Aliana sinrgica entre Epistemologia e Didtica da Matemtica

Aliança sinérgica entre Epistemologia e Didática da Matemática no estudo da álgebra elementar e seus símbolos Caroline BARDINI – Université Paris 7 30 de Agosto 2004

Os métodos em Matemática por Jules Vuillemin § «Toda atualização dos métodos matemáticos vê-se repercutida na filosofia » - J. Vuillemin (1962) § Eco do método inventado pelos matemáticos gregos para aproximar todo irracional por uma fração contínua na Política de Platão. § Características da invenção matemática da geometria algébrica presentes no discurso metafísico de Descartes. § A evidenciação por Leibniz do princípio de continuidade e seu uso para apontar os defeitos do método metafísico de Descartes. § A filosofia pode-se permitir o uso das noções de grupo e estrutura algébrica em alguns de seus métodos?

Análise epistemológica e métodos em Matemática § Análise epistemológica: Adotar um recuo em relação aos objetos matemáticos (conceitos, métodos). Historicidade. métodos Hi st or ici da de Rigor Evolução ao longo do tempo, sua dependência em relação aos domínios matemáticos tratados e ao grau de elaboração dos objetos que ela manipula. § Análise epistemológica: vigilância, distância em relação ao objeto de estudo.

Epistemologia e Didática da Matemática (1/2) Adoção de uma distância indispensável no contexto do ensino da matemática onde a ficção de uma aparente transparência do conhecimento é cultivada. O didático da matemática se interessa na relação tripartite – tal como lhe é possivel observar e em seguida reconstruir, nas salas de aula – entre um professor, alunos e um conhecimento matemático. (Yves Chevallard) professor conhecimento aluno(s) Examinar de um ponto de vista externo (exterior) o sistema de ensino.

Epistemologia e Didática da Matemática (2/2) Didática Epistemologia Conhecimento Alunos O didático é confrontado à análise da gênese do conhecimento matemático: o estudo dos mecanismos, das condições e contextos das « descobertas » , das causas dos períodos de estagnação, etc. Observar e explicar os processos que intervêem no nascimento de um conceito matemático em um aluno. (Sem procurar fazer da historia um modelo para o ensino) Provocar tais processos dentro do sistema de ensino.

Articulação entre epistemologia e didática Aliança sinérgica entre Epistemologia e Didática da Matemática no estudo da álgebra elementar e seus símbolos. Problemática Articulação entre filosofia e matemática J. Vuillemin (1962) G. G. Granger (1994) Notação matemática C. Babbage (1821) F. Cajori (1928) M. Dascal (1978) D. André (1909) Estudo epistemológico retrospectivo sobre a constituição da linguagem simbólica M. Serfati (1997) Análise epistemológica dos símbolos algébricos (Re)leitura epistemológica de pesquisas didáticas Desenvolver Analisar Ferramenta para analisar tarefas respostas o acesso ao simbolismo

Problemática - Fragilidade e irregularidade ao efetuar operações algébricas tais a fatoração. Uma tarefa efetuada às cegas, onde intervêm processos « inquestionáveis » , destinados a transformar uma série de fórmulas algébricas que permanecem desprovidas de sentido. René Magritte, A condição humana I (1933) - Como os alunos entrevêem as expressões que eles manipulam? Como enxergam os diferentes elementos que as compõem? O que há , para o aluno, por trás de um símbolo?

(Re)leitura. Parcela desconhecida e substância desconhecida Parcela desconhecida : Algo não fornecido pelo texto. Indica que tratase de um problema onde tudo não é dado. Substância desconhecida : Valor de uma quantidade, permanente no texto, porém desconhecida. Diofante Encontrar dois numeros cuja soma seja igual a 20 e cuja soma de seus quadrados seja igual a 208. Diofante (notação moderna): (10+x)2+(10 -x)2=208 (logo x=2). Sol: 12 e 8 Stacey e Mac. Gregor. Problema ‘BUS’ Stacey e Mac. Gregor. Problema TRIANGLE Um ônibus levou alunos numa excursão de 3 porém dias. A distância percorrida no 2°a dia Papel de desse uma incógnita especificamente O perimetro triângulo mede 44 operacional, cm. Escreva uma equação encontre o valor de x. excedeu de 85 km aquela percorrida no 1° dia. A distância percorrida no 3° dia excedeu incógnita (ou uma das noincógnitas), mas auxiliar, cuja identificação de 125 km aquela percorrida 2 x cm 1° dia. A distância total percorrida foi de 1410 Km. Seja x Alunos: x =30 x cmpercorridos no 1° dia. Utilise a álgebra para determinar a distância opermite determinar todas as incógnitas do problema. numero de km percorrida cada dia. 14 cm Alunos: x + 85 + 125 = 1410

(Re)leitura - A igualdade (1/2) I – O registro retórico Arithmetica Integra (1544) – Stiefel: “Itaque 2 , multiplicatae in summam extremorum, id est, in 1 A + 1 , faciunt 2 A + 2 , aequata 4335. Deinde 2 multiplicatae in 2 A seu in summam omnium faciunt 4 A aequata 6069. ” ü Igualdade ocupa o papel central e a sua interpretação no registro retórico põe em evidência uma certa assimetria. ü Afetação de um atributo a um sujeito : Dois e três fazem cinco sujeito atributo

(Re)leitura - A igualdade (2/2) St ru gg le fo rs up re m ac y § Recorde (1557) : « » » II- Registro simbólico « S Nada é mais parecido do que dois traços paralelos à linha de escrita § Laço de Descartes (1637): « » z 2 -a z + b b Igualdade interpretada em termos de equivalência, com as propriedades de: - reflexividade - simetria - transitividade

6+6 = 6+6 ? 47 T: Do you think six plus six equals six plus six? Do you think that is right? 48 Sh: I disagree. 49 T: Tell me why. 50 Sh: Because / equals doesn’t mean you put six plus six again. You’re supposed to add the numbers up. / That’s what equal means and you put the answer down. And 51 T: What if it was six take away six? 52 Sh: Then // 53 T: Do I have to add to get on the other side? 54 Sh: No, you can subtract or add to write the number down. 55 T: What if it was six times six? 56 Sh: Then you don’t put six times six again. Cause that wouldn’t be the answer. 57 T: Okay, so you’re saying it had to be the answer. Equals mean you have to have an answer on the other side? 58 Sh: Yeah, because / see if equals wasn’t there when you put all the / when you put all the numbers together / they want to know what’s the answer. And you just don’t put 59 T: So you’re telling me it’s not true that six plus six equals six plus six? You say that’s not true? 60 Sh: Yeah because six plus six equals twelve. / Not six plus six. 61 T: So six plus six does not equals six plus six? 62 Sh: Yeah. 63 Ka: Yeah, it does because both of them equal the same amount. / that could be real. You could do that. 64 T: Could I put six plus six equals / six plus six? (T writes the following equality on the board : 6+6 = 6+6) 65 Ka: Yes. 66 Mi: Yes 67 S: No. 68 T: What is six plus six? Sh? 69 Sh: Six plus / six plus six equals twelve. 70 T: Oh, this is twelve (placing her hand over the left side of the equality) / And so what is this six plus six (placing her hand over the right side of the equality)? 71 Sh: Twelve.

Pontos de vistas autor/ leitor – Um pouco de história 1526 Widmann Adicione o numero 30 ao numero 3 Subtraia o numero 17 do numero 4 1608 Clavius 1 Do valor da incógnita, subtraia o numero 7 – 7 Intenção do autor: Fornecer ao leitor uma representação simbólica de uma instrução elementar Ex n° 1 Tradução algorítmica dos símbolos O autor de uma expressão basea-se em seu ‘significado’. sua estrutura Ex n° 2 Traduz simbólicamente a intenção do autor expressa em linguagem natural

Ex. n° 1 As instruções abaixo - pegue um numero x - multiplique-o por 2 - subtraia 5 do resultado obtido - extraia a raíz quadrada do resultado - adicione 3 ao resultado constituem um algoritmo ao cabo do qual obtemos a seguinte formula: Escreva algoritmos que permitam obter cada uma das seguintes expressões: a) [5(2+x)]2 b) +2 c) [2(-x+3)]2

Ex. n° 2 Escreva as seguintes frases sob forma de expressões algébricas a) O dobro do quadrado de a b) A soma do quadrado de 5 e do dobro de a c) A diferença de 3 e do produto de 7 por x d) O quadrado da soma de 7 e x e) O quociente da soma de 3 e a diferença de b e 8

Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (1/2) [5(2+x)]2 leitor Adicione o numero representado pelo símbolo ‘ 2’ ao numero cujo símbolo é x. Multiplique o resultado pelo numero representado pelo símbolo ‘ 5’. Eleve o ultimo resultado ao quadrado. Uma expressão algébrica é um conjunto de símbolos traduzindo a execução de uma série de instruções, em uma dada ordem. Mudança de foco Leitor Para decifrar uma expressão, começa pelos símbolos operatórios mais internos (‘mais fracos’) e progressivamente reconstrói a hierarquia da expressão Autor Baseado no ‘significado’ Intimamente ligado ao símbolo que estrutura a expressão (o ‘ mais forte’ ) Foco nos símbolos operatórios presentes na expressão e seus “status”, dependendo da perspectiva adotada.

Pontos de vista do autor/ leitor – mudando o foco (2/2) Examinar a ordem ao considerar os símbolos operatórios que compõem a expressão. Descartes (1637) : z 2 -a z + b b 5 (cruz) 4 ( ) 1. a + 1. a. a + b. b 4 2 2 (ponto) 3 (cruz) 1 2 5 4 1 2 1 3 1 1 (ponto) 2 (ponto) 1 (traço) 1 (ponto) 1 a 4 a a b b 1 (traço) 1 2

Analisando respostas de alunos (1/ 2) Exercício Aluno de 13 anos Completando o ponto de vista do autor Re-constrói uma expressão algébrica a partir de sua descrição fornecida em linguagem natural “A soma do terço dos quadrados de a e b” “ E a soma…do terço… então a soma. Portanto duas expressões postas… 1 + a 2 + b 2 3 3 Significado e sintaxe do Divididas por 3 com um mais no meio. símbolo interligados a 2 b 2 E depois tem a ao quadrado e b ao quadrado ” 3 + 2 3 3 Passo-a-passo reconstrói a árvore combinatória da expressão 4

Ligue cada uma das expressões abaixo à frase que melhor a descreva. Se você escolher « outro(s) » para uma dada expressão, escreva a sua própria frase no retângulo fornecido. a e b são dois numeros não nulos. A= 1 + 1 : a 2 b 2 B= 1 : a 2 + b 2 C= 1 : (a + b)2 n° 1 : O inverso do quadrado da soma de a e b n° 2 : A soma dos inversos dos quadrados de a e b n° 3 : O quadrado da soma dos inversos de a and b n° 4 : Outro(s) :

Analisando respostas de alunos (2/ 2) 2 (cruz) (l-1) x (c-1) Le ito r l « subtrai um da largura, subtrai um do comprimento e depois multiplica os dois » 1 1 (traço) 1 1 c « Pega a largura menos um e multiplica pelo comprimento menos um » « (…) fazendo largura-1 x Próximo da descrição da comprimento-1 = fórmula, linear quantidade de gotas de chocolate numa barra » . Levar em conta não somente a presença de símbolos na descrição, mas também a ordem com a qual as diferentes operações aparecem.