Ancora esercizi Chernoff Bound Siano X 1 X

Ancora esercizi!!! • Chernoff Bound Siano X 1, X 2, …, Xn prove ripetute indipendenti tali che per 1 ≤ i ≤ n, Pr[Xi=1]=pi, Pr[Xi=0]=1 -pi con 0 < pi < 1. Se allora Inoltre se >2 e-1 4, 43, allora Sistemi P 2 P

Ancora esercizi!!! • Abbiamo una roulette (Americana) (38 settori) proviamo ad effettuare 380 lanci: – Quale è la probabilità di beccare lo 0 almeno 41 volte? – Quanto vale ? (100) (10) (600) (nessuna delle precedenti) – Quanto vale ? (2000)(3)(1)(1000)(nessuna delle precedenti) – Quale formula applicare? – Se invece dello 0 consideriamo 0 e 00 almeno 41 volte, cambia qualcosa? – E se effettuiamo 3800 lanci quale è la probabilità di beccare lo 0 401 volte? Sistemi P 2 P

Dal punto di vista topologico • Consideriamo una rete P 2 P come un grafo G=(V, E), dove V è l’insieme dei nodi nel sistema e E rappresenta l’insieme delle interconnessioni fra essi: – Minimizzare, per ogni nodo, le informazioni relative agli altri nodi: • minimizzare il grado dei nodi; – Minimizzare il numero di messaggi necessari per fare lookup: Condizioni necessarie ma non sufficienti • Minimizzare il diametro; • Minimizzare l’average path lenght (APL), vale a dire, la distanza media fra due nodi nel grafo. Sistemi P 2 P

Es. Chord • Consideriamo un anello con n=2 b nodi; • Ogni nodo x ha un etichetta a b bit; jump • I vicini del nodo x sono i nodi (x+2 i) mod 2 b i = 0, 1, …, b-1; 000 111 001 110 Sistemi P 2 P 010 101 011 100 b=3

000 Es. Chord 111 001 110 010 101 011 100 • Quanto valgono: – grado? – diametro? – average path lenght? Sistemi P 2 P Il grado è b = log n b=3

000 Es. Chord 111 001 110 010 101 011 b=3 100 • Dati due nodi x e y la loro distanza d(x, y) è uguale al numero di “ 1” che ci sono nella stringa binaria (y-x) mod 2 b. • Infatti i jump necessari per passare dal nodo x al nodo y sono quelli relativi alla posizione degli “ 1” nella stringa binaria (y-x) mod 2 b. Sistemi P 2 P

000 Es. Chord 111 001 110 Il diametro è b = log n 010 101 011 100 • Calcoliamo la distanza tra il nodo 3 e il nodo 6: – (6 -3) mod 8 = 3 = 011 (un jump da 2 e uno da 1). • Calcoliamo la distanza tra il nodo 6 e il nodo 3: – (3 -6) mod 8 = 5 = 101 (un jump da 4 e uno da 1). Sistemi P 2 P d(x, y) può essere diverso da d(y, x) Chord non è simmetrico b=3

diametro Anello n -1 Chord e altri Grafo completo O(log n) 1 1 n è il numero dei peer; Sistemi P 2 P O(log n) n -1 grado

000 Es. Chord 111 001 110 010 101 011 100 • Quanto vale l’average path lenght? N denota l’insieme dei nodi Sistemi P 2 P b=3

Sistemi P 2 P uniformi k=grado l=diametro Per semplicità consideriamo un sistema Chord like • Denotiamo con Jx, i l’iesimo jump del nodo x; • Un sistema P 2 P viene detto uniforme, se per ogni coppia di nodi x e y, si ha Jx, i = Jy, i i =1, 2, …, k. • Chord è uniforme? Si • APL sistemi uniformi: a è un generico nodo N Sistemi P 2 P

Sistemi P 2 P uniformi • Vantaggi: – Facili da implementare e da analizzare; – Algoritmo di routing semplice (greedy); – Routing locale, la procedura di lookup interessa solo i nodi che si trovano fra sorgente e destinazione; – Non c’è congestione sui nodi, vale a dire il traffico generato dai messaggi di lookup è più o meno uguale per tutti i nodi. – Fast bootstrap: • Poiché tutti i nodi utilizzano gli stessi jump, è possibile utilizzare la tabella di routing del proprio predecessore per velocizzare notevolmente l’operazione di join; • Svantaggi: – Sfortunatamente non sono gli algoritmi più efficienti. Lo vediamo fra un pò Sistemi P 2 P

000 Es. Chord • Quanto vale l’average path lenght? 111 001 110 010 101 • Scegliamo come nodo sorgente il nodo a=00… 0; • La distanza fra a e il generico nodo x è uguale al numero di bit a 1 nella codifica binaria di x; 00… 0 00… 1 a … 11… 0 Sistemi P 2 P 11… 1 011 100 b=3

Altre DHT? Sistemi P 2 P

DHT Routing (Tapestry) • Realizzazione dinamica dell’algoritmo di Plaxton et al. (che non si adattava a sistemi dinamici); • Supponendo che le chiave è costituita da un intero positivo l’algoritmo di routing corregge a ogni passo un singolo digit alla volta; • Per fare ciò un nodo deve avere informazioni sui nodi responsabili dei prefissi della sua chiave; (O(log N) nodi) • Il numero di messaggi necessari per fare lookup è O(log N); • L’algoritmo in pratica simula un Ipercubo; Sistemi P 2 P

DHT Routing (Tapestry) • Tabella di routing (base k=4, digit d=4) Consideriamo il nodo x con id (x 1, x 2, x 3, x 4): (1+x 1, *, *, *) (x 1, 1+x 2, *, *) (x 1, x 2, 1+x 3, *) (x 1, x 2, x 3, 1+x 4) (2+x 1, *, *, *) (x 1, 2+x 2, *, *) (x 1, x 2, 2+x 3, *) (x 1, x 2, x 3, 2+x 4) (3+x 1, *, *, *) (x 1, 3+x 2, *, *) (x 1, x 2, 3+x 3, *) (x 1, x 2, x 3, 3+x 4) (in totale sono k-1 d nodi -- n=dk -> d=logk n) • Es. tabella di routing (1323 base 4) (2, 1, 3, 0) (1, 0, 2, 3) (1, 3, 3, 2) (1, 3, 2, 0) (3, 1, 2, 2) (1, 1, 1, 3) (1, 3, 0, 1) (1, 3, 2, 1) (0, 3, 2, 1) (1, 2, 1, 2) (1, 3, 1, 1) (1, 3, 2, 2) Sistemi P 2 P

DHT Routing (Tapestry) • Es. tabella di routing (1323 base 4) (2, 1, 3, 0) (1, 0, 2, 3) (1, 3, 3, 2) (1, 3, 2, 0) (3, 1, 2, 2) (1, 1, 1, 3) (1, 3, 0, 1) (1, 3, 2, 1) (0, 3, 2, 1) (1, 2, 1, 2) (1, 3, 1, 1) (1, 3, 2, 2) (2, 2, 2 , 1) (3, 2, 3, 0) (0, 2, 2, 3) (1, 0, 3, 3) (1, 1, 3, 3) (1, 2, 0, 2) (1, 3, 1, 1) (1, 3, 2, 1) • Supponiamo che il nodo 1323 deve risolvere la query per il nodo 1333 … siccome i primi due digit coincidono (si utlizza la terza colonna) … la query viene inoltrata al nodo 1332… che avrà un link al nodo 1333 (nella sua quarta colonna). • Grado (k-1) logk n • Diametro logk n Sistemi P 2 P (1, 3, 3, 0) (1, 3, 3, 1) (1, 3, 3, 3)

DHT: Routing (CAN) • I nodi sono mappati su un toro d-dimensionale; • A ogni nodo è associato un sottoinsieme di questo spazio d-dimensionale; • Ogni nodo mantiene la lista dei nodi responsabili dei sottospazi che confinano con il proprio sottospazio; • Grado: Ogni nodo ha O(d) vicini (due per ogni dimensione); • Il routing avviene in passi, in media; • Da notare che se usiamo d = log N dimensioni abbiamo O(log N) vicini e il routing ha costo: Sistemi P 2 P

DHT: Routing (CAN) • Join • Al nuovo nodo viene assegnato un punto (random) nello spazio d dimensionale. • La zona viene divisa in due : • Una parte viene gestita dal nuovo nodo • La rimanente dal vecchio gestore. • Leave • La zona gestita dal nodo che lascia la rete viene passata a un suo vicino e se è possibile le zone vengono raggruppate di nuovo • problema: frammentazione delle zone Sistemi P 2 P

Dall’Ipercubo alla Butterfly • Ipercubo Un nodo u è connesso con tutti i nodi che differiscono di un solo bit da u Nodi = N=2 r Archi = r 2 r-1 Bisezione = N/2 Diametro = log N • Butterfly (r dimensioni) 2 r righe e r+1 colonne Nodo u =(w, i) w (r bit) =riga, i = colonna (da 0 a r) u=(w, i) e u’=(w’, i’) sono connessi se – – i’=i+1 w=w’ oppure w e w’ differiscono esattamente nell’iesimo bit Nodi = (r+1)2 r nodi Archi = r 2 r+1 Bisezione O(N/log N) Diametro O(log N) Sistemi P 2 P r=3

Butterfly (FFT) Network 0 001 010 011 100 101 110 111 Sistemi P 2 P 1 2 3 000 001 010 011 100 101 110 111

Butterflies Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly II Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly II Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly II Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly II Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly II Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly II Sistemi P 2 P

Decomposing a Butterfly II Sistemi P 2 P

Routing on a Butterfly 0 001 010 011 100 101 110 111 Sistemi P 2 P 1 2 0 001 010 011 100 101 110 111

DHT: Routing (Viceroy) Sistemi P 2 P

DHT: Routing (Viceroy) • I nodi sono mappati su una butterfly e contemporaneamente su un array circolare; • Ogni nodo ha un identificatore addizionale chiamato livello (scegliendo a caso nell’intervallo 1 e log n’ dove n’ è una stima di n); • Tre tipi di link: • General link: predecessore e successore sull’array circolare (2 link); • Level ring: connette i nodi di uno stesso livello (2 link); • Butterfly link: realizza la butterfly (2 link); • Ogni nodo ha O(1) vicini; • Il routing avviene in O(log N) passi in media e O(log 2 N) passi WHP; Sistemi P 2 P

Fault tolerance and degree k=grado l=diametro • Il grado di una rete P 2 P soggetta a fallimenti deve essere almeno Ω(log n). • Infatti, Ω(log n) risulta essere il minimo valore che permette alla rete di rimanere connessa anche nelle condizioni più proibitive; • Sketch: – Supponiamo che tutti i nodi della rete possono fallire con probabilità ½; – Ovviamente un nodo rimane disconnesso se tutti i suoi vicini si disconnettono contemporaneamente; – Vogliamo che la probabilità che un nodo non si disconnetta sia ≥ 11/n; – Pr[un nodo non si disconnette]=1 -(1/2)k ≥ 1 -1/n ≥(1/2)k 2 k ≥ n k ≥ log n Sistemi P 2 P In realtà la prova è un po’ più complicata, ma questa rende bene l’idea

P 2 P: grado e diametro • Abbiamo visto che il grado di una rete P 2 P soggetta a fallimenti deve essere almeno Ω(log n). • Esistono in letteratura molti protocolli che hanno grado e diametro pari a O(log n). Chord, tapestry, pasty… • E’ possibile fare di meglio? – Fissiamo il grado pari O(log n), qual è il minimo diametro che riusciamo ad ottenere? – Fissiamo il grado pari O(log n), qual è il minimo APL che riusciamo ad ottenere? Stiamo cercando dei Lower Bound Sistemi P 2 P

k=grado l=diametro P 2 P: Lower Bound Teorema Dato un grafo G=(V, E) con |V| = n e grado k = O(log n), allora il diametro l = Ω(log n / log (log n)). Prova Dato che il grado è k e il diametro è l, ogni nodo può raggiungere al massimo altri nodi (compreso il nodo stesso). Poiché il grafo deve essere connesso, allora kl+1 > n l > logk (n) - 1 = Ω(log n / log (log n)). Ma allora Chord non è ottimale!!! Con argomentazioni analoghe si può dimostrare che anche l’APL è Ω(log n / log (log n)) in quanto la maggior parte dei nodi si trova a distanza l. O(1). Sistemi P 2 P

P 2 P: Lower Bound (Esempio 1) r • k = log n; k-1 … … … • Ogni nodo ha grado k (k-1 figli e la radice dell’albero); • r raggiunge qualsiasi nodo in al più logk-1 n = O(log n / log (log n)) passi. • Il diametro è 1 + logk-1 n =O(log n / log (log n)). Il grado in ingresso della radice è n-1 Sistemi P 2 P

P 2 P: Lower Bound (Esempio 2) • r k = log n; k/2 -1 … … • • … Ogni nodo ha grado(entrante più uscente) k ( k/2 -1 ai figli e 1 al padre (x 2)); r raggiunge qualsiasi nodo in al più logk/2 -1 n = O(log n / log (log n)) passi. Ogni nodo raggiunge r in al più logk/2 -1 n = O(log n / log (log n)) passi Il diametro è O(log n / log (log n)). Sistemi P 2 P

P 2 P: Lower Bound (Esempio 3) • r k = 6; 2 … • • … Ogni nodo ha grado(entrante più uscente) 6 ( 2 ai figli e 1 al padre (x 2)); r raggiunge qualsiasi nodo in al più log n passi. Ogni nodo raggiunge r in al più log n passi Il diametro è 2 log n. La mole di traffico che spetta al nodo r è La rete si disconnette se uno nettamente maggiore qualsiasi dei nodi (escluse rispetto agli altri nodi Sistemi P 2 P le foglie) fallisce

P 2 P: Lower Bound sistemi uniformi Teorema Consideriamo un sistema P 2 P uniforme con n nodi, sia k il numero dei vicini che ogni nodo mantiene, allora il lower bound per il diametro è 1/2 log n (l ≥ 1/2 log n ) se k 1/2 log n. Sistemi P 2 P

P 2 P: Lower Bound sistemi uniformi Teorema Consideriamo un sistema P 2 P uniforme con n nodi, sia k il numero dei vicini che ogni nodo mantiene, allora il diametro è Ω(log n) se k = O(log n). Sistemi P 2 P

diametro Anello n -1 Chord e altri Grafo completo LB O(log n) O(log n/ log(log n)) 1 1 n è il numero dei peer; Sistemi P 2 P O(log n) n -1 grado

Alcune osservazioni • Chord è asintoticamente ottimo – Uniforme • • • Facili da implementare e da analizzare; Algoritmo di routing semplice (greedy); Non c’è congestione sui nodi; Fast bootstrap: E’ possibile fare meglio di Routing locale; Chord, si può arrivare a – GAP (0. 72021 log n, 0. 72021 log n) • Chord (log n, log n) • LB (½ log n, ½ log n) Sistemi P 2 P

Domande: • Consideriamo un sistema P 2 P con N nodi e grado k = O(log N), quale delle seguenti affermazioni è vera. (giustificare la risposta) il diametro è (log N) il diametro è almeno ½ log N il diametro è (log N / log N) Nessuna delle precedenti – – • Dato un sistema P 2 P uniforme con N nodi, grado k e diametro l, (giustificare la risposta) – – Sistemi P 2 P k è O(log N) se l è O(log N) l è (log N) se k è O(log N) l è (log N/ log N) se k è O(log N) Nessuna delle precedenti

Domande: • Quale delle seguenti affermazioni è vera (giustificare la risposta) – – • I protocolli P 2 P uniformi sono più efficienti Non esiste un sistema P 2 P asintoticamente ottimo Chord è un sistema non uniforme Nessuna delle precedenti Consideriamo l’insieme dei protocolli P 2 P uniformi, quale delle seguenti affermazioni è vera. (giustificare la risposta) – – Chord è un sistema P 2 P asintoticamente ottimo (rispetto al tradeoff grado - diametro) Non esiste un sistema che offre prestazioni migliori del protocollo Chord (rispetto al tradeoff grado - diametro) Nessuna delle precedenti Sistemi P 2 P