Aljabar Linear Pertemuan 11 Matrik III dan Determinan

Aljabar Linear Pertemuan 11 Matrik III dan Determinan Erna Sri Hartatik

Sub Bahasan Determinan • Reduksi baris • Perluasan kofaktor Eigen value dan eigen vektor

Reduksi baris • Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

Contoh: Hitung det(A) dimana A = Baris I ditukar dengan baris II ( H 21), sehingga menjadi = - 3 H 31(-2) = - 3 = (-3) (-55) (1) = 165 H 32(-10)

Minor & Perluasan Kofaktor •

• Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan : Misalnya C 11 = M 11, C 21 = -M 21 , C 44 = M 44, C 23 = -M 23

Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan elemen – elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1 i n dan 1 j n , maka det(A) = a 1 j. C 1 j + a 2 j. C 2 j + … + anj. Cnj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j) Dan det(A) = ai 1 Ci 1 + ai 2 Ci 2 + … + ain. Cin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

Contoh: Hitung Det(A) bila A = Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama = 3 - 1 = (3)(-4) – (1)(-11) = -12 + 11 = -1 + 0

Eigen value & Eigen vektor Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu, Ax = x Untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Vektor x = adalah vektor eigen dari A = Yang bersesuaian dengan nilai = 3 karena Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya kembali Ax = x sebagai Ax = Ix ( I – A)x = 0 Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika det( I – A)=0 persamaan karakteristik A.

Contoh Carilah nilai – nilai eigen dari A = Jawab : Karena I – A = Det( I – A) - = = ( -3) - (-2) = 0 = 2 - 3 + 2 = 0 1 = 2, 2 = 1 Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1

latihan 1. Tentukan niai invers dengan menggunakan reduksi baris dari A = 2. Tentukan niai invers dengan menggunakan perluasan kofaktor kemudian tentukan nilai eigennya A =