ALJABAR VEKTOR MATRIKS Vector Analysis Matrices Pendahuluan Pada

ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices Pendahuluan Ø Pada Fisika : a. Besaran Vektor. b. Besaran Skalar Ø Besaran : sesuatu yg dapat diukur dan besarnya dinyatakan dengan angka * Definisi besaran Vektor : suatu besaran yg besarnya dapat diukur (mempunyai nilai) dan mempunyai arah Contoh : kecepatan, gaya, dsb * Definisi besaran Skalar : suatu besaran yg besarnya dapat diukur tapi tidak mempunyai arah Contoh : massa, panjang, dsb. . .

BAB 1. VEKTOR dan SKALAR ØOperasi 2 penjumlahan, pengurangan dan perkalian yg lazim. . dalam aljabar bilangan, dengan definisi yg sama, dapat diperluas kedalam aljabar Vektor Ø Definisi dasar Aljabar Vektor 1. Dua buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan arah yg sama, tanpa memperhatikan titik awalnya, A = B 2. Sebuah vektor yg arahnya berlawanan dengan vektor A tapi memiliki besar yg sama dinyatakan oleh – A 3. Jumlah (resultan) dari dua vektor, A dan B adalah vektor C yg dibentuk dengan menempatkan titik awal B pada titik terminal A, lalu menghubungkan titik awal A ke terminal B, C=A+B 4. Selisih vektor A dan B, yg dinyatakan oleh A – B adalah C. . .

yg bila ditambahkan B menghasilkan vektor A. C=A–B = A + (-B) Bila A = B, maka A – B = 0 sebagai vektor nol. 5. Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah vektor m. A yg besarnya |m| kali besarnya A dan memiliki arah yg sama atau berlawanan A, bergantung pada apakah m positif /negatif. Bila m = 0 maka m. A adalah vektor nol. . . .

Hukum-hukum Aljabar Vektor Bila A, B dan C adalah vektor 2, m dan n adalah skalar 2, maka : 1. A + B = B + A ⇨ hukum Komutatif penjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukum Asosiatif penjumlahan 3. m. A = Am ⇨ hukum Komutatif perkalian 4. m(n. A) = (mn)A ⇨ hukum Asosiatif perkalian 5. (m + n)A = m. A + n. A ⇨ hukum Distributif 6. m(A + B) = m. A + m. B ⇨ hukum Distributif

VEKTOR SATUAN *

Contoh soal *

* Jawaban contoh soal *

Jawaban contoh soal *

* Jawaban contoh soal U Secara grafis : 30 o . - pada ttk terminal A tempatkan A . 45 o . . D=A+B+C B . B T . D . . ttk pangkal B C S - pada ttk B tempatkan ttk pang kal C - resultan D dibentik dengan menghubungkan ttk pangkal. A dengan ttk terminal C, jadi D = A+B+C Secara grafis, resultan mempunyai besar 4, 5 satuan, jadi resultan D = 22, 5 m dengan arah 60 o disebelah selatan dari timur.

Latihan soal/PR *

BAB 2. VEKTOR 2 SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k - Himpunan vektor 2 satuan penting adalah yg arahnya menurut sumbu 2 x, y dan z positif sistem koordinat tegak-lurus ruang 3 -dimensi, dinyatakan oleh i, j dan k. . . z C k A 0 i x j y B A

1. Vektor 2 Satuan Tegak-lurus. i, j, k - Umumnya menggunakan sistem koordinat tegak-lurus aturan tangan kanan, kecuali ada pernyataan lain. - Sistem ini dianalogikan dengan sebuah sekrup berulir kanan yg diputar 90 o dari Ox ke Oy akan maju dalam arah sb z pos. - Bila tiga buah vektor A, B dan C yg titik pangkalnya berhimpit dan tak koplanar(tidak terletak pada atau sejajar bidang yg sama)dikatakan membentuk sebuah sistem tangan kanan atau sistem dekstral. Analogi dengan sebuah sekrup (baut) berulir kanan yg diputar dengan sudut kurang dari 180 o dari A ke B maka akan menuju arah C. . . .

2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR *

3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR Ø Bila pada tiap 2 titik (x, y, z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan sebuah skalar(bilangan) φ(x, y, z) maka φ disebut fungsi titik skalar (scalar point function), ⇨ medan skalar Contoh : 1. Temperatur dalam laboratorium komputer 2. φ(x, y, z) = x 3 y 2 + y 2 z– xz 2. Ø Jika pada tiap 2 titik (x, y, z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan dengan sebuah vektor V(x, y, z) maka V disebut fungsi titik vektor (vector point function) dan dikatakan sebuah medan vektor telah didefinisikan dalam R. Contoh : 1. Kecepatan fluida yg bergerak dalam pipa 2. V(x, y, z) = xy 2 i + 3 yz 2 j – 2 x 2 z 2 k - Medan vektor stationer atau keadaan steady state adalah sebuah medan vektor yg tidak bergantung waktu. .

4. Contoh soal *

Contoh soal – lanjutan a. (0, 0, 0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ?

Jawaban contoh soal *

Jawaban contoh soal – lanjutan *

Jawaban contoh soal – lanjutan 5. φ(x, y, z) = 3 x 2 y – xy 3 + 5 z 2 φ(0, 0, 0) = 0 φ(1, 2, -2) = 3(1)2(2) – (1)(2)3 + 5(-2)2 = 6 - 8 + 20 = 18 φ(1, 1, -2) = 3(1)2(1) – (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 – 1 + 20 = 22. φ(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 – 8 + 45 = = 31

5. Soal Latihan/PR 1. Diketahui beberapa koordinat vektor 2 : A pada (4, 3), B pada( 2, -8), C(x, 3) dan D(3, y). Tentukan nilai x dan y bila : a. AB = CD b. AB = DC ? . . 2. Koordinat vektor K(3, -5, 4) dan vektor KL = 2 i – 3 j + 5 k Hitunglah koordinat L ? . 3. Diberikan beberapa vektor : R = 2 i – 2 j + k, S = 4 i – 4 j + 2 k dan T = 6 i -2 j + 3 k. Tentukan : a. | R | + | S | + | T | b. | R + S + T | c. | 3 R - 2 S - T |. . 4. Tentukan sebuah vektor satuan yg sejajar resultan dari vektor-vektor A = 5 i + 4 j + 2 k dan B = 3 i + 2 j + k ? 5. Sebuah beban 50 kg digantungkan pada pertengahan sebuah tali seperti pada gambar di bawah. Tentukan tegangan T pada tali ? . . .

Soal Latihan/PR – lanjutan . T 1 T 2 600 . 50 kg .

BAB 3. HASIL-KALI TITIK DAN HASIL-KALI SILANG Pendahuluan - Pada vektor terdapat dua perkalian, perkalian skalar dan perkalian vektor - Perkalian skalar dua vektor dinamakan hasil-kali titik(skalar) - Perkalian vektor dua vektor disebut hasil-kali silang (vektor) - Hukum-hukum yg berlaku pada kedua perkalian itu ; hasilkali titik dan hasil-kali silang

1. Hasil-kali Titik (Skalar) *

Hasil-kali Titik (Skalar) – lanjutan 4. Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor atau hukum-hukum pada hasil-kali titik : 1. A · B = B · A Hukum Komutatif 2. A · (B + C) = A · B + A · C Hukum Distributif 3. m (A · B) = (m. A) · B = A · (m. B) = (A ·B)m 4. i · i = j · j = k · k = 1 i·j=j·k=k·i=0 5. A · A = | A |2 6. Bila : A = A 1 i + A 2 j + A 3 k dan B = B 1 i + B 2 j + B 3 k, maka A · B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 A · A = | A |2 = A 12 + A 22 + A 32 B · B = | B |2 = B 12 + B 22 + B 32. .

2. Hasil-kali Silang (Vektor) – cross product . . . . 1). Hasil-kali silang (vektor) dari dua vektor A dan B adalah sebuah vektor C = A x B. Besar A x B didefinisikan sebaga hasil-kali antara besarnya A dan B serta sinus sudur θ antara keduanya. Arah vektor C = A x B tegak lurus pada bidang yg memuat A dan B sedemikian rupa sehingga A, B dan C membentuk sistem tangan kanan. A x B = | A | | B | sin θ u , dimana 0 �θ ⩽ �� dan - u adalah vektor satuan yg menunjukkan arah dari A x B - bila A = B atau A sejajar B maka sin θ = 0 dan didefinisikan A x B = 0

2). Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali silang *

Contoh Soal Hasil-kali Titik *

Jawaban contoh Soal Hasil-kali Titik *

1 a. i · (3 i – 2 j – k) = b. (2 i – j) · (i + 2 j) c. k · k = d. i. [ (i – 3 j – k). (3 i – 2 j + 3 k)] =. . . 2. Bila P = P 1 i + P 2 j + P 3 k dan Q = Q 1 i + Q 2 j + Q 3 k maka buktikan P. Q = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 + P 3 Q 3 ? . 3. Tentukan sudut antara vektor 2 K = 2 i + 2 j – k dan L = 6 i – 3 j - 2 k ? . 4. Tentukan proyeksi vektor A = i – 2 j + k dan B = -4 i – 4 j +7 k

1. Tentukan hasilnya : a. i x j = b. j x k = e. j x j = c. k x i = f. k x j = d. 2 i x 3 k = g. (2 i) x (-3 k). . . h. i x k = i. i x i = j. 2 j x i – 3 k = 2. Bila P = 2 i – 3 j – k dan Q = i + 4 j - 2 k, maka tentukan a. P x Q = b Qx. P= c. (P + Q) x (P – Q) = 3. Jika K = 3 i – 2 j + 2 k, L = 2 i + j – k dan M = i – 2 j + 2 k carilah : a. (A x B) x C b. A x (B x C) ? .