Analyse du PAPR pour les modulations multiporteuses avec

Analyse du PAPR pour les modulations multiporteuses avec forme d'onde 9 Novembre 2006 Alexandre SKRZYPCZAK - RESA/BWA/IRI alexandre. skrzypczak@orange-ftgroup. com Le présent document contient des informations qui sont la propriété de France Télécom. L'acceptation de ce document par son destinataire implique, de la part de ce dernier, la reconnaissance du caractère confidentiel de son contenu et l'engagement de n'en faire aucune reproduction, aucune transmission à des tiers, aucune divulgation et aucune utilisation commerciale sans l'accord préalable écrit de France Télécom R&D France Telecom Research & Development 1 Access Networks

Généralités sur les MCM èLes études sur les modulations multiporteuses (MCM) ont commencé vers la fin des années 50 (FDM). èIdée: transmettre des données en parallèle en utilisant plusieurs fréquences porteuses. üLa transmission est faite sur des bandes de fréquence plus étroites. üAdaptée sur des canaux sélectifs en fréquence. èLa plus connue des MCM reste l'OFDM. üMultiplex orthogonal de fréquences. üPrésent dans de nombreux standards (ADSL, DAB, DVB-T, Home Plug, …). üPossède de nombreuses variantes: OFDM-IG, PRP-OFDM, VOFDM, … France Telecom Research & Development Access Networks 2

Quelques rappels sur l'OFDM èLe signal OFDM en formalisme continu s'écrit: ü T 0 est la fonction porte de durée T 0 centrée en 0. üM est le nombre de porteuses. üT 0 et F 0 sont respectivement la durée symbole OFDM et l'écart interporteuse, avec T 0 F 0 = 1. ü cm, n sont des symboles complexes (issus par exemple d'une constellation MAQ ou MDP). èCe système est orthogonal: èOn démodule le signal simplement: France Telecom Research & Development Access Networks 3

Quelques rappels sur l'OFDM (2) èLe signal discret est obtenu en échantillonnant le signal s à la cadence critique T 0/M. Ainsi pour le premier temps symbole: On génère ainsi facilement un symbole OFDM discret par une simple IFFT. èLes propriétés d'orthogonalité sont conservées en utilisant le produit scalaire discret. La démodulation revient donc à faire une FFT. s IFFT France Telecom Research & Development FFT Access Networks 4

OFDM-IG: une variante de l'OFDM èL'OFDM reste sensible aux canaux multitrajets. üAdjonction d'un intervalle de garde de durée qui absorbe les échos. üTt = T 0 + : le temps symbole est allongé. üL'efficacité spectrale diminue d'autant plus que augmente. èBilan: üLes points positifs: l Système orthogonal. l Schéma de réalisation simple et efficace. l Egalisation simple (ZF). üLes points négatifs: l Perte d'efficacité spectrale due à l'intervalle de garde. l Porte en temps → sinc en fréquence (mauvaise localisation fréquentielle). France Telecom Research & Development Access Networks 5

Théorème de Balian-Low èDéfinition: famille de Gabor On appelle famille de Gabor toute famille de fonctions fm, n(t) telles que: d=1/T 0 F 0 est appelé densité et f est la fonction prototype. èThéorème de Balian-Low: Il n'existe pas de famille de Gabor formant une base orthonormée de densité 1 ayant une fonction prototype f à la fois bien localisée en temps et en fréquence. Traduction: en OFDM, on ne peut pas remplacer la fonction porte par une meilleure forme d'onde sans perdre l'orthogonalité et l'efficacité spectrale maximale ! è 2 solutions possibles: üOn relache la contrainte d'efficacité spectrale maximale: OFDM suréchantillonné. üOn sort du formalisme de Gabor (OFDM): OFDM/OQAM. France Telecom Research & Development Access Networks 6

La modulation OFDM/OQAM èAu lieu de transmettre un symbole complexe cm, n par temps symbole et par fréquence, on retarde la partie réelle (ou imaginaire) d'un demi-temps symbole 0 (= T 0/2): transmission avec Offset ("O" de OQAM). èOn s'arrange pour que 2 symboles adjacents (en temps et en fréquence) aient une différence de phase de /2. Ceci impose un nombre pair de porteuses. France Telecom Research & Development Access Networks 7

La modulation OFDM/OQAM (2) è On peut donc écrire le signal OFDM/OQAM en continu de la manière suivante: ü M reste le nombre de porteuses (M = 2 N). ü h est la forme d'onde. ü am, n est alternativement la partie réelle ou la partie imaginaire du symbole complexe à transmettre. ü m, n est nul si m et n sont de même parité. Il vaut /2 dans le cas contraire. è La famille de fonction hm, n n'est pas une famille de Gabor et donc on peut imaginer une forme d'onde h à la fois orthogonale et bien localisée en temps et en fréquence. è L'orthogonalité n'est alors vérifiée que dans R et non plus dans C (OFDM). France Telecom Research & Development Access Networks 8

OFDM/OQAM: orthogonalité èLes conditions d'orthogonalité s'écrivent avec le produit scalaire réel: èAinsi, on démodule le signal en faisant: èLes contraintes d'orthogonalité réelle de l'OFDM/OQAM apparaissent au travers du mode de codage des symboles et de m, n. Il y a cependant des solutions possibles: France Telecom Research & Development Access Networks 9

Discrétisation du signal OFDM/OQAM èEn échantillonnant le signal OFDM/OQAM à la cadence critique T 0/M, on obtient le signal discret suivant: D est un paramètre de retard égal à Lh-1 pour un filtre orthogonal h (de longueur Lh) èL'orthogonalité est vérifiée par le produit scalaire réel et les équations de démodulation s'écrivent: èSchémas de réalisation efficaces ? France Telecom Research & Development Access Networks 10

Modem OFDM/OQAM èA partir de l'expression de l'OFDM/OQAM en discret, on peut en déduire la structure du modem: èLa (dé)modulation consiste en une transformée rapide de type FFT + un filtrage polyphase. üAccroissement de complexité par rapport à l'OFDM. üMais d'autant plus moindre que le filtre h est court. France Telecom Research & Development modulateur démodulateur Access Networks 11

OFDM/OQAM: bilan èEfficacité spectrale identique à l'OFDM sans intervalle de garde. ü 1 réel transmis par demi-temps symbole en OFDM/OQAM. üPas d'intervalle de garde en OFDM/OQAM. èChoix non limité de formes d'onde. üLes filtres ont un support supérieur ou égal à T 0. üFiltres SRRC, IOTA (et plus généralement EGF) en continu. üFiltres optimisés selon des critères de localisation temps-fréquence ou de sélectivité fréquentielle en discret. üMeilleures performances que l'OFDM en DSP (spectre mieux confiné). èCependant: üAugmentation de la complexité du modem. üGestion de l'estimation de canal plus complexe. France Telecom Research & Development Access Networks 12

Le PAPR èLes signaux multiporteuses ne sont pas à enveloppe constante. üDes pics de puissance peuvent intervenir. üProblématique pour l'amplification de puissance. üGénération de distorsion et remontée des lobes secondaires dans la DSP. èUtilisation du PAPR comme moyen d'analyse de ces effets. üPAPR = Peak-to-Average Power Ratio. üRapport du pic de puissance sur la puissance moyenne. èDéfinitions pour l'OFDM: et èLe PAPR est une variable aléatoire. üL'étude statistique est préférable. üComplementary Cumulative Density Function (CCDF): Pr(PAPR> ). France Telecom Research & Development Access Networks 13

Le PAPR: cas de l'OFDM/OQAM èEn OFDM, l'étude du PAPR est faite sur un support T 0: c'est le support de la forme d'onde rectangulaire. èEn OFDM/OQAM, le support du filtre peut être plus grand que T 0. Quelle définition prendre pour l'OFDM/OQAM ? èOn transmet la même quantité d'information sur T 0 dans les 2 cas. Conséquence: on garde les mêmes définitions en OFDM/OQAM. èDe nombreuses analyses théoriques sur le PAPR ont déjà été réalisées mais aucune sur les modulations multiporteuses avec forme d'onde. üTrouver une expression approchée de la CCDF. üAnalyser les influences différents paramètres de la modulation OFDM/OQAM sur la CCDF. France Telecom Research & Development Access Networks 14

Analyse d'un échantillon de signal Rappel: On pose: Cette variable aléatoire a pour moyenne et variance: Constante pour tout m Par le théorème de la limite centrale, on en déduit que s[k] suit un processus gaussien complexe de moyenne nulle et de variance 2 k 2=M x 2. Enfin, on montre que les parties réelles et imaginaires de s[k] sont décorellées. France Telecom Research & Development Access Networks 15

Approximation de la CCDF Des résultats précédents, on en déduit que |s[k]| suit une loi de Rayleigh et que X = |s[k]|2 suit une loi du 2. Posons: Comme E{|s[k]|2}= a 2, on en déduit la densité de probabilité de Y: Ainsi, pour un certain seuil fixé: France Telecom Research & Development Access Networks 16

Approximation de la CCDF (2) èPar conséquent: èEt finalement: France Telecom Research & Development Access Networks 17

Approximation de la CCDF L'expression précédente nous montre l'influence: l utilisé l'intermédiaire des coefficients k l Du Du filtre nombre de par porteuses M. Plus M est grand, plus l'hypothèse "s[k] suit un processus gaussien complexe" est vérifiée. L'expression précédemment trouvée est alors d'autant plus vraie. Quel est l'ensemble des coefficients ( 0, …, M-1) qui génère la distribution optimale ? France Telecom Research & Development Access Networks 18

CCDF minimale è 2 résultats préliminaires: et èLe problème à résoudre est donc le suivant: Problème standard d'optimisation Lagrangienne èEcriture du Lagrangien: France Telecom Research & Development Access Networks 19

CCDF minimale (2) èConditions nécessaires: èUne étude de fonction montre que la fonction est bijective sur [0, 1. 59/ ]. èEn utilisant les contraintes sur les k, on obtient que les CN deviennent: À condition que · 1. 59 N. èConditions suffisantes: on montre que la matrice hessienne HL (de terme général ) est définie positive. France Telecom Research & Development Access Networks 20

CCDF minimale: pour quels filtres ? èOn a montré que l'on obtient la CCDF minimale pour k = 1. èCas des filtres orthogonaux: l Les conditions d'orthogonalité s'écrivent sous la forme d'un système à M équations. l Une de ces équations est: èThéorème: Pour des valeurs de PAPR contenues dans l'intervalle ]0, 1. 59 N], l'orthogonalité du filtre prototype h est une condition suffisante pour l'obtention d'une CCDF optimale pour un système OFDM/OQAM transmettant des symboles i. i. d. sur M porteuses. èLa CCDF optimale a pour expression: France Telecom Research & Development Expression de la CCDF pour l'OFDM à M porteuses. Access Networks 21

Ecart à l'optimum: le paramètre èOn mesure l'écart par rapport au cas optimal grâce au paramètre: èVérifications expérimentales (M = 64): France Telecom Research & Development Access Networks 22

Réduction du PAPR èLes signaux multiporteuses peuvent avoir des valeurs de PAPR élevées, à des probabilités non négligeables. üEngendre de la distorsion. üFait remonter les lobes secondaires de la DSP. üNécessité de diminuer la probabilité des fortes valeurs de PAPR. èDe nombreuses solutions ont déjà été proposées pour l'OFDM: üLeur validité repose sur des critères comme: l La réduction de PAPR. l La complexité de l'algorithme. l Applicabilité en pratique. ü 3 grandes catégories de techniques: l Techniques de codage: codes BCH ou codes de Reed-Müller … l Techniques de clipping: soft clipping + compensation, ajout de signal … l Techniques probabilistes: PTS, SLM … France Telecom Research & Development Access Networks 23

La technique SLM pour l'OFDM èPrincipe: üOn choisit U codes de longueur M. üOn crée U versions différentes d'un symbole OFDM grâce à ces codes. üOn calcule le PAPR pour ces U symboles. üOn transmet le symbole ayant le PAPR de plus faible valeur. èPlus U est grand, plus les performances sont bonnes. France Telecom Research & Development Access Networks 24

Application à l'OFDM/OQAM ? èRappel de l'expression du signal OFDM/OQAM continu: èProblème: la forme d'onde h a un support au moins égal à 2 0. ü Existence de recouvrement entre 2 formes d'onde successives. ü Ce n'est pas le cas en OFDM. Cas de l'OFDM/OQAM Cas de l'OFDM Forme d'onde rectangulaire Forme d'onde h temps T 0 ü Nécessité de gérer ce problème de chevauchement. ü La technique SLM "brute" n'est pas applicable directement. France Telecom Research & Development Access Networks 25

Notre solution: l'Overlapped SLM (OSLM) è Principe: exemple pour une forme d'onde de longueur 2 T 0=4 0 è Quelle influence: ü de U ? ü de la longueur du prototype ? ü De la forme d'onde elle-même ? Génération de U signaux grâce aux U ensembles de symboles Génération de U versions de Ces symboles restent non codés Mais ces symboles restent non codés ces symboles grâce aux codes de codage Mêmes opérations Sur cet intervalle, les symboles sont obtenus grâce à l'étape précédente Choix et mémorisation des symboles donnant le plus faible PAPR Etc … 0 France Telecom Research & Development temps Premiers. Nouveaux symboles calcul symboles Calcul à déterminer du à PAPR déterminer du PAPR 26 Access Networks

Influence de U M=64, 4 -QAM, IOTA (tronquée pour avoir une FO de longueur 8 0). En pratique, pour M=64, U=2 ou 4 est suffisant. France Telecom Research & Development Access Networks 27

Influence de la longueur du prototype Choix d'une FO de longueur 2 b 0. M=64, 4 -QAM U=4 Résultats similaires pour des FO différentes mais de même longueur France Telecom Research & Development Access Networks 28

Résumé èEtude théorique de la distribution du PAPR pour l'OFDM/OQAM. üExpression analytique de la CCDF. üObtention d'un critère donnant la meilleure CCDF. l Ce critère est vérifié pour les filtres orthogonaux. l Définition du paramètre : écart par rapport au cas optimal. èDéveloppement d'une méthode de réduction de PAPR pour l'OFDM/OQAM. üCalquée sur la méthode SLM. üMais adaptée aux particularités de l'OFDM/OQAM. üLes performances sont d'autant meilleures que le filtre est court. èIl est bien sur possible d'adapter d'autres techniques conçues pour l'OFDM en tenant compte des caractéristiques de l'OFDM/OQAM. France Telecom Research & Development Access Networks 29

Cas de l'OFDM suréchantillonné èUne étude analogue a été réalisée pour l'OFDM suréchantillonné. èLe signal en continu s'écrit de la manière suivante: èoù: ü M est le nombre de porteuses. ü F 0 est l'écart inter porteuses. ü cm, n sont des symboles issus d'une constellation 22 K-QAM. ü T 0 est le temps symbole. ü h est la forme d'onde de support au moins égal à T 0. èDans ce cas de figure, on a: T 0 F 0 = = N/M avec >1. èOn parle "d'OFDM suréchantillonné" car dans la version discrète du signal, du fait de la propriété précédente, il y a plus de M échantillons de signal dans un temps symbole. France Telecom Research & Development Access Networks 30

Expression théorique de la CCDF èOn reprend le même type de raisonnement que précédemment sauf que les calculs sont légèrement différents. èOn obtient ainsi l'expression suivante de la CCDF: avec: èOn montre de la même manière que l'approximation est d'autant plus précise que M est grand. France Telecom Research & Development Access Networks 31

Minimisation de la CCDF èLe problème d'optimisation reste pratiquement identique au cas de l'OQAM. èOn obtient la CCDF optimale si et seulement si: èLes différences par rapport à l'OQAM: üLes filtres orthogonaux en OFDM suréchantillonné ne donnent pas k = 1. üLa CCDF optimale est: üUne condition nécessaire et suffisante pour avoir la même CCDF que l'OFDM est d'être à suréchantillonnage critique ( =1) et d'obtenir un filtre vérifiant k = 1. France Telecom Research & Development Access Networks 32

L'algorithme OSLM Gain (en d. B) apporté par l'OSLM par rapport à la CCDF originale. Système: OS OFDM avec 64 porteuses FO: SRRC Lh/N = 1 Lh/N = 2 Lh/N = 4 U=8 = 5/4 = 3/2 Pr(PAPR> ) = 0. 1 1. 65 1. 66 2. 15 2. 17 Pr(PAPR> ) = 0. 01 2. 36 2. 37 3. 02 3. 08 Pr(PAPR> ) = 0. 1 0. 96 0. 86 1. 17 1. 06 Pr(PAPR> ) = 0. 01 0. 87 0. 77 1. 01 0. 91 Pr(PAPR> ) = 0. 1 0. 21 0. 18 0. 30 0. 22 Pr(PAPR> ) = 0. 01 0. 19 0. 21 0. 27 0. 19 France Telecom Research & Development Access Networks 33

OSLM: comparaisons avec l'OQAM èOn observe des similarités avec l'OFDM/OQAM dans la mesure où les meilleures performances sont obtenues pour les filtres courts. èMais pour les filtres plus longs, les performances se dégradent très vite. Ceci est du au fait que dans le cas de l'OFDM/OQAM, comme le temps de référence de l'algorithme est 0, l'algorithme OSLM est réalisé 2 fois sur un temps symbole contre une fois seulement dans le cas de l'OFDM suréchantillonné. France Telecom Research & Development Access Networks 34

Conclusions èRéalisation d'une étude théorique du PAPR dans le cas des modulations avec forme d'onde. üExpression théorique de la CCDF. üCNS d'obtention de la CCDF minimale. üMesure de distance par rapport au cas optimal. èDéveloppement d'un algorithme de réduction de PAPR. üNécessité de gérer le chevauchement des formes d'onde successives. üTrès bons résultats pour les formes d'ondes courtes. èPour ces 2 aspects, l'OFDM/OQAM présente des résultats plus intéressants: üCNS d'obtention de la CCDF minimale directement liée à l'orthogonalité. üLa CCDF pour un filtre orthogonal est identique à l'OFDM (pour le même M). üLes dégradations de performances de l'OSLM pour les formes d'ondes "longues" sont moins brutales. France Telecom Research & Development Access Networks 35

Questions ? France Telecom Research & Development Access Networks 36

Amplification et DSP France Telecom Research & Development Access Networks 37

DSP: OFDM vs. OFDM/OQAM France Telecom Research & Development Access Networks 38