Aljabar Linear Elementer ALE Oleh Choirudin M Pd

Aljabar Linear Elementer (ALE) Oleh: Choirudin, M. Pd

Matriks Definisi: Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh:

Matriks (Lanjutan) Bentuk umum suatu matriks: Elemen kolom ke-1 = Elemen baris ke-1 =

Matriks (Lanjutan) aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m n. Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan banyaknya kolom disebut matriks persegi. Contoh: Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.

Matriks (Lanjutan) � Kesamaan Dua Matriks Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama. � Jumlah Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemen yang seletak dijumlahkan: Contoh:

Matriks (Lanjutan) � Hasil Kali Matriks dengan Skalar Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemennya dikalikan dengan k. � Hasil Kali 2 Matriks Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah matriks r n maka hasil kali A B adalah matriks mxn yang elemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.

Matriks (Lanjutan) Contoh: 2 3 3 4 (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26 2 4

Sifat – sifat Matriks Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasi-operasi berikut terdefinisi maka berlaku: 1. A+B = B+A (H. Komutatif Penjumlahan) 2. A+(B+C) = (A+B)+C (H. Asosiatif Penjumlahan) 3. k(A+B) = k. A+k. B k skalar 4. (k+l)A = k. A + l. A k dan l skalar 5. (kl)A = k(l. A) k dan l skalar 6. k(AB) = k. A(B) = A(k. B) k skalar 7. A(BC) = (AB)C (H. Asosiatif Perkalian) 8. A(B+C) = AB + AC (H. Distributif) 9. (A+B)C = AC + BC (H. Distributif)

Latihan Soal 1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 4 5 dan misalkan C, D, dan E berturut-turut adalah matriks-matriks: 5 2, 4 2, dan 5 4. Tentukanlah yang mana diantara pernyataan berikut terdefinisi dan berapakah ordo hasilnya. a. BA b. AC + D c. AC + B d. AB+B e. E(A+B) 2. Hitunglah a, b, c dan d jika 3. Ditentukan: dan dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah:

Latihan Soal (lanjutan) dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah: a. Baris ke-1 dari AB b. Baris ke-3 dari AB c. Kolom ke-2 dari AB d. Kolom ke-1 dari BA e. Baris ke-3 dari A 2 f. Baris ke-2 kolom ke-3 dari B 2 Misalkan Q adalah matriks n n yang elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j adalah 1 jika i = j, dan 0 jika i ≠ j. Perlihatkan bahwa a. I = Ia = a untuk setiap matriks A n n. 5. Jika A dan B matriks-matriks persegi yang ordonya sama, apakah (A+B)2=A 2+2 AB+B 2. Mengapa? 4.

Definisi: Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao = I (matriks Identitas) An =A A … A sebanyak n faktor. Jika A suatu matriks m n maka transpose matriks A ditulis At atau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1, 2, …, m. Contoh:

Sifat Transpose Matriks Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat berikut: Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasinya terdefinisi maka: (At)t = A 2. (A+B)t = At + Bt 3. (k. A)t = k(At) 4. (AB)t = Bt. At Contoh: 1.

Jadi (AB)t = Bt. At

Macam-macam Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh: Matriks satuan / Identitas adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I. Contoh: Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol. Contoh:

Macam-macam Matriks (lanjutan) Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol. Contoh: Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol. Contoh: Matriks simetri adalah matriks persegi yang berlaku A = At. Contoh:

Macam-macam Matriks (lanjutan) Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut: Jika ada baris nol maka letaknya di bawah. 2. Jika suatu baris tak nol maka elemen tak nol pertama adalah satu. Satu ini disebut satu utama / satu pemuka / leading entry. 3. Satu utama pada baris yang lebih awal terletak pada kolom yang lebih awal pula. Contoh: 1. Matriks Eselon Tereduksi adalah matriks eselon yang pada setiap kolom yang memuat satu utama maka elemen lainnya nol. Contoh:

Operasi Baris Elementer (OBE) & Matriks Elementer � Misalkan pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai berikut: 1. Saling menukar dua baris. (misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke-j). 2. Mengalikan sutu baris dengan bilangan real tak nol. (Misalnya mengalikan baris ke-i dengan k, k ≠ 0). 3. Menambahkan suatu baris dengan kelipatan baris lain (Misalnya baris ke-i ditambah k kali baris ke-j) Setiap operasi di atas disebut: OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) dan berturut-turut dinyatakan dengan: 1. Rij 2. Ri(k) atau k. Ri 3. Rij(k) atau Ri + k. Rj

Operasi Baris Elementer (OBE) (lanjutan) Contoh: � Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan satu kali atau beberap kali OBE, maka dikatakan A ekuivalen baris B di tulis A B. � Jika matriks B diperoleh dari matriks A melalui suatu OBE maka dari B dapat diperoleh kembali matriks A melalui OBE sejenis.

Operasi Baris Elementer (OBE) (lanjutan) � Misalkan: AR B BR A Rij B B Rij A i(k) i(1/k) A ij(k) ij(-k) A � Jika A, B, dan C tiga matriks berordo sama maka 1. Jika A B maka B A (sifat simetri) 2. Jika A B dan B C maka A C (sifat transitif)

Matriks Elementer Matriks elementer adalah matriks identitas yang dikenai satu kali OBE. Jika E suatu matriks elementer berordo m m, dan A suatu matriks berordo m n maka EA hasilnya akan sama dengan matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan operasi baris elementer yang sesuai.

Matriks Elementer (lanjutan) Contoh: Diketahui :

Invers (Menggunakan OBE) Definisi: matriks persegi A disebut invers B jika AB = BA = I. A disebut invers B dan B disebut invers A di tulis A-1. Invers matriks elementer merupakan matriks elementer juga. (Iij)-1 = Iij (Ii(k))-1 = Ii(1/k) (Iij(k))-1 = Iij(-k) Mengapa ? ? ?

Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan) Contoh:

Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan) Perhatikan sekarang dengan menggunakan beberapa kali OBE akan kita ubah metriks tersebut menjadi matriks eseleon baris tereduksi.

Invers (Menggunakan OBE) (lanjutan) Contoh:

Determinan Banyaknya permutasi dari n elemen yang berlainan ialah n!, ditulis Pn = n! Contoh: untuk n=3, misalnya {1, 2, 3} permutasinya P 3 = 3! = 3 2 1 = 6; yaitu: (1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2) (1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1) � Suatu inversi terjadi jika dalam suatu permutasi tercatat bilangan yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Contoh: � 1 2 3 4 5 6 inversinya 0, karena tidak ada bilangan yang lebih besar menadhului yang lebih kecil. 1 3 2 inversinya 1; yaitu 3 mendahului 2. 6 5 4 3 2 1 inversinya 15 (selidiki sendiri!)

Determinan (lanjutan) Permutasi genap permutasi yang banyak inversinya genap. Permutasi ganjil permutasi yang banyak inversinya ganjil. Permutasi Banyaknya inversi Klasifikasi (1, 2, 3) 0 Genap (1, 3, 2) 1 Ganjil (2, 1, 3) 1 Ganjil (2, 3, 1) 2 Genap (3, 1, 2) 2 Genap (3, 2, 1) 3 Ganjil

Determinan (lanjutan) Perkalian elementer dari An n ialah hasil kali n elemen dari A yang tidak sebaris dan tidak sekolom. Contoh: Yaitu: Perkalian elementer bertanda dari An n adalah perkalian elementer dari A dikalikan (-1) berpangkat jumlah inversinya. Contoh: di atas

Determinan (lanjutan) Determinan matriks An n ditulis det A atau |A| didefinisikan sebagai jumlah semua perkalian elementer bertanda dari A. Contoh:

Determinan (lanjutan) Dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: − − − + + +

Determinan (lanjutan) Determinan yang terjadi jika baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan disebut MINOR unsur aij; ditulis Mij Contoh: Kofaktor elemen aij ditulis Kij=(-1)(i+j)Mij maka K 23=(-1)2+3 M 23 = 1

Determinan (lanjutan) Determinan matrik A dapat Juga dihitung dengan : (diuraikan atas baris ke i) Atau (diuraikan atas kolom ke j)

Determinan (lanjutan) Contoh :

Tugas Individu � Tuliskan sifat-sifat determinan beserta contohnya. � Jangan lupa tuliskan referensi yang Anda pakai. � Tugas ditulis tangan dengan rapi dalam kertas folio. � Dikumpulkan satu minggu setelah tugas ini diberikan.

Matriks Kofaktor & Adjoint Jika A adalah sebarang matriks n × n maka matriks kofaktor A adalah matriks yang berbentuk Transpose matriks kofaktor A disebut matriks adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A)

Matriks Kofaktor & Adjoint (lanjutan) Contoh: Carilah K(A) = …? dan adj(A) = …?

Matriks Kofaktor & Adjoint (lanjutan) Invers matriks A dihitung menggunakan matriks adjoint adalah sebagai berikut. Contoh: Menggunakan Operasi Baris Elementer: Jadi

Matriks Kofaktor & Adjoint (lanjutan) Menggunakan matriks adjoint Jadi dan

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL) Bentuk umum : dimana x 1, x 2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK

ILUSTRASI GRAFIK SPL 2 persamaan 2 variabel: Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS SPL BENTUK MATRIKS STRATEGI MENYELESAIKAN SPL: mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.

TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL 1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol. MATRIKS 1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua persamaan sebarang. 2. Menukar posisi dua baris sebarang. 3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya. 3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

CONTOH DIKETAHUI …………(i) …………(iii) kalikan pers (i) dengan (-2), kemudian tambahkan ke pers (ii). kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii). kalikan pers (i) dengan (-3), kemudian tambahkan ke pers (iii). kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii). kalikan pers (ii) dengan (1/2). kalikan baris (ii) dengan (1/2).

LANJUTAN CONTOH kalikan pers (ii) dengan (1/2). kalikan baris (ii) dengan (1/2). kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii). kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii). kalikan pers (iii) dengan (-2). kalikan brs (iii) dengan (-2). kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

Lanjutan CONTOH kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii) kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i). kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii) Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS. KERJAKAN EXERCISE SET 1. 1

BENTUK ECHELON-BARIS Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut: maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi. Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb: 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1. 2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah. 3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading 1 baris berikut. 4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut bentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi: CONTOH bentuk echelon-baris:

Bentuk umum echelon-baris dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

Bentuk umum echelon-baris tereduksi dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.

METODA GAUSS-JORDAN Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut. Bentuk matriks SPL ini adalah:

-2 B 1 + B 2 5 B 2+B 3 B 4+4 B 2 B 3 ⇄ B 4 B 3/3 -3 B 3+B 2 2 B 2+B 1

Akhirnya diperoleh: Akhirnya, dengan mengambil x 2: = r, x 4: = s dan x 5: = t maka diperoleh penyelesaian: dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.

METODA SUBSTITUSI MUNDUR Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut: Bentuk ini ekuivalen dengan: LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x 6. Diperoleh: LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDUR LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh: LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka pekerjaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

Eliminasi Gaussian Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur. CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut: Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut: