ALJABAR MATRIKS pertemuan 4 Oleh L 1153 Halim

ALJABAR MATRIKS pertemuan 4 Oleh : L 1153 Halim Agung, S. Kom

Vektor Definisi Vektor adalah suatu potongan garis yang mempunyai arah. Kita dapat menggambarkan suatu vektor dengan memberi tanda panah pada titik ujungnya. Sedangkan untuk menuliskannya kita dapat memakai salah satu notasi.

Vektor Operasi-Operasi Pada Vektor. a. Penjumlahan Vektor. Misalkan kita hendak menjumlahkan vektor a dan b, kita mengenal dua metode, yaitu : a. Metode Jajaran Genjang a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh a dan b , setelah titik awal di tempatkan berimpit b. ujung Metode Segitiga. a + b diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada vektor yang lainnya

Vektor Operasi-Operasi Pada Vektor. b. Perkalian skalar. Jika λ suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor maka perkalian skalar λa menghasilkan suatu vektor yang panjangnya │λ│kali panjang a. dan arahnya sama dengan a.

Susunan koordinat ruang n (Rn) a. Ruang Berdimensi Satu Setiap bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu garis lurus yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang berdimensi satu. b. Ruang Berdimensi Dua (R 2) Setiap pasangan bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat didalam ruang berdimensi dua.

Susunan koordinat ruang n (Rn) c. Ruang Berdimensi Tiga Setiap tripel bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik didalam ruang berdimensi tiga (R 3), dengan membentuk suatu susunan koordinat, yaitu mengambil tiga garis lurus (tidak sebidang) yang berpotongan dititik awal 0. Masing-masing garis disebut sumbu koordinat. Contoh : gambar titik A (2, 3, 1) ∈ R 3

Vektor didalam ruang n (Rn) Untuk Rn berlaku : a. Vektor posisi dari titik A(a 1, a 2, a 3, …, an). adalah OA=( a 1, a 2, a 3, …, an). b. Vektor bertitik awal di P(p 1, p 2, p 3, …, pn) dan bertitik ujung di Q(q 1, q 2, q 3, …, qn). adalah PQ =( q 1 -p 1, q 2 -p 2, q 3 -p 3, …qn-pn). c. Panjang vektor a = (a 1, a 2, a 3, …, an). adalah dan panjang PQ adalah

Vektor didalam ruang n (Rn) d. Vektor-vektor satuan dari susunan koordinat adalah e 1=(1, 0, . . . , 1), e 2 = (0, 1, …, 0, ) … , en = (0, 0, …, 1). e. Penjumlahan vektor a=( a 1, a 2, …, an) b=( b 1, b 2, …, bn). a + b = ((a 1+b 1), (a 2+b 2), (a 3+b 3), …, (an+bn)). f. Perkalian vektor a = (a 1, a 2, a 3, …, an) dengan skalar λ berlaku λa = λ(a 1, a 2, a 3, …, an) atau λa = λa 1, λa 2, λa 3, …, λan. Contoh : a = (2, -1, 3, 1) dan b = (3, 4, -2, 5) є R 4. a + b = (2+3, -1+4, 3+(-2), 1+5). a + b = (5, 3, 1, 6). 3 a– 2 b=(3. 2, 3(-1), 3. 3, 3. 1) – (2. 3, 2. 4, 2(-2), 2. 5) = (0, -11, 13, -7)

Latihan 1. Jika a = [1, 0, 2]T , b = [-1, 2, 0]T , hitunglah (a – b)/2 2. Tentukan panjang vektor a dari soal no 1 3. Tentukan panjang vektor b dari soal no 1 4. Tentukan jarak ab dari soal no 1

Dalil pada operasi vektor Beberapa dalil pada operasi vektor Untuk setiap vektor a=( a 1, a 2, …, an), b=( b 1, b 2, …, bn), c = (c 1, c 2, …, cn) є Rn dan λβ adalah skalar berlaku. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. a + b = b + a (Komutatif). (a + b) + a = a + (b + c) (Assosiatif). λ (a + b) = λa + λb (Distributif). a + 0 = a. a + (-a) = 0. (λβ)a = λ(βa) = βλa. (λ + β) a = λa + βa.

Dot produk Definisi: Dot matriks dari a dan b, ditulis a. b adalah suatu skalar Misal vektor a dan b ≠ 0. Proyeksi a dan b adalah potongan garis A’B’ = AC Dimana (a. b) = a 1. b 1 + a 2. b 2 + a 3. b 3 + … + an. bn.

Dot produk Contoh : Diketahui vektor a = (2, 1, 3, -1) dan b = (1, 2, 1, 1) є Rn. Tentukanlah : a. │a│, │b│, │ab│ b. Besar sudut antara a dan b. c. Proyeksi a pada b. Jawab :

Latihan Contoh : Diketahui vektor a = (1, 2, 0, -1) dan b = (1, 0, 1, 1) є Rn. Tentukanlah : a. │a│, │b│, │ab│ b. Besar sudut antara a dan b. c. Proyeksi a pada b.

Persamaan garis lurus pada bidang rata Suatu garis lurus akan tertentu jika diketahui 2 titik pada garis tersebut. Pandang R 3. Misal titik A(a 1, a 2, a 3, ) dan B(a 1, a 2, a 3) terletak pada garis lurus gs Maka OA = (a 1, a 2, a 3), OB = (b 1, b 2, b 3) dan AB = (b 1 -a 1, b 2 -a 2, b 3 -a 3). Untuk setiap titik sebarang x(x 1, x 2, x 3). Pada gs berlaku Ax =λAB (-∞<λ <∞). OX = OA + λAB (x 1, x 2, x 3, ) = (a 1, a 2, a 3) + λ (b 1 -a 1, b 2 -a 2, b 3 -a 3)

Secara Umum Untuk Ruang n (Rn). 1. Persamaan Vektoris Garis Lurus. A = (a 1, a 2, …, an) B = (b 1, b 2, …, bn). (x 1, x 2, …, xn) = (a 1, a 2, …, an) + λ(b 1 -a 1, b 2 -a 2, . . , bn-an). 2. Persamaan Parameter. x 1 = a 1 + λ(b 1 -a 1). x 2 = a 2 + λ(b 2 -a 2). x 3 = a 3 + λ(b 3 -a 3). ……… xn = an+ λ(bn-an). 3. Persamaan Linier

Secara Umum Untuk Ruang n (Rn). Contoh : Persamaan garis melalui titik a=(2, 1, 3, -1) dan b=(3, 4, -1, 2)єR 4. Tentukanlah : a. Persamaan vektor garis lurus. b. Persamaan parameter. c. Persamaan linier. Jawaban : a. (x 1, x 2, x 3, …, xn ) = (2, 1, 3, -1) + λ(1, 3, -4, 3) b. x 1 = 2 + λ x 2 = 1 + 3λ x 3 = 3 - 4λ x 4 = -1 + 3λ c.

Review 1. Tentukan nilai p dan q yang memenuhi det A = det B 2. Cari nilai p yang memenuhi D = 30 3. selesaikan SPL dengan eliminasi gauss 3 x + y – 2 z = 7 5 x – 2 y – 3 z = 4 2 x + 2 y + 3 z = 3