Analyse Numrique Problmes Pratiques Drivation Intgration Ph Leray

Analyse Numérique Problèmes Pratiques Dérivation Intégration Ph. Leray Analyse Numérique

Introduction z f connue ysur un certain nb de points you analytiquement z besoin de connaître f' ysur ces points ysans faire le calcul analytique. z besoin de calculer l'intégrale ysans calculer la primitive y(quadrature) Ph. Leray Analyse Numérique 1

Dérivation numérique 1/5 z Méthode "naïve" : z en théorie, la formule est vraie pour h 0 z en pratique, attention au choix de h ! xh trop grand : calcul trop approximatif xh trop petit : problèmes d'arrondis Ph. Leray Analyse Numérique 2

Dérivation numérique 2/5 z Méthode des différences centrales : y. Taylor : x y. On connaît f sur un ensemble de points {xi, yi} xh = xi+1 - xi xf(x+h) xf(x-h) Ph. Leray Analyse Numérique 3

Dérivation numérique 3/5 z Méthode des différences centrales (suite) : yf(x+h) - f(x-h) yen négligeant les termes en h 3 : ymeilleure approximation que la méthode "naïve" (h 3/h 2) Ph. Leray Analyse Numérique 4

Dérivation numérique 4/5 z Méthode des différences centrales (suite) : ycalcul des dérivées d'ordre supérieur : xf"(xi) ? Ph. Leray Analyse Numérique 5

Dérivation numérique 5/5 z Méthode des différences centrales (fin) : ycalcul des dérivées d'ordre supérieur : yen négligeant les termes en h 4 : yet pour les autres dérivées ? Ph. Leray Analyse Numérique 6

Intégration numérique 1/ z Plusieurs méthodes : ya et b finis x. On connaît f sur un ensemble de points {xi, yi} xpolynôme d'interpolation sur n+1 points Newton-Cotes x. On connaît f sur autant de points que l'on veut xpolynôme d'interpolation + choix de n+1 points Gauss-Legendre ya ou b infini x. Gauss-Laguerre, . . . Ph. Leray Analyse Numérique 7

Intégration numérique 2/ z Méthodes polynomiales y. On connaît la fonction sur n+1 points y 2 solutions : xcalculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x) calculer l'intégrale du polynôme de degré n problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément xregrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points (avec p+1 faible) calculer les polynômes d'interpolation de degré p sommer les intégrales de chaque sous-intervalle Ph. Leray Analyse Numérique 8

Intégration numérique 3/ z Méthode des trapèzes : p+1=2 points ypolynôme d'interpolation=droite y. A = y soit h = xi+1 - xi A Ph. Leray 0 0. 5 Analyse Numérique 1 1. 5 2 2. 5 9 3

Intégration numérique 4/ z Méthode de Simpson: p+1=3 points ypolynôme d'interpolation de degré 2 i va de 0 à n-2 avec un pas de 2 A Ph. Leray 0 0. 5 Analyse Numérique 1 1. 5 2 2. 5 10 3

Intégration numérique 5/ z Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points ypolynôme d'interpolation de degré p: Pp(x) ycomment trouver les i ? A Ph. Leray 0 0. 5 Analyse Numérique 1 1. 5 2 2. 5 11 3

Intégration numérique 6/ z Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points ycalcul des i = décomposition de l'intégrale dans la base {1, t, … tp} A Ph. Leray 0 0. 5 Analyse Numérique 1 1. 5 2 2. 5 12 3

Intégration numérique 7/ z Exercice : y. Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour : xretrouver la méthode des trapèzes xretrouver la méthode de Simpson xtrouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4) Ph. Leray Analyse Numérique 13

Intégration numérique 8/ z Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ? y. Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) : xerreur d'interpolation : [ (x)=(x-x 0)(x-x 1)…(x-xp) ] xerreur de quadrature : M majorant de |f (p+1)| Ph. Leray Analyse Numérique 14

Intégration numérique 9/ z Erreur de quadrature pour : yles trapèzes y. Simpson Ph. Leray Analyse Numérique 15

Intégration numérique 10/ z Méthodes polynomiales récursives : yex pour la méthode des trapèzes xdécoupage récursif de la surface en trapèzes I(0) 0 0. 5 Ph. Leray 1 1. 5 I(1) 2 2. 5 3 Analyse Numérique 16

Intégration numérique 11/ z Bornes infinies ? y. Méthode de Gauss-Laguerre Ph. Leray Analyse Numérique 17

Intégration numérique 12/ z Intégrales multiples ? y. Ex avec la méthode de Simpson xen dimension 2 : zij = f(xi, yj) k = yi+1 - yi h = xi+1 - xi Ph. Leray Analyse Numérique 18

Sujet de TD Ph. Leray Analyse Numérique 19

Conclusion Ph. Leray Analyse Numérique 20