ALJABAR LINIER Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer Dosen

ALJABAR LINIER Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer Dosen pengampu : novi elfira S. Pd

Kelompok VIII • Irwan Puja Kesuma • Feni Ariza Anugrah • Puji Astuti

Dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan : B= Andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua : Det(B) = b 21 C 21 + b 22 C 22 + b 23 C 21 Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3) Det(B) = 33 = - M 21 = - C 22 = M 22 = 3 C 23 = - M 23 = - 3 Atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : Det(B) = b 13 C 13 + b 23 C 23 + b 33 C 13 = M 13 = 2 Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7) C 23 = - M 23 = - 3 Det(B) = 33 C 33 = M 33 = 7 =9

Strategi menghitung determinan : 1. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor). 2. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana. 3. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol. 4. Ulangai langkah 1, dan seterusnya.

Hitung determinan dari : E = Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua : |E| = K 2 + K 1 K 3 – K 1 |E| = e 21 C 21 + e 22 C 22 + e 23 C 23 |E| = e 21 C 21 + 0 |E| = (1) (-24) = - 24 C 21 = - M 21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24

Berapakah determinan dari F = Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : |F| = B 3 + B 1 Det(F) = f 11 C 11 = (1) (6) = 6

Berapakah determinan dari G = Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : Det(G) = B 2 + B 1 B 3+B 1 B 3 – B 2 Det(G) = g 13 C 13 = g 13 M 13 = (-1) Det(G) = (-1) g 21 C 21 = (-1) g 21 (- M 21) = g 21 M 21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)} Det(G) = (3) (15) = 45.

Matriks kofaktor : Matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks. A= C 11 = M 11 = -5 C 12 = - M 12 = - 4 Jadi matriks kofaktor dari A adalah : K = Matriks adjoint : Transpose dari matriks kofaktor. Adj (A) = KT = = C 21 = - M 21 = - 2 C 22 = M 22 = 3 =

Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A A= C 11 = M 11 = 2 C 21 = -M 21 = 4 C 31 = M 31 = -1 C 12 = -M 12 = - 5 C 22 = M 22 = -1 C 32 = -M 32 = 7 C 13 = M 13 = - 1 C 23 = -M 23 = -2 C 33 = M 33 = 5 = (a) adj(A) = KT = = (b) Det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 c 13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9 A adj(A) = ? = = 9 = |A| I

Adj(A) A = ? = = 9 Sifat : 1. A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2. adj(AB) = adj(B) adj(A) = |A| I

Aturan Cramer Jika determinan D = det X dari sebuah sistem n buah persamaan linier. a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . + a 2 nxn = b 2 an 1 x 1 + an 2 x 2 +. . + annxn = bn Syarat untuk mempunyai suatu penyelesaian tunggal, tidak ada penyelesaian dan mempunyai banyak terhingga penyelesaian ditentukan dengan nilai det (A) seperti pada sistem persamaan dengan 2 variabel.

Nilai variabel x = det(Ax) / det (A), y = det(Ay)/det(A) , z = det(Az)/det(A) Teorema-teorema yang harus diperhatikan dalam penggunaan aturan Cramer : • jika A adalah sebuah matriks bujursangkar yang mengandung paling sedikit satu baris bilangan no, maka det(A) = 0 • jika A adalah sebuah matriks segitiga yang berukuran n x n maka determinan A adalah ahsil perkalian semua unsur pada kolom utama • jika sebuah matriks bujursangkar mempunyai dua baris yang sebanding maka nilai determinan matriks tersebut sama dengan nol.

Penggunaan aturan Cramer pada persamaan di bawah ini : x+y+z=0(I) 2 x+5 y+3 z=1(II) -x+2 y+z=2(III) = Det (A) 3

Hasil Akhir Dengan demikian x = -1; y = 0; z = 1