ALJABAR LINIER MATRIKS VEKTOR Menghitung Besar Vektor Hasil
ALJABAR LINIER & MATRIKS VEKTOR
Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Bila Diketahui Sudutnya v θ u+v u u-v v θ u
Perkalian Vektor dengan Skalar
Definisi • Untuk sembarang vektor a dengan α, maka: – – panjang αa = | α |. |a| jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0 • Untuk vektor a dalam koordinat kartesian jika a = [a 1, a 2, a 3] maka αa = [αa 1, αa 2, αa 3]
Sifat Perkalian skalar & vektor αa = aα Komutatif α( ka ) = ( αk )a Asosiatif α ( a+b ) = αa + αb Distributif (α+k) a = αa + ka Distributif 1. a=a Elemen Netral 0. a=0 Elemen Central (-1) a = -a Elemen Invers
Ruang Vektor • Merupakan himpunan elemen vektor yang terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group • Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan - distributif operasi 1 terhadap operasi 2 - distributif operasi 2 terhadap operasi 1 - assosiatif
Kombinasi linear • Untuk sembarang vektor a 1, … , am didalam ruang vektor v , maka ungkapan: α 1 a 1 + α 2 a 2 + … + αm a m α 1, … , αm skalar sembarang disebut sebagai “Kombinasi Linear”
Ketergantungan Linear • Jika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol dan berlaku hanya untuk αi = 0 (i=1, 2, …, m), maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bebas linear’ • Jika sekurang-kurangnya terdapat satu α 1=0, dimana kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol, maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bergantungan linear’ α 1 a 1 + α 2 a 2 + … + αm a m = 0 • Berlaku untuk α 1 = α 2 = … = αm = 0 (vektor-vektor bebas linear) terdapat minimal satu α 1≠ 0 (vektor-vektor tidak bebas linear)
Perkalian Titik (Dot Product)
Visualisasi • Vektor-vektor diposisikan sehingga titik pangkalnya berimpitan • Memiliki sudut antara dua vektor
Rumus • Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u. v adalah: u. v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 u. v = 0 jika u = 0 atau v = 0
Rumus n Dalam bentuk komponen vektor, n Dalam vektor 3 dimensi; n bila a = [a 1, a 2, a 3] dan b = [b 1, b 2, b 3], maka : a. b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
Formulasi Khusus
Sifat Dot Product • Untuk setiap vektor sebarang a, b, c dan skalar α 1, α 2 berlaku:
Orthogonalitas dua vektor • Teorema – Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus • Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a • b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. • Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. • Untuk vektor bukan-nol – a • b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90 o = π/2
Rumus • Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :
Hasil Dot Product bisa digunakan untuk memperoleh informasi mengenai sudut antara 2 vektor. • Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka : lancip; tumpul ; jika dan hanya jika u. v>0 jika dan hanya jika u. v<0 = /2; jika dan hanya jika u. v=0
Contoh Soal Jika diketahui vektor a = [1, 2, 0], b=[3, -2, 1]. Tentukanlah: - panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a dan b, - sudut vektor c = a + b terhadap sumbu x
Summary Dot Product • Perkalian vektor dengan skalar merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya. • vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis • Rumus untuk dot product u. v = |u||v| cos Ø u. v = 0 jika u ≠ 0 dan v ≠ 0 jika u = 0 atau v = 0 • Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar
Perkalian Cross (CROSS PRODUCT)
Cross Product • Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor • Hasil Dot Product dua buah vektor menghasilkan skalar • Hasil Cross Product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.
Cross Product • Rumus Umum v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol
Cross Product • Jika u = (u 1, u 2, u 3) dan v = (v 1, v 2, v 3) adalah vektor dalam ruang berdimensi 3, • maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai u x v =(u 2 v 3 - u 3 v 2 , u 3 v 1 - u 1 v 3 , u 1 v 2 - u 2 v 1 ) • atau dalam notasi determinan :
Sifat Cross Product • Jika u, v dan w adalah sebarang vektor dalam ruang berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka : uxv = -(v x u) u x (v+w) =(u x v) + (u x w) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) ux 0 =0 xu =0 uxu =0
Hubungan Dot Product dan Cross Product • Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3, maka : u. (u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap u. v. (u x v) = 0 u x v ortogonal terhadap v. |u x v|2=|u|2|v|2 – (u. v)2 u x (v x w) = (u. w)v – (u. v)w (u x v) x w = (u. w)v – (v. w)u
Contoh Soal • Diketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1), hitunglah u x v !
Contoh Soal Jawab: uxv = =
Scalar Triple Product
Sifat Hasil Kali Triple Scalar
Latihan 1. Diketahui a = (2, 1, -3) , b = (3, 1, 1), c = (0, 2, -2). Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) : a. a x (b - 2 c) c. a x b x c b. a·b x c 2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bila a. u = (-1, 2, -3) dan v = (0, 2, 4) b. u = (4, -2, 1) dan v = (0, 2, -1). 3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya. a. A ( 1, 2, 3 ), B ( -1, 2, -3 ) dan C ( 0, 3, 1 ) b. A ( 0, 4, -3 ) , B ( -2, 3, 0 ) dan C ( 4, 1, 1 )
- Slides: 30