ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS RUANG VEKTOR Definisi o

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS RUANG VEKTOR

Definisi o Himpunan tak kosong V disebut ruang vektor jika memenuhi 1. 2. 3. 4. 5. Untuk sebarang u, v V berlaku u+v V u+v = v+u u+(v+w) = (u+v)+w Terdapat 0 V (vektor nol) sehingga untuk setiap u V berlaku 0+u=u+0 V Untuk sebarang u V terdapat -u V sehingga u+(-u)= (-u)+u = 0

Definisi Cont. 6. 7. 8. 9. 10. o Jika k adalah sebarang skalar dan u V, maka ku V k(u+v) = ku+kv (k+l)u = ku+lu k(lu) = (kl)u 1 u = u Contoh: n Himpunan V=Rn dengan operasi standar penjumlahan dan perkalian

Ruang Bagian (Subruang) o Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut subruang dari V jika W adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V

Contoh 1. 2. 3. Subruang dari R 2 Himp vektor 0 Garis-garis yang melalui titik asal R 2 1. 2. 3. 4. Subruang dari R 3 Himp vektor 0 Garis-garis yang melalui titik asal Bidang-bidang yang melalui titik asal R 3

Kombinasi Linear o Suatu vektor w disebut kombinasi linear dari v 1, v 2, …, vn jika bisa dinyatakan dalam bentuk w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k nv n dengan k 1, k 2, …, kn skalar

Contoh o o Tunjukkan bahwa vektor v=(a, b, c) dalam R 3 bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis standar (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) Penyelesaian: v = (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)

Contoh o Diketahui u=(1, 2, -1) dan v=(6, 4, 2) dalam R 3. Apakah w=(9, 2, 7) merupakan kombinasi linear dari u dan v?

Penyelesaian o o o w=k 1 u+k 2 v (9, 2, 7)=k 1(1, 2, -1)+k 2(6, 4, 2) (9, 2, 7)=(k 1, 2 k 1, -k 1)+(6 k 2, 4 k 2, 2 k 2) (9, 2, 7)=(k 1+6 k 2, 2 k 1+4 k 2, -k 1+2 k 2) k 1+6 k 2=9 2 k 1+4 k 2=2 -k 1+2 k 2=7 Didapat k 1=-3, k 2=2 Jadi w=-3 u+2 v

Soal o Diketahui u=(1, 2, -1) dan v=(6, 4, 2) dalam R 3. Apakah w=(4, -1, 8) merupakan kombinasi linear dari u dan v?