ANALZA KONSTRUKC 6 pednka Nosn stny rovinn napjatost
- Slides: 27
ANALÝZA KONSTRUKCÍ 6. přednáška
Nosné stěny – rovinná napjatost n Způsoby výpočtu napjatosti: ¨ Deformační metodou n Primární neznámé: posuny u(x, y), v(x, y) n Výchozí rovnice: statické ¨ Silovou metodou n Primární neznámá: funkce napětí F(x, y) n Výchozí rovnice: rovnice kompatibility – vyjádřená ve složkách napětí – Lévyho podmínka
Silová metoda a) Statické rovnice Je-li zatížení pouze po obvodě, položíme objemové síly Celkem 3 neznámé: sx, sy, txy 2 rovnice statické, 1 rovnice kompatibility b) Rovnice kompatibility 3) Z fyzikálních (konstitutivních) rovnic pro rovinnou napjatost dosadíme za ex, ey, gxy
Fyzikální rovnice: Po dosazení do 3) Ze statické rovnice 2) Zůstane Ze statické rovnice 1)
Opětovným dosazením ze statických rovnic: Laplaceův operátor: Rovnice kompatibility ve složkách napětí – Lévyho podmínka:
c) Řešení soustavy rovnic pomocí funkce napětí F 1) 3 parciální diferenciální rovnice 2) 3 neznámé: sx, sy, txy 3) Zavedením tzv. Airyho funkce napětí F lze soustavu převést na jedinou rovnici 4. řádu:
Dosazením Airyho funkce do rovnic: 1) 2) Stěnová rovnice 3) Rozepsáním: Biharmonická rovnice
Řešení stěnové rovnice: n n V uzavřeném tvaru (složité, téměř nemožné) Přibližné řešení – převedením na soustavu lineárních algebraických rovnic ¨ Metoda konečných prvků ¨ Metoda Rayleigh-Ritzova ¨ Metoda diferenční (metoda sítí)
d) n n n Okrajové podmínky ke stěnové rovnici Parciální diferenciální rovnici 4. řádu odpovídají 2 okrajové podmínky v každém bodu okraje Geometrické okrajové podmínky (např. z vetknutí stěny) jsou v silové variantě řešení komplikované Omezíme se pouze na úlohy s předepsanými statickými okrajovými podmínkami Znaménková konvence: Složky zatížení: px, py – kladné složky ve směru kladných poloos x, y Složky napětí: sx, sy, txy – podle působení na kladných či záporných plochách
Mezi složkami zatížení a napětí platí podmínka ekvivalence. Mezi složkami napětí a Airyho funkcí F platí definiční vztahy F Např. okraj BC: Pro snazší vyjádření okrajových podmínek lze využít podobnosti mezi průběhem funkce napětí F na okraji stěny a průběhem ohybového momentu na rámu, který má stejný tvar, rozměry, zatížení a podepření; tzv. L‘Hermitova analogie
L‘Hermitova analogie n n Průběh funkce napětí F na hranici stěny je stejný jako průběh ohybových momentů M na náhradním rámu. M > 0 táhne vnitřní vlákna rámu. (F ~ M) Průběh derivace funkce napětí F podle vnější normály ∂F/∂n je stejný jako průběh normálových sil na náhradním rámu. N > 0 je tahová síla. (∂F/∂n ~ N) I při staticky určitém podepření rámu je výpočet M, N úlohou 3× staticky neurčitou (uzavřený rám) Rám přetneme a vnitřní síly v řezu nahradíme „neznámými“ silami
L‘Hermitova analogie Moment v obecném průřezu: M = M* + M 0 + N 0 y – Q 0 x Moment od vnějšího zatížení Momenty od staticky neurčitých veličin (lineární průběh) Při výpočtu napětí derivujeme funkci F dvakrát (a tedy i M): n n Lineární funkce nemá na napjatost vliv Náhradní rám můžeme kdekoli přetnout a hodnoty M 0, Q 0, N 0 libovolně volit (např. 0). Změní se funkce napětí, ale napjatost zůstane stejná.
e) Řešení stěnové rovnice metodou sítí n Metoda sítí – převádí řešení diferenciální rovnice (ΔΔF = 0) na soustavu lineárních algebraických rovnic Postup řešení: 1) Řešenou oblast (stěnu) pokryjeme sítí 1. 2) Stěnovou rovnici zapisujeme v jednotlivých uzlech sítě, za neznámé považujeme hodnoty Airyho funkce napětí F v uzlech sítě (F 1, F 2, …) 3) Parciální derivace nahrazujeme vhodnými algebraickými výrazy
1. Diferenční náhrady a) Funkce jedné proměnné Nahrazení parabolou 2. stupně + věta o střední hodnotě Diferenční náhrada za 1. derivaci: (1) hx … diferenční krok
Diferenční náhrada za 2. derivaci: hx/2 … poloviční diferenční krok (2)
Všechny diferenční náhrady za vyšší derivace lze odvodit aplikací výrazů (1) a (2), např. : Liché derivace v bodě i neobsahují Fi
b) Funkce dvou proměnných Obyčejné derivace přechází na parciální. Značení: čárkou derivace podle x, tečkou derivace podle y. Čtvrtá derivace smíšená:
c) Diferenční náhrada za stěnovou rovnici Pro čtvercovou síť (hx = hy = h) dostaneme diferenční schéma:
2. Řešení stěny metodou sítí Diferenční schéma pro stěnovou rovnici uplatníme ve všech vnitřních uzlech sítě Při zápisu rovnic v bodech blízko hranice padne diferenční schéma jednak: • do uzlů uvnitř (1, 2, …) • do uzlů na hranici (a, b, …) • do uzlů vnějších (mimo oblast) (A, B, …) Hodnoty funkce napětí F v těchto bodech vyjádříme pomocí okrajových podmínek
Okrajové podmínky L‘Hermitova analogie poskytuje: a) Hodnoty F přímo na hranici oblasti 1. (F ~ M na náhradním rámu) b) Hodnoty F v bodech vně oblasti v závislosti na hodnotách v bodech hraničních a v bodech uvnitř oblasti (z první derivace funkce F podle vnější normály) 1. (∂F/∂n ~ N na náhradním rámu)
Po uplatnění okrajových podmínek se základní soustava stane nehomogenní. Jejím netriviálním řešením jsou funkční hodnoty ve všech vnitřních bodech sítě (F 1, F 2, F 3, …, F 12) Složky napětí řešíme pomocí diferenčních náhrad.
Složky napětí pomocí diferenčních náhrad:
Děkuji za pozornost a těším se s vámi na shledanou za týden.
- Sieť trojbokého hranola
- Rovinn
- Vlastnosti kosodĺžnika
- Vrcholy geometrickych tvarov
- Rovinn
- Kolmá priamka
- Analzy
- úsečkový diagram
- Slepts
- Swot analza
- Analza
- Swot analza
- Analza
- Analza
- Zlate bilancne pravidlo
- Analza
- Swot analza
- Analza
- Analza
- Analze
- Analza
- Swot analza
- Analuza
- Entitno relacny model
- Post hoc definition
- Swot analza
- Analza
- Cronbachova alfa výpočet