ALJABAR BOOLE Adalah satu cabang matematika yang ditemukan

ALJABAR BOOLE Adalah satu cabang matematika yang ditemukan oleh seorang matematikawan Inggris yaitu George Boole dengan menggunakan aturan dasar logika. Manfaatnya untuk merancang rangkaian pensaklaran, rangkaian digital dan rangkaian IC komputer. Definisi Aljabar Boole : Aljabar yg terdiri atas suatu himpunan B dg dua operasi yaitu ‘ + ‘ (jumlah) dan ‘. ‘ (kali) sehingga utk a, b, c e B berlaku hukum yg tdk dibuktikan atau aksioma sbb:

lanjutan 1. tertutup : i) a+b e B ii) a. b e B 2. identitas : i) ada elemen unik 0 e B shg a+0=0+a=a ii) ada elemen unik 1 e B shg a. 1=1. a=a 3. Komutatif: i) a+b=b+a dan ii)a. b=b. a 4. distributif : i) a. (b+c)= (a. b)+(a. c) ii) a+(b. c)= (a+b). (a+c) iii) (a. b)+c= (a+c). (b+c) 5. Komplemen: utk setiap a e B ada elemen a’ e B sehingga berlaku a+a’=1 dan a. a’=0

lanjutan 6. Paling sedikit dua buah elemen dalam B dan 7. Idempoten : a+a=a dan a. a=a 8. Assosiatif : a+(b+c) = (a+b)+c a. (b. c) = (a. b). c Catatan: Jadi yg dimaksud aljabar boole harus ada himpunan B beserta dua operasi dan juga aturan/definisi operasinya.

Definisi operasi aljabar boole dua nilai Operasi + Operasi. a b a+b a b a. b 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1

Komplemen a a’ 0 1 1 0 Contoh Tunjukkan bahwa dengan didefinisikan dua operasi dan komplemen , harus benar pers. a. (b+c)=(a. b)+(a. c) Jawab. Karena ada tiga variabel berarti ada 8 nilai yg mungkin (23 cara) sehingga bentuk tabelnya sbb:

Lanjutan sama a 0 0 1 1 b 0 0 1 1 c 0 1 0 1 b+c 0 1 1 1 a. (b+c) 0 0 0 1 1 1 a. b a. c 0 0 0 1 1 (a. b)+(ac) 0 0 0 1 1 1

Sifat – Sifat Aljabar Boole 1. Hk. Identitas: a+0=a a. 1=a 3. Hk. Komplemen; a+a’=1 a. a’ =0 5. Hk. Involusi; (a’)’ = a 7. Hk komutatif, a+b=b+a a. b=b. a 9. Hk. Distributif a+(b. c)=(a+b). (a+c) a. (b+c)=(a. b)+(a. c) 2. Hk. Idempoten; a+a=a a. a =a 4. Hk. Dominansi, a+1 =1 a. 0 =0 6. Hk. Penyerapan a+(a. b)=a a. (a+b)=a 8. Hk. Assosiatif a+(b+c)=(a+b)+c a. (b. c) = (a. b). c 10. Hk. Demorgan (a. b)’=a’+b’ (a+b)’=a’. b’

Catatan: sifat-sifat di atas dpt dibuktikan melalui hukum dan juga bisa melalui tabel kebenaran Contoh: Buktikan bahwa, i). a+(a’b)=a+b dan ii). a(a’+b)=ab Jawab: dengan hukum a+(a’b)=(a+a’). (a+b) a(a’+b)=(a. a’)+(a. b) = 1. (a+b) = 0 +(a. b) =(a+b) =a. b Cara lain lewat tabel kebenaran a b a’ a’b a+b 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 sama

Latihan: Buktikan bahwa: 1. (a+b)’=a’. b’ jawab dgn hukum-hukum telah diketahui (a+b)+(a+b)’=1 Apakah benar (a+b)+(a’. b’)=1 (ini yg dibuktikan) (a+b)+(a’. b’)=((a+b)+a’). ((a+b)+b’) =(a’+(a+b)). ((a+b)+b’) =((a’+a)+b). (a+(b+b’) =(1+b). (a+1) = 1. 1 =1 terbukti

Buktikan bahwa (a. b)’=a’+b’ Telah diketahui bahwa’ (a. b)’=0 Apakah benar bahwa, (a. b). (a’+b’)=0 (ini yg dibuktikan) Ruas kiri. (a. b). (a’+b’) =(a. b. a’)+(a. b. b’) =(0. b) + (a. 0) =0 + 0 =0 terbukti bahwa (a. b)’=a’+b’

LATIHAN Buktikan 1. a. (a’+b)=ab 2. a+(a’b)=a+b 3. a’b’c+a’bc+ac’=a’c+ac’ Dengan cara bebas(tabel kebenaran/hukum) Jawab: dgn hukum 1. Ruas Kiri a. (a’+b)=(a. a’)+(a. b) =0+(a. b)=a. b terbukti sama dg r kanan

Lanjutan 2. Ruas kiri, a+(a’. b)=(a+a’). (a+b) =1. (a+b)=a+b terbukti sama dg ruas kanan 3. Ruas kiri, a’b’c+a’bc+ac’=a’c(b’+b)+ac’ =a’c+ac’

Fungsi Bool adalah: suatu ekspresi yg terdiri dari variabel dua operasi biner dan komplemen, tanda kurung, tanda sama dengan Literal adalah variabel juga komplemennya Contoh. 1. f(x)=x 2. f(x, y)=x’y+xy’+y 3. f(x, y)=x’y’ 4. f(x, y)=(x+y)’ 5. f(x, y, z)=xyz’ Nyatakan f(x, y, z)=xyz’ pada tabel kebenaran (catatan nilai untuk semua kombinasi yang mungkin harus dibuktikan/tentukan)

Fungsi boole tidaklah unik artinya dua buah fungsi boole yg ekspresinya berbeda mungkin dua fungsi yang sama (jika keduanya mempunyai nilai yg sama unt smua kmbinasi) Contoh Tentukan apakah dua fungsi berikut; F(x, y, z)=x’y’z+x’yz+xy’ dan g(x, y, z)=x’z+xy’ adalah sama? Jawab: x y 0 0 0 1 z 0 1 x’y’z+x’yz+xy’ x’y’z x’yz xy’ 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 x’z+xy’ x’z xy’ 0 0 0 1 dst.

Bentuk Kanonik adalah fungsi boole yang bentuk sukunyamengandung literal yang lengkap sebagai jumlah dari hasil kali(SOP) atau hasil kali dari jumlah(POS). Ada dua macam bentuk kanonik: 1. Minterm atau SOP 2. Maxterm atau POS Dua variabel/peubah, Minterm dan Maxterm ditunjuk tabel: x y Minterm suku lambang 0 0 1 1 0 1 x’y’ x’y xy’ xy m 0 m 1 m 2 m 3 Maxterm suku lambang x+y’ x’+y’ M 0 M 1 M 2 M 3

Tiga variabel unt. Minterm dan Maxterm ditunjuk tabel: x 0 0 1 1 y 0 0 1 1 z 0 1 0 1 Minterm suku lambang x’y’z’ m 0 x’y’z m 1 x’y z’ m 2 x’y z m 3 x y’ z’ m 4 x y’z m 5 x y z’ m 6 xyz m 7 Maxterm suku lambang x+y+z M 0 x+y+z’ M 1 x+y’+z M 2 x+y’+z’ M 3 x’+y+z M 4 x’+y+z’ M 5 x’+y’+z M 6 x’+y’+z’ M 7

Catatan: notasi ∑ dan Π berguna untuk mempersingkat penulisan fungsi dalam bentuk SOP dan POS Contoh Nyatakan fungsi boole f(x, y, z)=x+y’z dalam bentuk SOP dan POS Jawab: f(xyz)= x+y’z =x(y+y’) +y’z(x+x’) =xy+xy’ + y’zx’ =xy(z+z’)+xy’(z+z’) + y’zx’ =xyz+xyz’+xy’z’+xy’z+x’y’z =xyz+xyz’+xy’z’+x’y’z=m 7+m 6+m 5+m 4+m 1 Catatan: apa bila ada suku yg sama ditulis hanya satu suku

Untuk yang berbentuk POS sbb: f(xyz)= x+y’z =(x+y’). (x+z) =((x+y’)+(z. z’)). ((x+z)+(y. y’) =(x+y’+z). (x+y’+z’). (x+z+y’) =M 2. M 3. M 0. M 2 = M 3. M 2. M 0 Bentuk Baku: Fungsi boole dengan suku-sukunya mengandung satu, dua atau sejumlah literal (suku-suku boleh tdk lengkap)

Aplikasi Aljabar Boole: antara lain unt. Bidang jaringan pensaklaran, rangkain digital elektronik Jaringan Pensaklaran Pada jaringan pensaklaran ini ada tiga bentuk gerbang paling sederhana yaitu: (a). a x b output b ada jika x tertutup f(x)=x (b). a x y b output b ada jika x dan y tertutup f(x, y)=x. y (c). a x c output c ada jika dan hanya jika b y x atau y tertutup f(x, y)=x+y 1.

Contoh Nyatakan gambar rangkaian pensaklaran dibawah ini dalam fungsi Boole x y x’ z x y y x y’ z z Jawab: f(xyz) = xy + (x’+xy)z + x(y+y’z+z)

lanjutan 2. Rangkaian Digital Elektronik Rangkaian ini dimodelkan dlm bentuk gerbang logika , gerbang logika ini disebut Rangkaian Logika , hususnya diimplementasikan pada rangkaian listrik Ada tiga gerbang logika dasar yaitu AND, OR, dan NOT x x x+y x x’ y x. y y gerbang AND gerbang OR gerbang NOT Selaian ada gerbang logika dasar ada lagi gerbang turunan yaitu NAND, NOR, XOR dan XNOR x (xy)’ (x+y)’ x+y (x+y)’ y x x x y y y NAND NOR XNOR

Contoh Nyatakan fungsi , 1) f(xyz)= xy + x’y 2) f(xyz)=x’yz + x’yz’ + xy’z 3) f(xy) = x’y +xy’ 4) f(xyz) = xz + xy + yz Jawab: x y 1) xy xy+x’y 2) 3) 4)