Analisis Kombinatorial 22112020 Prinsip dasar Menghitung Kaidah Perkalian

Analisis Kombinatorial 22/11/2020

Prinsip dasar Menghitung: Kaidah Perkalian • Dilakukan dua percobaan • Percobaan 1 mempunyai n 1 kemungkinan hasil • Jika pada setiap percobaan 1 terdapat n 2 kemungkinan hasil untuk percobaan 2 • Maka akan terdapat n 1 × n 2 kemungkinan hasil dari 2 percobaan tersebut. 22/11/2020

Contoh 1: • Turnamen sepak bola dengan 14 tim. • Setiap tim dengan 11 pemain. • Jika suatu tim dengan salah satu pemainnya dipilih sebagai tim terbaik dan pemain terbaik, berapa banyak pilihan yang mungkin? • Memilih tim adalah percobaan 1 dengan 14 cara. • Pada tim terpilih dilakukan percobaan 2: pilih pemain dengan 11 cara. • Terdapat 14 × 11 = 154 pilihan. 22/11/2020

Prinsip Menghitung Secara Umum • Jika terdapat r percobaan • Percobaan 1 mempunyai n 1 kemungkinan • Jika pada setiap hasil pada percobaan 1 terdapat n 2 kemungkinan percobaan 2 • Dan jika pada setiap n 1 × n 2 kemungkinan 2 percobaan pertama terdapat n 3 kemungkinan percobaan 3 dst • Akan terdapat secara total n 1 × n 2 ×. . . × nr kemungkinan dari r percobaan tersebut. 22/11/2020

Contoh 2: • Sebuah kepanitiaan dengan 3 anggota yang masing dipilih dari 5 mahasiswa, 7 dosen, dan 3 karyawan. • Memilih satu anggota dari setiap kelompok • Maka jumlah susunan panitia yang mungkin dibentuk: 22/11/2020

Contoh 3: • Ada berapa cara berbeda untuk menyusun 6 digit tanda nomor kendaraan dengan komposisi 3 huruf dan 3 angka? Contoh 4: • Terdapat berapa banyak fungsi yang dapat didefinisikan pada n titik, jika setiap fungsi hanya mungkin bernilai 0 atau 1? 22/11/2020

Contoh 5: • Ada berapa cara berbeda untuk menyusun 6 digit tanda nomor kendaraan dengan komposisi 3 huruf dan 3 angka • Dengan syarat tidak ada pengulangan huruf dan tidak ada pengulangan angka! 22/11/2020

Permutasi • Jika terdapat n obyek yg berbeda. • Akan disusun r dari objek-objek ini pada sebuah garis. • Banyaknya susunan yang berbeda atau permutasi adalah: • Untuk kasus khusus r = n, maka: 22/11/2020

Contoh 5 : • Banyaknya permutasi yang berbeda, dimana masing-masing terdiri dari 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B, C, D, E, F, G 22/11/2020

Contoh 6: • Pacuan kuda dengan 3 kuda, ada berapa kemungkinan urutan ketika sampai ke garis finish? • Kuda A, B, C • 6 kemungkinan urutan: (ABC), (ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA) 22/11/2020

Contoh 7: • Di dalam kelas Teori Peluang terdapat 40 mahasiswa dan 30 mahasiswi • Ujian diberikan dan nilai mereka diurutkan/diranking • Jika diasumsikan tidak ada nilai yang sama berapa urutan berbeda yang dapat diperoleh? • Terdapat 70 orang • Urutan berbeda adalah permutasi dari 70 orang tsb: 22/11/2020

Contoh (lanjut) • Jika nilai ujian diurutkan di antara mahasiswa saja • Terdapat urutan berbeda sejumlah: • Jika nilai ujian diurutkan di antara mahasiswi saja • Terdapat urutan berbeda sejumlah: 22/11/2020

Contoh 8: • Dipunyai 10 buku teks yang akan disusun di rak: 3 buku Matematika, 3 buku Fisika, 2 buku Kimia, dan 2 buku Biologi • Ingin disusun sedemikian sehingga buku dengan subyek yang sama berada di dalam satu kelompok • Ada berapa susunan berbeda yang mungkin? • Terdapat 4 kelompok buku: M, F, K, B • Ada 4! cara menyusun kelompok buku tersebut. 22/11/2020

• Pada setiap susunan kelompok, terdapat sejumlah cara menyusun buku untuk masing-masing subyek: • Matematika: 3! cara • Fisika: 3! cara • Kimia: 2! cara • Biologi: 2! cara • Sehingga, dengan memperhitungkan 4! cara menyusun kelompok subyek • Terdapat susunan buku sejumlah: 22/11/2020

Contoh 9: • Berapa susunan berbeda yang dapat dibentuk dari huruf AAB? • Misalkan kedua huruf A dapat dibedakan dengan indeks A 1 dan A 2 • Tetapi kenyataannya A 1 A 2 B A 2 A 1 BA 2 A 2 BA 1 A 2 BA 2 A 1 22/11/2020 AAB ABA BAA kedua huruf A tidak dapat dibedakan • Masing-masing susunan berasal dari 2 cara menyusun A

Contoh 10: • Ada berapa susunan berbeda yang dapat dibentuk dari huruf EEPPPR? • Terdapat 2 huruf E dan 3 huruf P • Jika diasumsikan masing-masing huruf dapat dibedakan maka terdapat: • Masing-masing susunan terdiri dari: • 2! cara menyusun huruf E dan 3! cara menyusun huruf P. • 2 huruf E dan 3 huruf P tidak dapat dibedakan: 22/11/2020

Permutasi dengan beberapa Obyek yang sama • Misalkan terdapat n obyek, yang terdiri dari: – n 1 obyek yang sama, – n 2 obyek yang sama, –… – nr obyek yang sama • Maka jumlah susunan yang berbeda dari obyek tersebut adalah: 22/11/2020

Contoh 11: • Sebuah olimpiade Matematika diikuti oleh 4 peserta dari Korea Selatan, 3 dari Kanada, 3 peserta dari Cina, 2 dari Amerika, dan 1 dari Perancis • Jika olimpiade tersebut hanya menampilkan nama negara pada urutan hasil lomba, ada berapa urutan yang berbeda? • Kasus permutasi dengan beberapa obyek yang tidak dapat dibedakan • Total peserta 4+3+3+2+1=13 urutan yang berbeda 22/11/2020

Kombinasi • Jumlah cara dalam memilih r obyek dari n obyek. • Dari huruf A, B, C, D dan E, akan dipilih 3 huruf • Ada berapa kelompok huruf yang dapat dibentuk? Ketika urutan huruf diperhitungkan: • Huruf pertama: 5 cara • Huruf kedua: 4 cara • Huruf ketiga: 3 cara 22/11/2020

• Akan tetapi dalam kelompok, urutan huruf tidak relevan • Mis: BCE, BEC, CBE, CEB, EBC dan ECB adalah 1 kelompok yang sama • Setiap 6 susunan dari 60 susunan sebenarnya membentuk 1 kelompok yang sama • Sehingga hanya ada 60/6 kelompok yang berbeda. 22/11/2020

Hasil Umum • Ketika urutan dipentingkan, memilih r obyek dari n obyek menghasilkan sejumlah susunan berbeda • Ketika urutan tidak lagi dipentingkan maka terdapat: susunan berbeda 22/11/2020 Koefisien Binomial

Kombinasi (lanjutan) • Diasumsikan terdapat 5 antena di mana 2 di antaranya rusak • Semua antena, rusak atau tidak rusak, tidak dapat dibedakan • Berapa barisan 5 antena yang mungkin dibentuk di mana dua antena rusak tidak diletakkan saling berdampingan. Tidak rusak Kemungkinan letak antena rusak tanpa saling berdekatan 22/11/2020 Memilih 2 posisi dari 4 posisi yang mungkin bagi antena rusak

• Secara umum, jika di antara n obyek dapat terdapat dua golongan, di mana obyek-obyek tersebut tidak dapat dibedakan: – Golongan I sebanyak m obyek – Golongan II sebanyak n – m obyek • Cara meletakkan obyek-obyek tersebut sedemikian sehingga obyek di golongan I tidak ada yang saling berdekatan: • Memilih m posisi dari (n – m + 1) posisi yang mungkin 22/11/2020

Identitas Kombinatorial • Pada kombinasi berlaku hubungan berikut: Kombinasi yang mungkin terbentuk ketika memilih r obyek dari n obyek 22/11/2020 Kombinasi yang mungkin terbentuk ketika obyek tertentu (mis: obyek 1) sudah pasti terpilih Kombinasi yang mungkin terbentuk ketika obyek 1 tidak terpilih

• Contoh: • Kelompok beranggotakan 3 huruf yang dipilih dari A, B, C, D • Misalkan obyek tertentu yang menjadi perhatian adalah huruf A. • Kombinasi yang mungkin terbentuk sebanyak: • Terdiri dari dua kasus • Kasus 1: A termasuk dalam kelompok terpilih • Kasus 2: A tidak termasuk dalam kelompok terpilih 22/11/2020

• Hubungan identitas kombinatorial 22/11/2020