Analiza matematyczna III Funkcje WYKAD 4 Funkcje I

Analiza matematyczna III. Funkcje WYKŁAD 4 Funkcje I – własności podstawowe Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu • • definicje granic funkcji; twierdzenia o granicach właściwych i niewłaściwych funkcji.

Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór: S(x 0, r) x 0 - r x 0 + r R

Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór: Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x 0 R nazywamy zbiór:

Definicje granic funkcji Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem - nazywamy zbiór: Sąsiedztwem nazywamy zbiór :

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x 0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Jeśli istnieją ciągi to granica spełniające warunki: nie istnieje.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x 0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie. Liczba g jest granicą właściwą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie. Liczba g jest granicą lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w punkcie Granice prawostronne definiujemy w sposób analogiczny.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x 0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x 0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x 0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Granice niewłaściwe - funkcji w punkcie definiujemy w sposób analogiczny.

Definicje granic funkcji Granica funkcji w punkcie Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy w punkcie Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Definicja Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S( ). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Jeśli istnieją ciągi to granica spełniające warunki: nie istnieje.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Definicja Cauchy’ego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S( ). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica właściwa funkcji w nieskończoności Granice właściwe funkcji w - definiujemy w sposób analogiczny.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Definicja Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S( ). Funkcja f ma w granicę niewłaściwą , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Definicja Cauchy’ego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S( ). Funkcja f ma w granicę niewłaściwą , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Definicje granic funkcji Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Odpowiednie granice niewłaściwe funkcji w - definiujemy w sposób analogiczny.

Granice funkcji Równoważność definicji granic funkcji Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.

Granice funkcji Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

Granice funkcji Twierdzenie o granicy funkcji złożonej Jeśli funkcje f i g spełniają warunki: to:

Granice funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Jeśli funkcje f, g i h spełniają warunki: to:

Granice funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Granice funkcji Twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji Twierdzenie o dwóch funkcjach Jeśli funkcje f, i g spełniają warunki: to:

Granice funkcji Twierdzenie o dwóch funkcjach Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Granice funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, Gi. S, Wrocław 2004.

Granice funkcji – wyrażenia nieoznaczone Wyrażenia nieoznaczone: 0 0/0 / 1 0 00 Wartości powyższych wyrażeń zależą od postaci funkcji je tworzących.

Granice funkcji Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych .