Analyse statistique des donnes exprimentales Incertitudes et analyse
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Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor
Plan • • • Introduction : incertitudes sur les données Probabilités Distributions de probabilités Incertitudes, propagation des incertitudes Ajustement de courbes
Mesure et incertitude • Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie • La science de la mesure consiste à – mesurer à la meilleure précision possible – d’évaluer l’incertitude sur la mesure
Erreur vs incertitude • Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue) • Incertitude : écart probable • Les barres d’incertitude contiennent probablement la valeur vraie • Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude • Mieux vaut une mesure présentant une grande incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse
Mesure et incertitude • Chiffres significatifs et mesure • Quelle est la signification de : – Albert a 22 ans – J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo – Le LEP mesure 26, 66 km de circonférence – Ce pointeur laser éclaire à 50 m – This laser pointer shines to 54, 68 yards
Mesure et incertitude • Quelle est la signification de: – G = (6, 67428 ± 0, 00067) × 10 -11 m 3 kg-1 s-2 – me = (9, 10938215 × 10 -31 kg) ± 50 ppb – www. physics. nist. gov/constants
Chiffres significatifs a = 7, 35678 ± 0, 345 (utilisation incorrecte) a = 7, 3 ± 0, 3 a = 7, 356 ± 0, 04 a = 7, 3568 ± 0, 005 a = 7, 35678 ± 0, 0007 On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif
Chiffres significatifs (exemple) • Soit a = 3 m et b = 7 m • a/b = 0, 428571. . . ? • a/b = 0, 4
Incertitude • • • Erreur de mesure Erreur systématique Incertitude aléatoire Incertitude sur une quantité dérivée Propagation des incertitudes Distribution de probabilité
Erreur de mesure • Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres: – La précision ~ ½ mm • Mesure de tension avec un multimètre: – La précision dépend de l’appareil – L’appareil est très précis mais la tension varie
Erreur systématique • Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm – Mais la règle est fausse de 10% ! • Vous avez mesuré une tension à 0, 01% – Mais l’appareil est décalibré de 5% • Vous avez fait une mesure avec grand soin – Mais un des appareils était débranché
Incertitude aléatoire (statistique) • Vous répétez une mesure 100 fois • Les résultats se ressemblent mais. . .
Incertitude • L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité • L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement • L’incertitude = 1 déviation standard
Incertitude Quelle est la signification de: – G = (6, 67428 ± 0, 00067) × 10 -11 m 3 kg-1 s-2 – me = (9, 10938215 × 10 -31 kg) ± 50 ppb – L’incertitude = une déviation standard – La probabilité que la vraie valeur soit dans cet intervalle est de 68%
Exemple de mesures • Fréquence d’un pendule (~ 1 s) • Chronomètre très précis (~ 1 s par an) • À quelle précision puis-je mesurer la période ? – quelques dixièmes de seconde • L’histogramme présente une fluctuation • Je peux moyenner sur plusieurs périodes
Exemple de mesures • Fréquence de ma respiration • Même précision de mesure que précédemment • L’histogramme est plus large • Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure • Je peux moyenner
Est-ce la meilleure façon de mesurer la période ?
Non • Je compte 100 périodes ~ 100 s ± 0, 2 s • Plus facile et plus précis qu’avec plusieurs mesures • 100 mesures de ~2 s à ± 0, 2 s donnent –
Incertitude relative ou fractionnaire – G = (6, 67428 ± 0, 00067) × 10 -11 m 3 kg-1 s-2 – G = 6, 67428 × 10 -11 m 3 kg-1 s-2 – d. G = 0, 00067 × 10 -11 m 3 kg-1 s-2 – d. G/G = 0, 00067/ 6, 67428 = 10 -4 = 0, 01 % – me = (9, 10938215 × 10 -31 kg) ± 50 ppb – d me / me = 5 × 10 -8 – d me = 4, 6 × 10 -38 kg
Propagation des incertitudes Additions et soustractions • a=9± 3 • b=7± 2 a entre 6 et 12 b entre 5 et 9 • s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21 • d = a - b = 2 ± 5 car d entre -3 et 7
Propagation des incertitudes Produits et quotients • a = 29 ± 3 • b = 37 ± 2 a entre 26 et 32 b entre 35 et 39 • ab = 1073 et est entre 910 et 1248
Propagation d’incertitudes pour une somme • Soit 2 mesures x ± dx et y ± dy • z=x+y • • dz = dx + dy (provisoire) La règle est provisoire car on exagère un peu x ± dx contient ~68% y ± dy contient ~68% z ± dz contient ~90%, ce qui surévalue dz
Propagation d’incertitudes pour un produit • a = 29 ± 3 • b = 37 ± 2 • z = ab = 1073 ± 169
Propagation d’incertitudes pour un quotient • z=a/b • On trouve le même résultat : (règle provisoire)
• Ajouter ou soustraire un nombre exact ne change pas l’incertitude absolue • a = 7, 3 ± 0, 2 • b=4 • a + b = 11, 3 ± 0, 2 • Multiplier ou diviser par un nombre exact ne change pas l’incertitude relative • 4 x (7, 3 ± 0, 2) = 29, 2 ± 0, 8
Puissance • et on additionne les incertitudes relatives • a une incertitude 4 fois celle de a • ça ressemble à une dérivée
Règle générale (ou presque)
Incertitudes indépendantes • z=x+y • dz = dx + dy surestime l’incertitude sur z si les dx et dy sont indépendants • l’erreur sur x a autant de chance d’être + ou • l’erreur sur y a autant de chance d’être + ou -
Propagation d’incertitudes
Incertitudes indépendantes • x et y sont des variables indépendantes • Et dx et dy sont des erreurs indépendantes • Leurs effets s’additionnent quadratiquement
Incertitudes indépendantes pour des incertitudes indépendantes
Propagation d’erreurs (sans corrélations)
Probabilités et Statistiques
Probabilité • Probabilité qu’un événement X se produise Où N = nombre d’essais
Probabilité • On lance un dé • 6 résultats possibles • Chaque résultat a un pi = 1/6 Normalisation
Complément • p = la probabilité que X se produise • 1 - p = la probabilité que X ne se produise pas • q = 1 - p est le complément de p
Calcul de la probabilité • 1) Calculez le nombre total de combinaisons N, supposées équiprobables • 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S • 3) p = S/N
Calcul de probabilité • Probabilité de tirer 3 avec 1 dé • 1) N = 6 possibilités • 2) S = 1 seule bonne combinaison • 3) p = 1/6
Calcul de probabilité • Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés • 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités • 2) S = 3 (1, 3) (2, 2) (3, 1) • 3) p = 3/36 = 1/12
Calcul de probabilité • Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés • 1) N = 36 • 2) S = 6 (énumérez les) • 3) p = 6/36 = 1/6
Distribution de probabilité • Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement • Se présente sous forme graphique
Distribution pour 1 dé
Somme de 2 dés
Distributions • Propriétés des distributions – Moyenne, mode, médiane – Valeur attendue – Moments • Distributions de probabilité particulières – Binôme, Gauss, Poisson, . . .
2 types de distributions • Distributions discrètes • Distributions continues
Distributions discrètes (comme on a déjà vu) – P(xi) > 0 pour des xi discrets – P(xi) = 0 partout ailleurs
Somme de 2 dés
Distributions continues • Le nombre de résultats permis est • Chaque résultat a une probabilité = 0 • On définit la densité de probabilité f(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre x et x + dx Normalisation:
Distribution continue
Mode • Valeur la plus probable = 7 pour la somme de 2 dés Non défini pour un dé Non défini pour pile ou face
Médiane • Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales • = 7 pour la somme de 2 dés • = 3, 5 pour un dé (ou toute valeur entre 3 et 4)
Moyenne • Ou valeur attendue • Discrète : • Continue :
Pour une distribution symétrique • Moyenne = Mode = Médiane
Valeur estimée • Moyenne = – est la valeur attendue (ou estimée) de x – Notée • La moyenne de x est la valeur estimée de x • La valeur attendue de toute fonction f(x) est
Normalisation La normalisation représente la valeur attendue de 1 qui est bien sûr égale à 1
Propriétés de la valeur attendue
Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe? Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non
Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe? Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe
Moments • Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes
Moments • On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments Normalisation Moyenne . . .
Moments centrés • On soustrait la moyenne pour recentrer Normalisation Moyenne recentrée = 0 Variance = s . . .
Écart-type • Représente la largeur de la distribution s = Écart quadratique moyen = Déviation moyenne
Mesure et incertitude • Je mesure une quantité 5 fois • x = 17, 16, 18, 17, 18 • Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?
Probabilité de N événements • Obtenir 25 piles en 35 lancers • Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers • Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes • Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure • Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle
Distribution binômiale • On lance un dé 100 fois • La valeur attendue du nombre de 6 est ~17 • Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?
• Toutes les séries (a 1, a 2, . . . , a 100) sont équiprobables • La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6 • Chaque combinaison de r succès et n- r échecs a une probabilité • Il y a combinaisons de r succès Probabilité pour r succès et n- r échecs =
Désintégration radioactive • 1 g de radium = 2, 7*1021 atomes = 1 Ci = 1, 7*1010 désintégrations/s • Demi-vie = 5, 26 *108 min ~ 1000 ans • Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 10 -8 • µ = np = 5*1012 désintégrations en 5 minutes
• Probabilité de r désintégrations = Mais n! est impossible à calculer n est très grand p est très petit np = µ est fini On remplace p par µ/n
Distribution de Poisson
n = 10, p = 0, 5 µ=5 n = 100, p = 0, 05 µ=5
Propriétés de la distribution de Poisson • Normalisation • Écart-type
Rayons cosmiques • • 180 rayons cosmiques / (m 2 min) Combien en passe-t-il en 10 secondes ? µ = 180*10/60 = 30 On peut prédire qu’il passera rayons cosmiques en 10 secondes
Distributions de Poisson • • • Nombre de fautes de frappe dans une page Nombre d’individus vivant plus de 100 ans Nombre de a émis par une source Nombre d’incendies à Montréal par semaine Nombre de gens tirant le numéro gagnant
Additivité • x obéit à • y obéit à • Alors, z = x + y obéit à
Additivité • x obéit à • y obéit à • Alors, z = x + y obéit à
Distribution gaussienne • La distribution de Poisson est asymétrique • Mais devient plus symétrique pour µ grand • Pour µ>30, la distribution est symétrique
Distribution gaussienne • • • Abraham de Moivre 1733 Distribution continue de Maximum en x = µ Forme en cloche D’application très générale à – Théorème de la limite centrale • Approximation de pour µ grand
Distribution gaussienne • • Taille des individus QI Incertitudes Vitesse des molécules
Distribution gaussienne • 2 paramètres : µ et s • Symétrique autour de µ
Additivité • x obéit à • y obéit à • Alors, z = x + y obéit à
Distribution normale • Distribution gaussienne • µ=0 s=1 Fonction tabulée Fonction standard
Distribution normale
Largeur à mi-hauteur
Distribution gaussienne
Fonction erreur erf(x)
Fonction erreur
Théorème de la limite centrale • Sans démonstration • Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne
Théorème de la limite centrale • Soit xi i = 1, . . . , n n variables indépendantes • Les xi obéissent à des distributions caractérisées par des µi et des si • Alors, est distribuée selon une • gaussienne avec
Lorentz • Pas de lien avec les autres distributions • Phénomènes de résonance • Circuits RLC
Lorentz • s est infini • On utilise G
Lorentz
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