Analisi Dati Explorer Nautilus Gruppo P Sabrina DAntonio

Analisi Dati (Explorer & Nautilus) Gruppo P Sabrina D’Antonio Ottobre 2004 3 - 4 Ottobre 2003 Idf. Id. F 2004

Nautilus LNF: 41º. 82 N - 12º. 67 E Azimuth = 44º E Explorer CERN: 46º. 45 N - 6º. 20 E Azimuth = 39º E

Elaborazione del Segnale h L 0 Filtro Li Oscillatore Trasduttore Massa M Temperatura T Fattore di Qualità Q Frequenza f 0 Efficienza Amplificatore Temperatura di Rumore Tn V = E. elettrica E. meccanica

Dati Sperimentali … V Filtro campionato ad intervalli di tempo di 12. 8 ms (Nautilus) e 6. 4 ms (Explorer) progettato per segnali di tipo δ rivelazione di bursts brevi: - impulsi di durata ~ 1 ms; - segnali a frequenza variabile che intercettano le risonanze delle barre ricerca sensibile a O. G. emesse Ø nei collassi gravitazionali Ø durante gli stadi finali della coalescenza di sistema binari (NS-NS, NS-BH, BH-BH)

… Dati Sperimentali Segnale filtrato s (t) normalizzazione, tramite la calibrazione del rivelatore, tale che s 2 rappresenti l’energia d’oscillazione (in Kelvin) Rumore : moto termico degli oscillatori amplificatore distribuzione di s (t) è normale con media = 0 f (s) exp - s 2 2 Teff temperatura efficace

Segnale d’Uscita Sciame di raggi cosmici su NAUTILUS Quadrato del Segnale d’Uscita dell’Amplificatore (V 2) Segnale d’Uscita del Filtro (T)

Eventi … soglia in Rapporto Critico : CR = |s| - ‹|s|› σ (|s|) = 6 moving average Et = 19. 5 Teff (media di |s| nei 10’ precedenti) |s| > soglia considero s solo se nella sua evoluzione temporale tornato al disotto della soglia vi rimane per più di 3 s Evento { smax , t (s = smax )}

…Eventi EVENTO Amax T(Amax) Inizio evento Fine evento

… Eventi cercati : segnale di O. G. (energia Es) + rumore gaussiano probabilità teorica di rivelare segnale con rapporto segnale-rumore (SNR) pari a Rs = Es / Teff P 0. 856 Rt = 19. 5 Probabilità 48% (14%) di NON rivelare segnale con Rs = 20 (30) 0. 522 Rs

Ampiezza del Segnale Modello per il segnale di O. G. : impulso di durata τg (per orientazione ottimale: θ = /2 ) 1 1 h = 4 L f 0 2 τg k. B Es ½ M Es. - Nautilus & Explorer τg = 1 ms h 2 x 10 -19 Es 1 m. K ½

Sensibilità picco di calibrazione Larghezza di banda Δf ½ Tn Sensibilità di picco T MQ ½

Explorer & Nautilus 2001 Explorer • • • ON da Marzo a Dicembre Larghezza di Banda = 9 Hz T = 2. 6 K f 0 = 904. 7, 921. 3 Hz Sensibilità Media h = 4. 5 x 10 -19 Nautilus • • • ON da Gennaio a Dicembre Larghezza di Banda = 0. 4 Hz T = 1. 5 K f 0 = 906. 97, 922. 46 Hz Sensibilità Media h = 5. 7 x 10 -19 Funzionamento in coincidenza per 213. 5 giorni

Selezione degli Eventi A. Eliminati eventi in coincidenza (entro 5 s) con i segnali d’uscita dei sismometri - 8% Definite: ü Teff (1 h) = ‹ s 2 › in 1 ora di funzionamento continuo ü Teff (10 m) = ‹ s 2 › nei 10’ precedenti l’evento B. Considerati solo eventi con: Teff (1 h) 10 m. K ; Teff (10 m) 7 m. K C. Considerati solo eventi a periodi di durata > 1 h A B C : ancora eventi di grande energia rumore extra (in aggiunta a quello termico ed elettronico) che è necessario eliminare Coincidenze

Coincidenze Eventi nei 2 rivelatori la cui distanza temporale | Δt | w Analisi: confronto tra il n. di tali eventi (nc) e il n. di coincidenze accidentali (nf), i. e. il n. di coincidenze che si verificano per caso N. B. - fissato un tempo di misura T durante il quale 2 rivelatori registrano, rispettivamente, N 1 e N 2 eventi (distribuiti uniformente), il n. di coincidenze accidentali entro un ritardo w è dato da N 1 N 2 w / T Misura delle accidentali: traslazione temporale relativa delle sequenze degli eventi dei 2 rivelatori 100 shifts con passo | Δtsh | = 2 s ciascuno, da – 100 s a +100 s calcolo del n. di coincidenze nsh nf = 1 100 nsh (k) Σ 100 k 1

Finestra Temporale Come è scelta w ? segnali simulati rumore reale caratterizzazione della distribuzione del tempo dell’evento intorno all’istante di applicazione del segnale Segnali Impulsivi 1 1 σd = 0. 28 Δf Re½ da simulazioni SNR evento Nautilus Explorer : σc 2 = σNau. 2 + σExp. 2 N. B. - σc σNau. w = 3 σc 0. 5 s

Analisi Statistica delle Coincidenze Limitata ai soli eventi di coincidenza verificatisi durante periodi di acquisizione dati continua di durata 12 h Ø Distribuzione Temporale NO sorgenti di O. G. nel Sistema Solare & insufficiente sensibilità dei nostri rivelatori per eventi extragalattici eventuali segnali devono provenire dalla nostra Galassia (ipotesi “a priori”) opportuna variabile temporale è il tempo siderale Ø Distribuzione Energetica

Coordinate Terrestri asse rotazione terrestre ψ = Longitudine φ = Latitudine O = Osservatore G O φ C ψ Equatore Terrestre (ET) G = Greenwich C = Centro Terra

Coordinate Orizzontali Locali z Z A = azimuth h = altezza Sfera Celeste P O y Est Asse z = verticale locale Z = zenit h A O = Osservatore x Nord Orizzonte Celeste (HC)

Coordinate Equatoriali Locali z H = angolo orario δ = declinazione PN Sfera Celeste Z O = Osservatore P O y Ovest δ H x Sud Equatore Celeste (EC) Asse z = linea dei poli PN = polo Nord N. B. – δ indipendente da posizione e istante di osservazione

Coordinate Equatoriali Assolute PN = ascensione δ = declinazione Sfera Celeste P x O δ O = Osservatore y Sud Equatore Celeste (EC) = punto vernale punto fisso intersezione dell’eclittica con Ec (quella in corrispondenza del passaggio del Sole dall’emisfero Sud a quello Nord: equinozio di primavera)

Confronto tra Sistemi di Coordinate HC Z EC O C C = Centro Terra O = Osservatore Z = zenit di O φ ET ET = equatore terrestre EC = equatore celeste HC = orizzonte celeste asse rotazione terrestre

Tempo Siderale … angolo orario del punto vernale o n a i Z id er m O N α per un generico oggetto, risulta: EC tsid. = H + α H S HC

… Tempo Siderale Terra e Sole all’equinozio di primavera Posizioni A e B sfera celeste appare identica all’osservatore: è trascorso un giorno siderale Giorno siderale dura meno di quello solare medio: A B Δt = 24 365. 2564 h = 3’ 56”. 56 N. B. – dopo 1 anno, tempo solare e siderale sono di nuovo in fase gg. (anno siderale) = gg. (anno solare) + 1

Ora siderale 4. 2

Distribuzione in Tempo Solare

Distribuzione in Tempo Siderale

“Probabilità” Poissoniane eccesso nell’intervallo di ora siderale [ 3, 5 ) è significativo ? ? • nc eventi di segnale variabile di Poisson con media nc • nf eventi di fondo variabile di Poisson con media nf quantifico il grado di confidenza nell’ipotesi di esistenza di un segnale calcolando quanto probabile risulta l’osservazione di un numero di eventi nc in presenza del solo fondo P (nf, nc) = p (μ; m) = Σn n μm e-μ m! c p (nf ; n) = 1 - nc - 1 Σ 0 n p (nf ; n) funzione di distribuzione di Poisson

Distribuzione Temporale di P(nf, nc) … Solare

… Distribuzione Temporale di P(nf, nc) Siderale

Osservazioni su P(nf, nc) 1. NON è la probabilità dell’ipotesi {H 0: assenza di segnale}, ma la probabilità che assunta H 0 si ottengano almeno nc eventi 2. ? non i valori delle variabili di Poisson con i relativi errori 3. Esempio: bin tsid. [ 3, 4 ) nf = 0. 92, nc = 4 n = 3. 08 stima di n = 3. 08 4 + 0. 92 3. 1 2. 2 (i. e. n è compatibile con 0 entro 1. 5 σ ) non è quello che ci interessa: ha a che fare con la probabilità che, fluttuando, una variabile con media nc diminuisca fino nf Siamo interessati, invece, alla probabilità che, fluttuando, una variabile Poissoniana con media nf aumenti fino nc, i. e. P (nf, nc)

Log-Likelihood (opposto del) logaritmo del prodotto delle probabilità (poissoniane) dei singoli bins della distribuzione in esame 24 L= - Σi ln p (nf (i) ; nc (i) ) 1

Distribuzione Cumulativa della Log-Likelihood … 1. Generazione di N (~ 106) distribuzioni sperimentali “simulate” ottenute estraendo per ogni bin (i = 1, 24) una variabile random poissoniana con valor medio = nf(i) nc(i) 2. Calcolo della Log-Likelihood per ciascuna di queste distribuzioni “simulate” f (L) = funzione di distribuzione della log-likelihood distribuzione della cumulativa di f (L) L d. L F (L) = Lmin f (L) Lmax L d. L min f (L)

… Distribuzione Cumulativa della Log-Likelihood 0. 718 0. 444

Significatività Statistica • P-value della cumulativa della Log-Likelihood: nell’ipotesi di solo fondo, probabilità di ottenere casualmente un valore di L del valore sperimentale Ø Solare: P = 1 – 0. 444 = 0. 556 Ø Siderale: P = 1 – 0. 718 = 0. 282 • Likelihood Ratio Test LSol. = exp (- LSol. ) LSol. LSid. = exp (- LSid. ) LSid. = exp ( LSid. - LSol. ) 7. 21 i. e. probabilità che la distribuzione sperimentale in tempo solare sia compatibile con il fondo è ~ 7 volte più grande della corrispondente probabilità per quella in tempo siderale N. B. - no info sulle probabilità assolute !!

Energia degli Eventi in tsid. [ 3, 5 )

Fit Lineare … (a, b) tali che risulti minima la somma dei quadrati dei residui Fit Lineare: ŷk = a + b xk N S= Σk ( yk – ŷk )2 1 ‹ y › ‹ x 2 › – ‹ x › ‹ x y › a= ‹ x 2 › – ‹ x › 2 N ‹ x › = N-1 Σk xk 1 ‹xy›–‹x›‹y› b= ‹ x 2 › – ‹ x › 2 N ‹ y › = N-1 N. B. Σk yk 1 - ‹ x 2 › – ‹ x › 2 = σx 2 N ‹ x y › = N-1 Σk xk yk 1

… Fit Lineare per le energie degli eventi delle 2 antenne con tsid. [ 3, 5 ), risulta: Retta: a = 7. 1722 m. K EN 7. 17 + 1. 12 EE b = 1. 1197

Distribuzione dei Residui relazione lineare tra le 2 variabili residui Δyk = yk – ŷk sono aspettati essere distribuiti random intorno all’asse Δy =0 Però con pochi punti (< 10) la distribuzione dei residui non è significativa: può emergere struttura casuale

Coefficiente di Correlazione Lineare Covarianza di 2 variabili random: 1 cov (x, y) = N N Σk ( xk - ‹ x › ) ( yk - ‹ y › ) 1 = ‹ x y › - ‹ x › ‹ y › = b σx 2 ρ= N. B. cov (x, y) σx σy σx = b σ y coefficiente di correlazione - si dimostra che | ρ | 1 (EE , EN) coefficiente di correlazione campionario: R = 0. 9651

Verifica di Ipotesi Statistiche Procedura mediante la quale, a partire dal campione osservato, si decide di rifiutare (non rifiutare) un’ipotesi statistica H 0 (ipotesi nulla) riferita alla popolazione Ø definizione di una statistica, i. e. v. c. S : (X 1, …, Xn) R Ø identificazione di una regione critica Ω 0 nell’insieme dei possibili valori s assunti da S al variare del campione Decisione s Ω 0 H 0 è rifiutata s Ω 0 H 0 è accettata rispettando il vincolo: P ( s Ω 0 | H 0 ) = α livello di significatività

Test d’Ipotesi su R R è compatibile con l’ipotesi { H 0 : ρ = 0 } ? Assunzione : coppia di v. c. normali Statistica test (Fisher) S = R ½ (N – 2) ~ T(N – 2) 2 ½ (1 – R ) Student con N - 2 g. d. l. | S | t (α / 2; N - 2) α = 0. 05 N=7 R = 0. 9651 t (0. 025; 5) = 2. 57 S = 8. 24 rifiuto H 0 ipotesi d’indipendenza delle 2 variabili è da rifiutare

Test “distribution-free” … Caso generale: (EE , EN) non è v. c. normale bivariata accoppiamento casuale di tutti gli eventi dei 2 rivelatori 17090 coincidenze gruppi da 7 eventi per ciascuno dei quali si calcola R R

… Test “distribution-free” Distribuzione cumulativa di R 0. 9944 F (R) Il valore sperimentale R = 0. 9651 viene superato solo nello 0. 56 % dei casi 0. 9651 R la correlazione osservata dei 7 eventi è molto poco compatibile con l’ipotesi che essi appartengano all’insieme delle coincidenze accidentali

Conclusioni … v Osservato un eccesso di coincidenze nell’intervallo di ora siderale [3, 5), proprio quando il piano di max. sensibilità dei rivelatori è || al disco galattico (per sorgenti concentrate nel centro galattico avremmo dovuto trovare anche un eccesso all’ora siderale 13. 6) v Si tratta di nc – nf ~ 6 coincidenze in 5 giorni (2 ore siderali su 24, in un totale di ~ 60 giorni). In termini di conversione d’energia abbiamo ~ 1 ev. /g con un energia di ~ 100 m. K burst con h ~ 2 x 10 -18 conversione in O. G. di ~ 4 x 10 -3 M o· con sorgenti localizzate ad una distanza di 8 kpc rate osservata » di quella prevista da qualunque modello teorico per le sorgenti galattiche di O. G. , ma non in contrasto con gli attuali modelli di formazione ed evoluzione della Galassia

… Conclusioni v La significatività statistica di tale eccesso non consente di fare affermazioni conclusive circa la natura dei segnali osservati, anche se riteniamo (cfr. la correlazione in energia) improbabile che esso sia dovuto a fluttuazioni di rumore v Sebbene gli eventi non siano dovuti a sciami di raggi cosmici, non possiamo completamente escludere la possibilità che essi siano associati a qualche altro (ancora ignoto) fenomeno esotico … occorre continuare a raccogliere dati e migliorare le prestazioni dei rivelatori (i. e. SNR)