Analitikus fk a kijelentslogikban Vizsgljuk a 6 10

Analitikus fák a kijelentéslogikában Vizsgáljuk a 6. 10 feladat következtetését! A fán lesz egy nyitott ág, tehát a következtetés nem helyes. A nyitott ágról leolvashatjuk, milyen lehet az ellenpélda. 6. 13 Három (és több) tagú diszjunkciót (és konjunkciót) a program nem tud értelmezni. Be kell zárójelezni (mondjuk hátulról). Tehát “A B C D”-ből ez lesz : “A (B (C D))” A fán megint lesz egy nyitott ág, de ezen szerepel Large(e) is, Small(e) is. Ez is ellentmondás, de nem szigorú értelemben vett logikai, hanem analitikus ellentmondás. A két mondat a benne szereplő nem logikai kifejezések jelentése miatt nem lehet egyszerre igaz. Tehát a következtetés kijelentéslogikailag nem helyes, de analitikusan igen.

HF. A 6. 11 és 6. 12 következtetések közül az egyik helyes, a másik hibás. Készítsék el mind a kettőhöz az analitikus fát, és a nyitott ág(ak) alapján a hibáshoz adjanak meg ellenpéldát Tarski’a Worldben. Akik már adtak be jó analitikus fát, azoknak ugyanez a feladat a 6. 31 -6. 32 következtetésekkel.

A kondicionális törvényei Modus ponens avagy leválasztási szabály (MP): “Ha A, akkor B”-ből és A-ból következik B. Formálisan: {A B, A} B Modus tollens (MT): “Ha A, akkor B”-ből és “Nem B”-ből következik “Nem A”. Azaz: {A B, B} A Kontrapozíció elve: A B B A (Vigyázni az előidejűségre! Köznyelvben “Ha A, akkor B” “Csak akkor B, ha A”-val egyenértékű. ) Még egy fontos törvény: A (B C) (A B) C A kondicionális nem asszociatív! A (B C) nem ekvivalens (A B) C –vel. Egy következtetési szabály: {A B, B C} A C ( láncszabály)

Lebontási szabályok a kondicionálishoz Emlékeztető: A B (A B) Negálatlan kondicionális lebontása: A B A Negált kondicionális lebontása: B (A B) A B A láncszabályt könnyen igazolhatjuk analitikus fával. Keressünk analitikus fával olyan igazságértékelést, amely mellett “A (B C)” igaz, “(A B) C” pedig hamis!

Kitérő a szigorú kondicionálisról Egy kondicionális akkor hamis, ha az előtagja igaz és az utótagja hamis. És mikor hamis egy feltételes állítás? X: Ha Z csődbe megy, akkor öngyilkos lesz. Y: Ez nem igaz! Y tényleg azt állítja, hogy Z csődbe fog menni és nem lesz öngyilkos? Talán valószínűbb értelmezés, hogy erre gondol: Lehetséges, hogy Z csődbe megy és mégsem lesz öngyilkos. De akkor X feltételes kijelentése azt jelentette, hogy: Lehetetlen, hogy (Z csődbe megy és nem lesz öngyilkos). Azaz más szavakkal: Szükségszerű, hogy ( (Z csődbe megy) (Z öngyilkos lesz)) Ez a feltételes kijelentések szigorú kondicionális olvasata. Nagyjából Leibnizig egyeduralkodó a logika történetében, kivéve: megarai Philón. A 20 -21. században is számos híve van, C. I. Lewistól kezdve. Olyan logikai rendszerben érhető el, amelyben vannak „szükségszerű, hogy”, „lehetséges, hogy” jelentésű konnektívumok (modális logika).

Bikondicionális (1) Csak akkor kaptok, ha maradtok. (2) Kaptok, ha maradtok. (1) azt állítja, hogy annak, hogy kapnak, szükséges feltétele az, hogy maradjanak. (2) azt, hogy elégséges feltétele. A kettő konjunkciója szükséges és elégséges feltétel: (1) (2) Akkor, de csak akkor kaptok, ha maradtok. Ez a (materiális) bikondicionális. Hibás elnevezése: (materiális) ekvivalencia. Jele: ‘ ’ (régebben: ‘ ’) Rövidített kifejezése: angolul iff, magyarul csakkor vagy hha. A B (A B) (B A) (A B) ( A B) Akkor igaz, hha A és B igazságértéke megegyezik. A B T T F F F T

A bikondicionális negációja: (A B) akkor igaz, ha A és B igazságértéke különbözik. Ez tkp. a vagy’ kizáró használatának felel meg. Szokás -val rövidíteni és kizáró diszjunkciónak nevezni. (Mi nem vezetjük be külön konnektívumként. ) A bikondicionális lebontási szabályai: A B A B (A B) A A B B Itt kell használni a Ruzsa program harmadik lebontási opcióját (elágaztatás, de mindkét ágra két mondat kerül).

A bikondicionális nyilvánvalóan kommutatív. Asszociatív-e? Határozzuk meg analitikus fával (A B) C igazságfeltételeit! Akkor igaz, ha A, B és C között páros sok hamis van. (Ez általánosítható. )

Használat és említés “A B” azt jelenti, hogy A-nak és B-nek történetesen, itt és most megegyezik az igazságértéke. “A B” azt jelenti, hogy A-nak és B-nek logikai okokból mindig megegyezik az igazságértéke. Avagy azt jelenti, hogy “A B” logikai igazság. Még egy fontos különbség: Amikor egy “A B” vagy “A B” alakú mondatot állítok, akkor az A és B mondatokat használom, nem pedig említem. Amikor azt állítom, hogy A-ból következik B, vagy A ekvivalens B-vel, akkor az A és B mondatokat megnevezem, róluk állítok valamit, tehát említem őket. Köznyelvben, konkrét példában az az, hogy’ kifejezés használata utal erre. Abból, hogy b kocka, következik az, hogy nem tetraéder. A Cube(b) Tet(b)’ mondat a blokknyelv egy logikai (analitikus) igazsága. Amikor nyelvi jelekről beszélünk, ügyelnünk kell a használat és az említés megkülönböztetésére. Ennek eszköze az egyvesszős, direkt idézőjel, amely tetszőleges kifejezésből a kifejezés nevét állítja elő. Pl. az a jelsorozat, hogy Jancsi’, egy fiúnévnek a neve. A kétvesszős (kvázi-) idézőjel sémából képez névsémát. Pl. amikor “A B” alakú mondatokról beszélünk.

HF: 7. 12 (fordítás FOL-ra, ajánlott hozzá a 7. 13 is) Figyelem: az ‘only if’-fel ugyanaz a helyzet, mint a ‘ csak akkor’-ral. “A only if B” azt jelenti, hogy A-nak szükséges feltétele B, azaz ha A fennáll, akkor Bnek is teljesülnie kell. Tehát FOL-fordítása: “A B”. Jegyszerzés: A gyakorlat anyagában négy feladattípus szerepelt: • Formalizálás, azaz fordítás természetes nyelvről FOL-ra • Modellek készítése Tarski’s Worldben • Igazságtáblázat készítése (doc-ban vagy Boole-lal) • Analitikus fa készítése (következtetések helyességének eldöntésére) A jegyszerzés kritériuma, hogy minden típusból legyen legalább olyan próbálkozás, ami azt mutatja, hogy világos, miről van szó. A jeles kritériuma, hogy mindegyik típusból a nehezebb feladatok közül legyen jó (nem feltétlenül hibátlan) megoldás. A kritériumok teljesíthetők a félév során beküldött megoldásokkal, akár a vizsgaidőszakban beszámoló formájában.