Analisis Frekuensi Sinyal WaktuKontinu sinyal Waktu Diskrit 1

Analisis Frekuensi Sinyal Waktu-Kontinu & sinyal Waktu Diskrit 1

0 t Apa yang dapat diukur dari Sinyal tersebut? 2

1. Sinyal Sinusoidal Waktu – kontinu T=1/F A 0 t Ω = 2πF Sinyal dasar Eksponensial dng α imajiner adalah frekuensi dalam rad/s F = frekuensi dalam putaran per sekon (Hz) A= Amplitudo sinusoida θ = fase dalam radian 3

A 0 n -A 4

2. Sinyal Sinusoida Waktu-Diskrit A 0 n -A Dimana ω = 2πf f = putaran per cuplikan 5

Typical real time DSP System x(t) Input filter y(t) ADC with sample & hold Digital Prosesor DAC y(t) Output filter 6

Analog to Digital converter (ADC) 01011…. . Pencuplikan Sinyal Analog Kuantisasi Sinyal Waktu Diskrit Pengkodeaan Sinyal Terkuantisasi Sinyal Digital Ada tiga langkah dalam proses konversi : 1. Pencuplikan ( Sampling) : konversi sinyal analog ke dalam sinyal amplitudo kontinu waktu diskrit. 2. Kuantisasi : konversi masing-masing amplitudo kontinu waktu diskrit dari sinyal sample dikuantisasi dalam level 2 B , dimana B adalah jumlah bit representasi dalam ADC. 3. Pengkodean : Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner. 7

PROSES SAMPLING (Pencuplikan Sinyal Analog) Fungsi Diskrit hasil Pencuplikan periodik sinyal analog adalah : x(n)=xa(n. T), Sinyal analog -~< n< ~ Xa(t) X(n)=Xa(n. T) Sinyal waktu diskrit Fs=1/T Pencuplikan Xa(t) X(n)=Xa(n. T) 0 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 8

Sinyal Sinusoida analog : Xa(t) = A Cos (2 Ft + ) Pencuplikan periodik dengan laju Fs=1/T (cuplikan per detik ), maka : t=n. T Hubungan F = Frekuensi sinyal analog dan f = frekuensi untuk sinyal diskrit: f =F/Fs ekuivalen : = T f = Frekuensi relatif atau ternormalisasi ( f dapat menentukan F dalam Hz hanya jika Fs diketahui) Interval F dan Ω sinusoida waktu kontinu (Analog) ditetapkan 0<F<~ sehingga 0 < < ~ Sedangkan interval f dan ω sinusoida waktu diskrit ditentukan oleh …. . 9

Hubungan Variabel Frekuensi Sinyal Waktu Kontinu Vs Diskrit Sinyal waktu kontinu Sinyal waktu diskrit = 2 F = 2 f (Rad/sekon) (Rad/cuplikan) = T, f = F/Fs 0 ≤ ≤ 2 - ≤ ≤ = /T , F = f. Fs 0<F< 0< < -1/2 ≤ f ≤ 1/2 - /T ≤ ≤ /T - Fs/2 ≤ Fs/2 10

Hubungan variabel Frekuensi (F dan f) sinyal kontinyu dan sinyal diskrit f 1/2 -Fs/2 0 -1/2 Fs F - Interval -1/2 ≤ f ≤ ½ ini menentukan syarat Frekuensi sinyal analog yang dapat didiskritkan dengan sempurna agar tidak terjadi ALIASING.

Pemakaian hubungan-hubungan frekuensi dicontohkan dengan dua sinyal analog berikut : X 1(t) = cos 20πt X 2(t) = cos 100πt a. Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut. b. Tentukan fungsi sinyal diskrit bila dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz 12

INGAT : cos (2π ± a) = cos a sin (2π + a) = sin a sin (2π - a) = -sin a x 2(n) identik dengan x 1(n) 90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz F 2 (50 Hz) = alias dari F 1(10 Hz)

Syarat Nyquist : untuk menjamin bahwa seluruh komponen sinusoida sinyal analog menjadi sinyal diskrit adalah Fs ≥ 2 Fmax(analog) Apabila tidak terpenuhi maka akan terjadi aliasing. 14

Frekuensi alias Misal ada 2 sinal analog : -> x 1(t) = A sin 2 (10) t …. . (a) -> x 2(t) = A sin 2 (50) t ……(b) Kedua sinyal dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz, sehingga sinyal digital (waktu-diskrit) masing-masing: -> x 1(n) = A sin 2 (10/40)n = sin ( /2) n ……(c) -> x 2(n) = A sin 2 (50/40)n = sin (5 /2) n …. . (d) 15

Karena : sin (5 /2) n = sin (2 + /2 )n = sin ( /2) n Maka : Sinyal analog pers (a) dan (b) setelah dicuplik dgn frekuensi Fs = 40 Hz akan menghasilkan digital yg sama, sehingga frek. Sinyal analog x 2(t) merupakan alias dari x 1(t), Frekuensi –frekuensi ALIAS yang lain (Fk) terjadi pada : Fk = F o + k F s dimana k = ± 1, ± 2, … Jika : Fs = frekuensi sampling, Fs= 40 Hz F 0 = frekuensi sinyal analog dasar, Fo=10 Hz (contoh a) Fk = frekuensi sinyal analog ke k; F 1=50 Hz (contoh b), F 2=… , F 3 = …. , F 4 =…. 16

Ilustrasi Pengaliasan pencuplikan yang sama pada 2 sinyal dengan frekuensi berbeda. Berlaku persamaan F 2 = F 1 + k F s

Perhatikan sinyal analog Xa(t)= 3 cos 100πt a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan. b) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=200 Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan. c) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=75 Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan. d) Berdasarkan hasil sinyal diskrit soal c, Berapa frekuensi dan fungsi dari sinyal sinusoidal berdasar hasil cuplikan Fs=75 Hz. 18

Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos 100 t a) Tentukan Fs minimum b) Bila Fs = 200 Hz, tentukan x(n) c) Bila Fs = 75 Hz, tentukan x(n) d) Berapa besarnya frekuensi (Hz) sinyal yang dihasilkan jika Fs=75 Hz Jawab: a) b) F = 50 Hz dengan Fs minimum = 100 Hz

Jika Fs = 75 Hz c) d)

Sinyal Analog : Xa(t) = 3 cos 2000 t + 5 sin 6000 t + 10 cos 12000 t a) Berapa laju Nyquist ? b) Jika laju pencuplikan Fs = 5000 cuplikan/detik. Berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh setelah pencuplikan? c) Berapa sinyal analog yang dapat dibentuk ulang dengan Fs=5000 cuplikan/detik Hal. 29 -30 21

Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos (2000 t) + 5 sin(6000 t) + 10 cos (12000 t) a) Tentukan frekuensi Nyquistnya b) Bila Fs = 5000 Hz, tentukan x(n) c) Tentukan xa(t) dari x(n) pada soal (b) bila proses D/A Cnya sempurna menentukan fungsi sinyal analog kembali. Jawab: a)

b)

f=2/5 Fs=5000 F=f. Fs = 2000 c) Pada rekonstruksi ulang, sinyal analog yang terbentuk mempunyai frekuensi 1 KHz dan 2 KHz

KUANTISASI SINYAL AMPLITUDO-KONTINU KUANTISASI : Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilai cuplikan sebagai suatu angka digit, dinyatakan dengan : X(n) merupakan hasil pencuplikan, Q[X(n)] merupakan proses kuantisasi Xq( n) merupakan deret cuplikan terkuantisasi 25

Konsep kuantisasi (lanj. ) 26

27

28

KESALAHAN KUANTISASI/ Kebisingan Kuantisasi /Galat Kuantisasi/ Error Kuantisasi ( eq(n) ) Diperoleh dari kesalahan akibat adanya pembulatan ke level digital pada proses kuantisasi. Sec. Matematis, merupakan deret dari selisih nilai terkuantisasi dengan nilai cuplikan yang sebenarnya. eq(n) = Xq (n) – X (n) 29

Hal 33 1, 0 X(n)=0, 9 n Xa(t)=0, 9 t 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0 1 2 4 5 6 7 T 8 n Tingk. Kuantisasi T=1 s 1, 0 0, 9 0, 8 0, 7 0, 6 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0 3 Xa(t)=0, 9 t L=jml tingkatan kuantisasi (level digitalisasi) Xq(n) 1 2 3 4 5 6 7 8 Langkah kuantisasi (resolusi) ( ) n 30

L = Quantization Level L = 11 = Quantization step = 0, 1

Tabel. Ilustrasi Numerik kuantisasi dengan 1 digit n x(n) xq(n) (Truncation) xq(n) (Rounding) eq(n)=xq(n)- x(n) (Rounding) 0 1 1 0. 9 1, 0 0, 9 0, 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0. 81 0, 729 0, 6561 0, 59049 0, 5311441 0, 4782969 0, 43046721 0, 387420 0, 8 0, 7 0, 6 0, 5 0, 4 0, 3 0, 8 0, 7 0, 6 0, 5 0, 4 - 0, 01 - 0, 029 0, 0439 0, 00951 - 0, 031441 0, 0217071 - 0, 03046721 0, 012579511

PENENTUAN SQNR (Signal Quantitation to Noise Ratio ) SQNR : : nilai kualitas keluaran ADC ditentukan oleh Rasio daya sinyal (Px) terhadap daya noise (Pq) 33

Pada gambar persamaan Sinyal Sinusoida analog : Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata Pq Eq(t) : error kuantisasi Karena : , maka : menunjukkan waktu Xa(t) berada dalam tingkatan kuantisasi Jika Pengkuantisasian dengan jumlah b bit dan interval keseluruhan 2 A (2 x ampiltudo), maka langkah kuantisasi : = 2 A/2 b. Sehingga nilai Pq : • Daya rata-rata sinyal Xa(t) : 34

Gambar. Galat Kuantisasi Eq(t) penentu Daya Kesalahan Pq eq(t) /2 /2 - 0 - 0 t t Signal Quantitation to Noise Ratio ( SQNR ) : nilai kualitas keluaran ADC yang ditentukan oleh Rasio daya sinyal terhadap daya noise. 35

Rumus SQn. R(d. B) menunjukkan bahwa nilai ini bertambah kira-kira 6 d. B untuk setiap bit yang ditambahkan kepada panjang kata (word lenght). Contoh pada proses CD recorder menggunakan Fs = 44, 1 Khz dan resolusi sampling 16 bit diperoleh SQNR sebesar 98, 08 d. B. Semakin tinggi nilai SQNR --- semakin baik proses konversi dari ADC tersebut. 36

Pengkodean § Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit. § Sinyal digital yang dihasilkan ADC berupa bilangan basis 2 (0 dan 1). § Idealnya output sinyal tersebut harus dapat merepresentasikan kuantitas sinyal analog yang diterjemahkannya. § Representasi akan semakin baik ketika ADC semakin sensitif terhadap perubahan nilai sinyal analog yang masuk. 37

Contoh : Representasi digital tegangan 0 s/d 15 Volt. Jika nilai 0 -15 volt dapat diubah menjadi digital dengan skala 1 volt, artinya rentang nilai digital yang diperoleh berupa 16 tahap (dari 0 bertahap naik 1 volt hingga nilai 15 atau setara dengan 0000 s/d 1111). Tahapan sejumlah ini dapat diperoleh dengan membuat rangkaian ADC 4 bit (karena jumlah bit (n) merepresentasikan 2 n nilai skala, sehingga 24 =16 skala). Bila menambah jumlah bit menjadi 8 bit, maka nilai 0 -15 volt dapat di representasikan oleh 28 (256) skala atau setara dengan skala 16/256= 62. 5 m. V, (ARTINYA SETIAP KENAIKAN 1 BIT BERUBAH KELIPATAN 62, 5 m. V). Hasilnya rangkaian semakin sensitif terhadap perubahan sinyal analog yang terbaca. Jadi, dapat disimpulkan semakin besar jumlah bit , maka semakin sensitif atau semakin tinggi resolusi rangkaian ADC.

RESOLUSI Adalah Nilai tegangan direpresentasikan dari setiap kenaikan 1 bit. Ditentukan dari jumlah bit (n) representasi ADC Sebuah sinyal analog dalam rentang 16 skala (4 bit) adalah lebih baik (lebih sensitif) resolusinya dibanding membaginya dalam rentang 8 skala (3 bit). ü Karena besar resolusi sebanding 2 n. ü semakin besar jumlah bit , resolusi akan semakin bagus.

Contoh pada ADC 0804 Untuk operasi normal, menggunakan Vcc = +5 Volt sebagai tegangan referensi. Dalam hal ini jangkauan masukan analog mulai dari 0 Volt sampai 5 Volt (skala penuh), karena IC ini adalah SAC 8 -bit, resolusinya akan sama dengan : Artinya : setiap kenaikan 1 bit, kenaikan tegangan yang dikonversi sebesar 19, 6 m. Volt 40

I. TUGAS-umum Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = sin (100 t) - cos (300 t) a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan b) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 100 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 200 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan

II. TUGAS individu Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 cos (50 t) + 10 sin(300 t) - cos (100 t) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan 1) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 50 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 2) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 75 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 3) ) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 100 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 4) c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 150 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan

II. TUGAS individu Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 3 sin (600 t) + 10 cos(200 t) - cos (1000 t) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan 5) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 300 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 6) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 500 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 7) ) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 600 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 8) c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 800 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan

II. TUGAS individu Diketahui sebuah sinyal analog xa(t) = 2 sin(1500 t) - sin (2000 t) - 5 cos (3100 t) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan 9) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 1500 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 10) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 2000 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 11) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 2500 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan 12) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 3000 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan

To Be Cotinued 45

46

Tugas– pertemuan berikutnya kelompok – 2 atau 3 orang Mencari makalah/paper tentang Aplikasi/ sistem yang memanfaatkan DSP. Atau Pemanfaatan DSP dalam bidang sesuai konsentransi. Berikan Analisis mengenai (sinyal apa yg diproses, bagaimana pemrosesan digitalnya, dan apa hasilnya) - Dicetak - Dipresentasikan dengan Buat file ppt. 47

TEOREMA PENCUPLIKAN ( SAMPLING ) Sinyal Analog : Xa(t), jika pada sinyal tsb diketahui Fmax = B, Laju cuplikan Fs ≥ 2 Fmax (2 B), maka dapat diperoleh kembali dari nilai cuplikan dengan fungsi interpolasi : dimana : Untuk : Xa(n/Fs) = Xa(n. T) X(n) merupakan cuplikan-cuplikan dari Xa(t) Laju cuplikan minimum Fs = 2 B, maka formula penyusunan ulang dari cuplikan menjadi kontinyu adalah : Laju pencuplikan : Fs = 2 B = 2 Fmax = Laju Nyquist 48

Tabel. Ilustrasi Numerik kuantisasi dengan 1 digit n X(n) Sinyal diskrit Xq(n) (bulat ke bawah) Xq(n) (bulat ke atas) eq(n)=Xq(n)-X(n) (bulat ke atas) 0 1 1. 0 0. 0 1 2 0. 9 0. 81 0. 9 0. 8 0. 9 0. 01 3 0. 729 0. 7 0. 8 0. 029 4 0. 6561 0. 6 0. 7 0. 439 5 6 7 8 9 0. 59049 0. 531441 0. 4782969 0. 43046721 0. 387420489 0. 5 0. 4 0. 3 0. 6 0. 5 0. 4 0. 00951 0. 068559 0. 021031 0. 06953279 0. 012579511 49

Analog to Digital Conversion Process LPF X(t) Analog input Sample & Hold Quantizer 2 B F Encoder Logic Circuit X(n) Digital output code Untuk proses gambar diatas ada tiga tipe identifikasi : • Sinyal input analog : Sinyal kontinu dalam domain waktu dan amplitudo. • Sinyal di-sample : Amplitudo Sinyal kontinu didefinisikan sebagai nilai diskrit dalam domain waktu. • Sinyal digital : dimana x(n), untuk n=0, 1, 2, ……. Sinyal dalam nilai diskrit domain waktu dan masing-masing nilai akan dihasilkan nilai 2 B. dengan B = jumlah bit 50