen Ved funktioner taler vi om… Andengradsfunktionen En funktions-forskrift y= a·x 2 + b·x + c (hvad dens udtryk er: y = …) Et grafisk billede (hvordan den ser ud i et koordinatsystem)

Andengradsfunktionen Ved funktioner taler vi om… Andengradsfunktionen En funktions-forskrift y= a·x 2 + b·x + c (hvad dens udtryk er: y = …)

Andengradsfunktionen Ved funktioner taler vi om… Andengradsfunktionen Parabel En funktions-forskrift y= a·x 2 + b·x + c (hvad dens udtryk er: y = …)

Andengradsfunktionen Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en… parabel Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet:

Andengradsfunktionen Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en… parabel Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet: Paraply

Andengradsfunktionen Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en… parabel Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet: Paraply Parabol

Andengradsfunktionen Når man tegner en andengradsfunktion i et koordinatsystem, bliver det til en… parabel Parabelformen kendes fra flere ting i vores hverdag – flere ting, der har navn efter netop udseendet: Paraply Parabol Parachute (= faldskærm)

Andengradsfunktionen Forskriften for en andengradsfunktion … af simpleste form er…: y = a·x 2 , hvor a er en konstant ≠ 0

Andengradsfunktionen Forskriften for en andengradsfunktion … af simpleste form er…: y = a·x 2 , hvor a er en konstant ≠ 0 f. eks. : y = 1·x 2, y = 1 2 ·x 2 eller y = -2·x 2

Andengradsfunktionen Eksempel: y = 1·x 2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 0 -1 -2 -3

Andengradsfunktionen Eksempel: y = 1·x 2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 1 2 3 0 -1 -2 -3

Andengradsfunktionen Eksempel: y = 1·x 2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 1 4 3 0 -1 -2 -3

Andengradsfunktionen Eksempel: y = 1·x 2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 1 4 9 0 -1 -2 -3

Andengradsfunktionen Eksempel: y = 1·x 2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 0 1 4 9 0 -1 -2 -3

Andengradsfunktionen Eksempel: y = 1·x 2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 0 -1 1 4 9 0 1 -2 -3

Andengradsfunktionen Eksempel: y = 1·x 2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 0 -1 -2 1 4 9 0 1 4 -3

Andengradsfunktionen Eksempel: y = 1·x 2 Man udfylder et sildeben med kendte værdier af x - og beregner herefter de tilsvarende y-værdier og indsætter i koordinatsystemet… x y 1 2 3 0 -1 -2 -3 1 4 9 0 1 4 9

Andengradsfunktionen Betydningen af værdien a i funktionsforskriften: y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x 2

Andengradsfunktionen Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x 2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel.

Andengradsfunktionen Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x 2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene

Andengradsfunktionen Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x 2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene – og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene.

Andengradsfunktionen Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x 2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene – og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene. Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet.

Andengradsfunktionen Du har nu set en andengradsfunktion, hvor a=1 : y = 1·x 2 Bemærk, at billedet af andengradsfuntionen bliver en parabel. Parabelen har 2 grene – og en symmetriakse (spejlingsakse) midt mellem disse 2 grene. Punktet, hvor grenene starter, kaldes toppunktet. Grenene vender opad, fordi ”a” er et positivt tal (a = 1)

Andengradsfunktionen Men hvad nu, hvis a≠ 1? y = 1·x 2 y = a·x 2

Andengradsfunktionen Men hvad nu, hvis a≠ 1? y = 1·x 2 y = 2·x 2 y = a·x 2

Andengradsfunktionen Men hvad nu, hvis a≠ 1? y = 1·x 2 y = 2·x 2 y= 1 2 ·x 2 y = a·x 2

Andengradsfunktionen Men hvad nu, hvis a≠ 1? y = 1·x 2 y = 2·x 2 y= 1 2 ·x 4 ·x 2 y = a·x 2

Andengradsfunktionen Men hvad nu, hvis a≠ 1? y = 1·x 2 y = 2·x 2 y= 1 2 ·x 4 ·x 2 Bemærk, at … jo større værdi ”a” har, desto stejlere bliver parabelen (desto mere ”slås paraplyen sammen”) … jo mindre værdi ”a” har, desto fladere bliver parabelen (og får udseende som en parabol) y = a·x 2

Andengradsfunktionen Og hvis a er negativ? y = a·x 2

Andengradsfunktionen Og hvis a er negativ? y = -1·x 2 y = a·x 2

Andengradsfunktionen Og hvis a er negativ? y = -1·x 2 y = -2·x 2 y = a·x 2

Andengradsfunktionen Og hvis a er negativ? y = -1·x 2 y = -2·x 2 y = - 13 ·x 2 y = a·x 2

Andengradsfunktionen Og hvis a er negativ? y = -1·x 2 y = -2·x 2 y = - 13 ·x 2 1 y = - 8 ·x 2 y = a·x 2

Andengradsfunktionen Og hvis a er negativ? y = -1·x 2 y = -2·x 2 y = - 13 ·x 2 1 y = - 8 ·x 2 Bemærk, at … når ”a” er et negativt tal, så vender grenene nedad! (parabelen er ked af, at det er negativt; mundvigene nedad!) … og når ”a” er et positivt tal, så vender grenene opad! (parabelen er glad for, at det er positivt; mundvigene opad!) y = a·x 2

Andengradsfunktionen Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0, 0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet. Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen: y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Indtil nu har vores parabler haft toppunkt i (0, 0), men de kan ”flyttes rundt” i koordinatsystemet. Dette kan vi se, når vi bruger hele funktionsforskriften for andengradsfunktionen: y = a·x 2 + b·x + c Værdierne b og c har betydning for, hvor parablen ligger i koordinatsystemet. Man kan sige, at disse to værdier parallelforskyder parablens toppunkt (og dermed også parablen) hen på en anden plads.

Andengradsfunktionen Betydningen af værdien c i funktionsforskriften: y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien fortæller, hvor parabelen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0, c). Eksempler:

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien fortæller, hvor parabelen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0, c). Eksempler: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien fortæller, hvor parabelen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0, c). Eksempler: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0 Skærer i (0, 0), da c = 0

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien fortæller, hvor parabelen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0, c). Eksempler: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0 y = 1·x 2 - 2·x – 3

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien fortæller, hvor parabelen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0, c). Eksempler: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0 y = 1·x 2 - 2·x – 3 Skærer i (0, -3), da c = -3

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien fortæller, hvor parabelen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0, c). Eksempler: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0 y = 1·x 2 - 2·x – 3 y = -1·x 2 + 2·x + 4

Andengradsfunktionen Betydningen af c-værdien fortæller, hvor parabelen skærer y-aksen; dette sker i c-værdien = punktet (0, c). Eksempler: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0 y = 1·x 2 - 2·x – 3 y = -1·x 2 + 2·x + 4 Skærer i (0, 4), da c = 4

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) for en parabel

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a Eksempel 1: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a Eksempel 1: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x=

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a Eksempel 1: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = -21 2· 2

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a Eksempel 1: y= 1 2 ·x 2 + 2·x + 0 har symmetriaksen: x = -21 = -2 2· 2 1

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a Eksempel 2: y = 1·x 2 - 2·x - 3 har symmetriaksen: x=

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a Eksempel 2: y = 1·x 2 - 2·x - 3 har symmetriaksen: -(-2) 2 x= = =1 2· 1 2

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a Eksempel 3: y = -1·x 2 + 2·x + 4 har symmetriaksen: x=

Andengradsfunktionen Symmetriaksen (spejlingsaksen) Alle parabler har en lodret symmetriakse, der kan findes af formlen: x = -b 2·a Eksempel 3: y = -1·x 2 + 2·x + 4 har symmetriaksen: x= -2 = 1 2·(-1) -2

Andengradsfunktionen Diskriminanten for en andengradsfunktion

Andengradsfunktionen Diskriminanten y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet. y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet. - og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpeværdi” kaldet Diskriminanten. y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet. - og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpeværdi” kaldet Diskriminanten er en værdi, der endvidere skal beregnes, for at vi senere kan finde de punkter, hvor parabelen skærer x-aksen. y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten For at kunne tegne en parabel på baggrund af funktionsforskriften, er vi nødt til at kende toppunktet. - og for at kunne udregne toppunktet, indføres en ”hjælpeværdi” kaldet Diskriminanten er en værdi, der endvidere skal beregnes, for at vi senere kan finde de punkter, hvor parabelen skærer x-aksen. Alt i alt er diskriminanten altså en meget vigtig brik i arbejdet med andengradsfunktioner/parabler. y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b 2 - 4·a·c Her er det vigtigt at have styr på regneregler og fortegn, for ellers får man hurtigt en forkert værdi af diskriminanten – og dermed også et forkert toppunkt! y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b 2 - 4·a·c y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b 2 - 4·a·c Udregningen består af 2 led, som du bør udregne hver for sig: y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b 2 - 4·a·c Første led, b 2, vil altid give et positivt tal. y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten kan findes af følgende formel: D = b 2 - 4·a·c Andet led, -4·a·c, vil være et negativt tal, hvis a og c har ens fortegn. Hvis a og c har forskellige fortegn, vil det andet led blive et positivt tal. y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten Eksempler på udregning af diskriminanten: D = b 2 - 4·a·c 1: y = -1·x 2 + 2·x + 4 D = 22 - 4·(-1)· 4 = 4 + 16 = 20 y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten Eksempler på udregning af diskriminanten: D = b 2 - 4·a·c 1: y = -1·x 2 + 2·x + 4 D = 22 - 4·(-1)· 4 = 4 + 16 = 20 2: y = 1·x 2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4· 1· 1 = 4 – 4 = 0 y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten Eksempler på udregning af diskriminanten: D = b 2 - 4·a·c 1: y = -1·x 2 + 2·x + 4 D = 22 - 4·(-1)· 4 = 4 + 16 = 20 2: y = 1·x 2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4· 1· 1 = 4 – 4 = 0 3: y = 12 ·x 2 - 4·x + 5 D = (-4)2 - 4· 12 · 5 = 16 – 10 = 6 y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Diskriminanten Eksempler på udregning af diskriminanten: D = b 2 - 4·a·c 1: y = -1·x 2 + 2·x + 4 D = 22 - 4·(-1)· 4 = 4 + 16 = 20 2: y = 1·x 2 – 2·x + 1 D = (-2)2 - 4· 1· 1 = 4 – 4 = 0 3: y = 12 ·x 2 - 4·x + 5 D = (-4)2 - 4· 12 · 5 = 16 – 10 = 6 4: y = -3·x 2 + 6·x – 4 D = 62 - 4·(-3)·(-4) = 36 – 48 = -12 y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Toppunktet for en parabel

Andengradsfunktionen Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”). y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”). Det er altså et unikt sted på parabelen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”. y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”). Det er altså et unikt sted på parabelen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”. Kender man toppunktet, kan man nemt tegne hele parabelen – uden at skulle udfylde et sildeben med en masse beregninger. y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Toppunktet er det sted, hvor en parabel er ”højst oppe” (eller ”længst nede”). Det er altså et unikt sted på parabelen, hvor grenene har deres ”udgangspunkt”. Kender man toppunktet, kan man nemt tegne hele parabelen – uden at skulle udfylde et sildeben med en masse beregninger. Bemærk, at toppunktet ligger på parabelens symmetriakse! y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Toppunktet er et punkt, der findes af følgende regneudtryk: Tp = -b ( 2·a , -D 4·a ) y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Toppunktet er et punkt, der findes af følgende regneudtryk: Tp = -b ( 2·a , -D 4·a ) For at finde toppunktet, skal man altså først beregne D, diskriminanten! Men derefter er det blot at have styr på regnereglerne (endnu engang!) y = a·x 2 + b·x + c

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x 2 + 2·x + 4 (D = 20)

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x 2 + 2·x + 4 (D = 20) Tp = ( -b , -D ) 2·a 4·a

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x 2 + 2·x + 4 (D = 20) Tp = ( -b , -D ) = ( -2 , -20 ) 2·a 4·a 2·(-1) 4·(-1)

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x 2 + 2·x + 4 (D = 20) -2 , -20 ) Tp = ( -b , -D ) = ( -2 , -20 ) = ( -2 -4 2·a 4·a 2·(-1) 4·(-1)

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x 2 + 2·x + 4 (D = 20) -2 , -20 ) = (1, 5) Tp = ( -b , -D ) = ( -2 , -20 ) = ( -2 -4 2·a 4·a 2·(-1) 4·(-1)

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Udregning af toppunkt: y = -1·x 2 + 2·x + 4 (D = 20) Tp = (1, 5) -2 , -20 ) = (1, 5) Tp = ( -b , -D ) = ( -2 , -20 ) = ( -2 -4 2·a 4·a 2·(-1) 4·(-1)

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Udregning af toppunkt: y = 1·x 2 – 2·x + 1 (D = 0)

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Udregning af toppunkt: y = 1·x 2 – 2·x + 1 (D = 0) Tp =(1, 0) -(-2) 2 , 0 ) = (1, 0) Tp = ( -b , -D ) = ( , 0 )=( 2 4 2·a 4·a 2· 1 4· 1

Andengradsfunktionen Eksempel 3: Udregning af toppunkt: y= 1 2 ·x 2 – 4·x + 5 (D = 6)

Andengradsfunktionen Eksempel 3: Udregning af toppunkt: y= 1 2 ·x 2 – 4·x + 5 (D = 6) Tp = (4, -3) -(-4) -6 4 , -6 ) = (4, -3) Tp = ( -b , -D ) = ( 1 , 1 ) = ( 1 2 2·a 4·a 2· 2 4· 2

Andengradsfunktionen Eksempel 4: Udregning af toppunkt: y = -3·x 2 + 6·x – 4 (D = -12)

Andengradsfunktionen Eksempel 4: Udregning af toppunkt: y = -3·x 2 + 6·x – 4 (D = -12) Tp = (1, -1) 12 ) = (1, -1) Tp = ( -b , -D ) = ( -6 , 12 ) = ( -6 , -6 -12 2·(-3) 4·(-3) 2·a 4·a

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel med kendt toppunkt

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Andengradsfunktion:

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Andengradsfunktion:

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Andengradsfunktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Når man kender et bestemt punkt på parabelen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Andengradsfunktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Når man kender et bestemt punkt på parabelen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a. Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0, b).

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Andengradsfunktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Når man kender et bestemt punkt på parabelen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a. Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0, b). Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Andengradsfunktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Når man kender et bestemt punkt på parabelen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a. Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0, b). Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet. Linien tegnes ved at starte i dette punkt og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i xaksens retning og hældningskoefficienten, a, op.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel At tegne en andengradsfunktion/parabel kan sammenlignes med det at tegne en lineær funktion/ret linie: Lineær funktion: Andengradsfunktion: Hvis man kender et enkelt punkt på linien, kan man tegne hele linien ved at bruge hældningskoefficienten, a. Når man kender et bestemt punkt på parabelen, kan man tegne hele parablen ved at bruge ”hældningskoefficienten”, a. Det punkt, man altid kender, er skæringen med y-aksen i (0, b). Det bestemte punkt, der skal kendes, er toppunktet. Linien tegnes ved at starte i dette punkt og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i xaksens retning og hældningskoefficienten, a, op. Parablen tegnes ved at starte i toppunktet og så gentagne gange at gå 1 enhed ud i x-aksens retning og a ganget med de ulige tal (1, 3, 5, 7, 9, …) op.

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Og da alle parabler blot er parallelforskydninger af den simple grundparabel, y = a·x 2, tegnes de alle på samme måde. Som tidligere set, er værdien af a i virkeligheden det eneste, der giver variation i dens udseende (Grenene op eller ned, grenene stejle eller meget flade. ) Kvadrattallene: 0 1 4 9 16 25 36 49

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. Kvadrattallene: 0 Stiger med: 1 1 4 9 16 25 36 49

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. Kvadrattallene: 0 Stiger med: 1 1 4 3 9 16 25 36 49

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. Kvadrattallene: 0 Stiger med: 1 1 4 3 9 5 16 25 36 49

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. Kvadrattallene: 0 Stiger med: 1 1 4 3 9 5 16 7 25 36 49

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. Kvadrattallene: 0 Stiger med: 1 1 4 3 9 5 16 7 25 9 36 49

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. Kvadrattallene: 0 Stiger med: 1 1 4 3 9 5 16 7 25 9 36 11 49

Andengradsfunktionen Tegning af en parabel De enkelte punkter på en parabel lægger sig tæt op ad kvadrattallene. Forskellen mellem de enkelte kvadrattal giver de ulige tal – se til højre… Ganger man disse forskelle med værdien a, får man de tal, som man skal gå op i y-aksens retning, hver gang man går 1 enhed ud i x-aksen retning. Kvadrattallene: 0 Stiger med: 1 1 4 3 9 5 16 7 25 9 36 11 49 13

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x 2 + 4·x + 4 Tp = (-2, 0)

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x 2 + 4·x + 4 Tp = (-2, 0) … herefter 1 ud og 1· 1 = 1 op

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x 2 + 4·x + 4 Tp = (-2, 0) … herefter 1 ud og 1· 1 = 1 op … herefter 1 ud og 1· 3 = 3 op

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x 2 + 4·x + 4 Tp = (-2, 0) … herefter 1 ud og 1· 1 = 1 op … herefter 1 ud og 1· 3 = 3 op … herefter 1 ud og 1· 5 = 5 op

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x 2 + 4·x + 4 Tp = (-2, 0) … … herefter 1 ud og 1· 1 = 1 op herefter 1 ud og 1· 3 = 3 op herefter 1 ud og 1· 5 = 5 op og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Tegn andengradsfunktionen: y = 1·x 2 + 4·x + 4 Tp = (-2, 0) … … herefter 1 ud og 1· 1 = 1 op herefter 1 ud og 1· 3 = 3 op herefter 1 ud og 1· 5 = 5 op og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen og parablen kan tegnes.

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x 2 + 8·x + 4 Tp = (2, 9)

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x 2 + 8·x + 4 Tp = (2, 9) … herefter 1 ud og 2· 1 = 2 ned

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x 2 + 8·x + 4 Tp = (2, 9) … herefter 1 ud og 2· 1 = 2 ned … herefter 1 ud og 2· 3 = 6 ned

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x 2 + 8·x + 4 Tp = (2, 9) … herefter 1 ud og 2· 1 = 2 ned … herefter 1 ud og 2· 3 = 6 ned … og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Tegn andengradsfunktionen: y = -2·x 2 + 8·x + 4 Tp = (2, 9) … herefter 1 ud og 2· 1 = 2 ned … herefter 1 ud og 2· 3 = 6 ned … og sådan kan fortsættes… Endelig spejles alle værdierne i symmetriaksen og parablen kan tegnes.

Andengradsfunktionen Parabelens skæring med x-aksen = løsning af en andengradsligning

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen En parabel kan skære xaksen 2 gange

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen En parabel kan skære xaksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen)

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen En parabel kan skære xaksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre.

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen En parabel kan skære xaksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre. Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen: Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen En parabel kan skære xaksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre. Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen: Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer Hvis D=0, så er der 1 skæring

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen En parabel kan skære xaksen 2 gange, 1 gang (røre x-aksen) eller slet ikke skære/røre. Diskriminanten fortæller os, hvor mange gange en parabel skærer x-aksen: Hvis D>0 (positiv), så er der 2 skæringer Hvis D=0, så er der 1 skæring, og Hvis D<0 (negativ), så er der 0 skæringer

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen: x= -b ±√D 2·a Som det ses…

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen: x= -b ±√D 2·a Som det ses… … skal vi igen bruge D, diskriminanten!

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen: x= -b ±√D 2·a Som det ses… … skal vi igen bruge D, diskriminanten! … indgår formlen for symmetriaksen i udtrykket

Andengradsfunktionen Skæring med x-aksen For at finde skæringspunktet, bruger vi nulpunktsformlen: x= -b ±√D 2·a Som det ses… … skal vi igen bruge D, diskriminanten! … indgår formlen for symmetriaksen i udtrykket … vil skæringspunkterne lægge sig lige langt fra symmetriaksen (tegnet ± betyder plus/minus)

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x 2 + 4·x + 0 (D = 16)

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x 2 + 4·x + 0 (D = 16) √D x = -b ± 2·a

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x 2 + 4·x + 0 (D = 16) √D = -4 ±√ 16 x = -b ± 2·a 2· 2

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x 2 + 4·x + 0 (D = 16) √D = -4 ±√ 16 = x = -b ± 2·a 2· 2 -4 ± 4 4

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x 2 + 4·x + 0 (D = 16) + √D = -4 ±√ 16 = x = -b ± 2·a 2· 2 -4 ± 4 4 = -

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x 2 + 4·x + 0 (D = 16) + √D = -4 ±√ 16 = x = -b ± 2·a 2· 2 -4 ± 4 4 = - -4 + 4 4

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x 2 + 4·x + 0 (D = 16) + √D = -4 ±√ 16 = x = -b ± 2·a 2· 2 -4 ± 4 4 = - -4 + 4 4 -4 – 4 4

Andengradsfunktionen Eksempel 1: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 2·x 2 + 4·x + 0 (D = 16) + √D = -4 ±√ 16 = x = -b ± 2·a 2· 2 -4 ± 4 4 = - -4 + 4 =0 4 -4 – 4 = -2 4

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y=- 1 2 ·x 2 + 1·x + 4 (D = 9)

Andengradsfunktionen Eksempel 2: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y=- 1 2 ·x 2 + 1·x + 4 (D = 9) + √D = -1 ±√ 9 x = -b ± 2·a 2·(- 12 ) = -1 ± 3 -1 = - -1 + 3 = -2 -1 -1 – 3 =4 -1

Andengradsfunktionen Eksempel 3: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 1·x 2 – 4·x + 3 (D = 4)

Andengradsfunktionen Eksempel 3: Find skæringspunktet med x-aksen for parablen: y = 1·x 2 – 4·x + 3 (D = 4) + √D = +4 ±√ 4 = x = -b ± 2·a 2· 1 4± 2 2 = - 4+2 =3 2 4– 2 =1 2

Andengradsfunktionen Når man finder skæringspunktet mellem en parabel (y = a·x 2 + b·x + c) og x-aksen (y = 0), finder man altså ud af, hvor parabelen = 0: Parabelen = x-aksen Parabelen = 0 a·x 2 + b·x + c = 0 Man kan se, at der er tale om en ligning, da der indgår 2 regneudtryk med et lighedstegn imellem. Da x 2 indgår i ligningen, taler vi om at løse en andengradsligning.