ALJABAR LINIER MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Apa beda
ALJABAR LINIER & MATRIKS VEKTOR
Definisi Vektor Apa beda vektor dengan skalar? • Skalar : besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya memiliki nilai contoh: panjang meja=20 cm, luas, volume dsb • Vektor: besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang pertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arah contoh: gaya=10 N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah barat
Deklarasi Vektor • Karena titik pangkkal P dan titik ujung Q maka vektor disebut sebagai vektor. Panjang vektor ini dilambangkan dengan │PQ │. • Simbol vektor: Vektor a; – huruf kecil simbol: a atau a – huruf kecil, tebal, ada tanda diatasnya • Gambar vektor: – vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah sebagai arah. a P Q
Komponen Vektor • Komponen vektor: vektor 2 dimensi : a (1, 2) 1 dan 2 merupakan komponen vektor a merupakan nama vektor 1 merepresentasikan nilai pada sumbu x (horisontal) 2 merepresentasikan nilai pada sumbu y (vertikal) vektor 3 dimensi : a (1, 2, 3) • Panjang vektor: suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan dengan |a|. Vektor a(a 1, a 2), maka
Visualisasi Vektor • 2 vektor dikatakan sama, jika panjang dan arahnya sama Vektor a dan b dikatakan sama, sebab 1. Arah kedua vektor sama 2. |a| = |b| Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab 1. Arah kedua vektor tidak sama 2. Meskipun, |a| = |b| Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab 1. Meskipun, Arah kedua vektor sama 2. |a| != |b|
• Vektor dalam sistem koordinat kartesian diantaranya: 1. Koordinat kartesian dua dimensi a=(a 1, a 2) dalam vektor a terdapat dua komponen vektor, 2. Koordinat kartesian tiga dimensi b=(b 1, b 2, b 3) dalam vektor b terdapat tiga komponen vektor
Penggambaran Vektor 2 Dimensi 1. Gambar vektor m (3, -2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0, 0)! y m (3, -2) -2 3 x
Penggambaran Vektor 2 Dimensi 2. Vektor yang titik pangkalnya di A (x 1, y 1) dan titik ujungnya di B (x 2, y 2) dapat dituliskan dalam bentuk komponen : – Dilukiskan sebagai : y B (x 2, y 2) A (x 1, y 1) x
Penggambaran Vektor 2 Dimensi Gambar vektor p yang berarah ke titik A (3, 2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal di titik B (1, -2)! Langkah: 1. Cari titik pangkal 2. Cari titik ujung 3. Tarik garis vektor antara pangkal dan ujung y 2 p 1 -2 pangkal 3 x
Contoh Vektor 2 Dimensi vektor m (3, -2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0, 0)! - mx adalah panjang vektor terhadap sumbu x = 3 - my adalah panjang vektor terhadap sumbu y = 2 y m (3, -2) -2 3 x Sehingga untuk mencari panjang vektor m, digunakan rumus pytagoras : -
Penggambaran Vektor 3 Dimensi Gambar vektor p yang berarah ke titik A (2, 2, 2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal di titik (0, 0, 0)! z Langkah: 1. Cari titik pangkal 2. Cari titik ujung 3. Tarik garis vektor antara pangkal dan ujung 2 p 1 2 x 2 y
Panjang Vektor • Panjang vektor a yang berpangkal pada (0, 0) didefinisikan sebagai • Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti a 1=a 2=0 • Contoh : – Cari panjang vektor a (5, -3) !
Panjang Vektor • Panjang vektor a jika pangkalnya di titik A(x 1, y 1, z 1) yang berarah ke titik B(x 2, y 2, z 2) didefinisikan sebagai
Contoh 1 Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0, 3, 5), B(2, 4, 6) dan C(4, 3, 1). Tentukan: • Vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B • Vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C • Vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C • Keliling segitiga ABC
Penyelesaian Contoh 1 • Vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka p = AB = (2 -0, 4 -3, 6 -5) = (2, 1, 1). Panjang vektor p adalah │p│= • vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka q = BC =(4 -2, 3 -4, 1 -6)=(2, -1, -5) • Panjang vektor q adalah │q│=
Penyelesaian Contoh 1 • vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka r = AC =(4 -0, 3 -3, 1 -5)=(4, 0, -4) Panjang vektor r adalah │r│= = • keliling segitiga ABC adalah │p│+│q│+│r│=
Latihan 1 1. Gambarkan dalam satu koordinat, vektor-vektor berikut : vektor s berarah ke titik (5, -4) dengan titik pangkal (0, 0) vektor g berarah ke titik(2, 1) dengan titik pangkal (-3, -2) vektor j berarah ke titik(-3, 2) dengan titik pangkal (5, -2) 2. Cari panjang dari masing-masing vektor yang ada pada soal no 1 dan panjang vektor m berarah ke titik (3, 2, 1) dengan titik pangkal (1, 2, 1) panjang vektor b berarah ke titik (3, -2, -1) dengan titik pangkal (-1, 1, -3)
ALJABAR VEKTOR
Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor 1. Cara Segitiga Jumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b. Jika a adalah sebarang vektor bukan nol, maka –a adalah invers aditif a yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. a b c=a+b b a a c=a-b -b
Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor 2. Cara Jajaran Genjang Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir. a a b b a c=a-b c=a+b -b
Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor • Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :
Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor • Vektor nol ditulis 0 • Vektor nol disebut elemen identitas a+0=0+a=a • Jika a adalah sebarang vektor bukan nol, maka –a adalah invers aditif a yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. a – a = a + (-a) = 0
Penjumlahan & Pengurangan Vektor
Sifat Penjumlahan Vektor a+b=b+a Komutatif (a + b ) + c = a + (b + c) Asosiatif a+0=0+a=a Elemen Netral a + (-a) = a – a = 0 Elemen Invers
Contoh 2 • Diketahui vektor a dan b di R 2 (2 dimensi). Jika │a│= 5 , │b│=7, │a + b│= tentukan │a - b│!
Penyelesaian Contoh 2 • Dari │a│= 5, didapat • Dari │b│=7, didapat • Dari │a + b│= , didapat • Subtitusi pers. (i), (ii) ke (iii) . . . (i). . . (ii)
Penyelesaian Contoh 2 • Subtitusikan pers (i), (ii) ke pers (iv)
Latihan 2 1. Tentukan komponen-komponen vektor v dengan titik awal P(x 1, y 1, z 1) dan titik ujung Q(x 2, y 2, z 2). Tentukan |v| dan gambarkan grafik v. a. P(2, -2, 3), Q(-2, 3, 12) b. P 90, 2, 00, Q(3, 0, -7) c. P(4, -1, 2), Q(0, 0, 0) 2. Tentukan titik ujung vektor v(v 1, v 2, v 3) yang diberikan jika titik pangkalnya adalah titik P serta tentukan panjang vektor tersebut: a. v(2, 3, 0), P(4, 9, 0) b. v(12, -15, -4), P(0, 0, 3) c. v(4, 4, 4), P(4, 4, 4) 3. Diketahui vektor a(3, 0, 2), b(2, 2, -1) dan c(1, -2, 3). Tentukan hasil dari ekspresi-ekspresi berikut: a. b + c – a b. |b – c| c. |b| - |c|
Summary • Arah vektor dilihat dari tanda didepan nama vektor, sehingga: v + (-v) = 0 • Elemen-elemen vektor merupakan panjang vektor untuk basis koordinat tertentu • Metode yang digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan vektor adalah sama • Pangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat koordinat (0, 0, 0)
- Slides: 29