Algoritmos em Grafos Celso C Ribeiro Caroline T

Algoritmos em Grafos Celso C. Ribeiro Caroline T. Rocha

PARTE 1: CONCEITOS BÁSICOS Algoritmos em Grafos 2

Conceitos Básicos Grafo: Geometricamente, um grafo é um conjunto de pontos (vértices ou nós) conectados por linhas (arestas). v 1 v 5 G = (V, e E) e 2 e 3 v 2 v 3 v 4 vérticese 6 e 10 e 8 5 e 4 e 1 v 8 e 7 e 12 v 7 e 9 arestas v 6 e 11 v 9 V = {v 1, v 2, . . . , vn} |V | = n V = {v 1, v. E 2, =v 3{e , v 1, 4, ev 2, 5, . . . , v 6, evm 7}, v 8, v|9 E}| = mn = 9 E = {e 1, e 2, e 3, e 4, . . . , e 9, e 10, e 11, e 12} m = 12 Algoritmos em Grafos 3

Conceitos Básicos Cada aresta é definida por um par não-ordenado de nós, que são suas extremidades: e = (vi , vj) u e v são adjacentes e é incidente a v e é incidente a u e = (u, v) d(v) : grau do nó v = número de arestas incidentes a v e 5, e 7 , e 8(nós incidentes a v 5 adjacentes) a v 4), v= v 7 6, 2 d(v ) = d(v v) 5 =adjacente d(v ) = d(v 1 2 8 9 d(v 3) = d(v 4) = d(v 5) = d(v 6) = 3 d(v 7) = 4 d(v) = 0 vértice isolado Algoritmos em Grafos 4

Conceitos Básicos Teorema: o número de nós de grau ímpar em um grafo finito é par. Demonstração: e 1 e = (u, v) é um laço se u = v arestas paralelas possuem as mesmas extremidades e 4 e 2 e 3 e 5 Multi-grafo: sem laços, mas eventualmente com arestas paralelas Grafo simples (grafo) : sem laços nem arestas paralelos Algoritmos em Grafos 5

Conceitos Básicos Kn: grafo completo com n nós número de arestas: n(n-1)/2 K 3 K 4 K 5 Grafo k-regular: todos os nós têm grau k. Kn é (n-1)-regular Algoritmos em Grafos 6

Conceitos Básicos Grafo bipartido: o conjunto de nós pode ser particionado em dois subconjuntos V 1 e V 2 tais que qualquer aresta possui uma extremidade em V 1 e a outra em V 2. V 1 É bipartido? SIM V 2 Km, n: grafo bipartido completo onde |V 1| = m e |V 2| = n É bipartido? NÃO Algoritmos em Grafos 7

Conceitos Básicos é um subgrafo de Grafo induzido em : por : onde E(X) é o subconjunto de E formado por todas as arestas com as duas extremidades em X. 2 1 G 6 X = {2, 3, 4, 5} 4 3 G(X) 5 Algoritmos em Grafos 8

Conceitos Básicos Clique: subconjunto de nós que induz um subgrafo completo. 5 C 1 = {1, 2, 3} C 2 = {2, 4, 5} 2 1 6 C 3 = {4, 6} C 4 = {3} 4 3 e são complementares: 1 2 3 4 Algoritmos em Grafos 9

Conceitos Básicos Caminho de a : Seqüência P de vértices e arestas alternados, tais que cada aresta é incidente ao nó anterior e ao nó posterior. P é um ciclo ou circuito. Caminho simples: cada vértice aparece exatamente uma vez Comprimento de um caminho: número de arestas Caminhos disjuntos em vértices/arestas: não têm vértices/arestas em comum Algoritmos em Grafos 10

Conceitos Básicos Vértices vi e vj são conectados se existe um caminho de vi a vj. Dois vértices vi e vj estão na mesma componente conexa se existe um caminho entre eles. Um grafo é conexo se possui uma única componente conexa, ou seja, se existe um caminho entre qualquer par de nós Problema importante: determinar se um grafo é conexo ou não. É conexo? Algoritmos em Grafos 11

Conceitos Básicos Um grafo gerador de um grafo conexo G=(V, E) é um subgrafo conexo G’ com o mesmo conjunto de nós V. Grafo G Grafo gerador de G v é um ponto de articulação do grafo conexo G se sua remoção desconecta G. v Se uma componente conexa de um grafo não contem ponto de articulação, então ela é uma componente 2 -conexa. Uma aresta e cuja remoção desconecta um grafo conexo é chamada de ponte. e Algoritmos em Grafos 12

Conceitos Básicos Digrafo ou grafo orientado: grafo no qual são associadas direções aos seus arcos. j é sucessor de i i par ordenado Início ou origem Fim ou destino j i é predecessor de j = grau de entrada de i = número de predecessores de i = grau de saída de i = número de sucessores de i 2 4 1 3 5 1 0 3 1 6 Algoritmos em Grafos 13

Conceitos Básicos Uma cadeia a 1, a 2, . . . , aq de arcos é uma seqüência tal que cada arco ai tem uma extremidade comum com o arco ai-1 e outra com o arco ai+1, 2 ≤ i ≤ q-1. 2 a 1 a 3 5 a 2 1 a 4 a 6 a 5 3 a 7 a 2, a 5, a 6, a 4 cadeia entre os nós 2 e 3 4 Ciclo: cadeia cujas extremidades coincidem. Caminho a 1, a 2, . . . , aq: extremidade final do arco ai coincide com a extremidade inicial do arco ai+1. Circuito: caminho cujas extremidades coincidem. Algoritmos em Grafos 14

Conceitos Básicos Dois vértices vi e vj estão na mesma componente fortemente conexa de um grafo orientado se existe um caminho de vi a vj e um caminho de vj a vi. 7 6 2 8 1 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10} {7} 5 3 10 9 4 1 4 7 {1, 2, 3, 4} {5, 6, 7} 2 3 6 5 Algoritmos em Grafos 15

Conceitos Básicos Grafos planares: Um grafo é planar se ele pode ser representado no plano de modo tal que não haja interseção entre suas arestas. K 3 ? PLANAR K 4 ? PLANAR K 5 ? NÃO K 3, 3 ? NÃO Algoritmos em Grafos 16

Conceitos Básicos Árvore: grafo conexo sem circuitos Floresta: grafo cujas componentes conexas são árvores Um caminho é uma árvore? Sim! Algoritmos em Grafos 17

Conceitos Básicos Teorema: Se T é uma árvore com n vértices, então: 1. Existe um único caminho entre dois nós quaisquer de T. 2. Sejam i, j dois nós de T tais que a aresta (i, j) não existe. Então, a inserção da aresta (i, j) em T provoca a formação de exatamente um ciclo. 3. T possui n-1 arestas. Algoritmos em Grafos 18

Conceitos Básicos Formas de representação e matrizes associadas a um grafo Matriz de incidência nó-arco: Uma linha para cada nó Uma coluna para cada aresta 1 4 a 1 2 a 4 a 5 a 2 a 3 3 Algoritmos em Grafos 19

Conceitos Básicos Formas de representação e matrizes associadas a um grafo Uma matriz quadrada é unimodular se seu determinante é 1. Uma matriz retangular A é totalmente unimodular se e somente qualquer matriz quadrada regular extraída de A é unimodular. Algoritmos em Grafos 20

Conceitos Básicos Formas de representação e matrizes associadas a um grafo Teorema: A matriz de incidência de um grafo é totalmente unimodular. Uma matriz de incidência contém exatamente dois elementos nãonulos por coluna (+1, -1). Demonstração por indução: 1. Todas as matrizes quadradas regulares de dimensão 1 são unimodulares (det = 1). 2. Suponha a hipótese verdadeira até matrizes de ordem n-1 e considere uma matriz quadrada A’ de ordem n extraída de A. Se toda coluna de A’ tem dois elementos não-nulos, então det(A’) = 0 (soma das linhas nulas). Se uma coluna de A’ não tem elementos não-nulos, então det(A’) = 0. Algoritmos em Grafos 21

Conceitos Básicos Formas de representação e matrizes associadas a um grafo Se existe uma coluna com um único coeficiente não-nulo, então det(A’) = det(A’’), onde A’’ é a matriz quadrada de ordem n-1 extraída de A’ pela eliminação da linha i e da coluna j. Como a hipótese é verdadeira para n-1, det(A’’) = 1 ou 0. Logo, det(A’) = 1 ou 0. Algoritmos em Grafos 22

Conceitos Básicos Formas de representação e matrizes associadas a um grafo Matriz de adjacência: Uma linha para cada nó Uma coluna para cada nó a 12 1 2 a 24 a 34 4 aij = 1 (i , j ) A aij = 0 (i , j ) A a 13 a 23 3 Grafos sem arcos paralelos: 1 2 4 3 n 2 posições 4 3 Algoritmos em Grafos 23

Conceitos Básicos Formas de representação por listas de adjacências Lista de nós: Cada nó aponta para a lista de seus sucessores (ou nós adjacentes) 2 1 n nós n +m posições m arestas 4 nós 3 sucessores nós predecessores 1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 2 3 4 Algoritmos em Grafos 24

Conceitos Básicos Formas de representação por listas de adjacências 1 3 Lista de arcos 2 1 4 1 2 3 4 n 1 3 5 7 m 1 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 2 S(. ) 1 1 1 2 4 4 T(. ) 2 3 4 3 2 3 3 É simples passar de uma forma de representação para outra. Algoritmos em Grafos 25

Conceitos Básicos Desenhar o grafo representado pela matriz de adjacência abaixo: 1 1 2 5 3 6 5 2 8 7 4 6 3 11 9 4 1 2 3 4 5 6 7 8 10 9 10 11 Quais 1 são as componentes fortemente conexas deste grafo? 2 {1, 2, 5, 6}, {3, 4} 3 4 Representar sua matriz de incidência. 5 6 Algoritmos em Grafos 26

Conceitos Básicos Representar o mesmo grafo por sua lista de adjacências. 1 2 6 2 3 6 3 4 4 1 1 2 5 3 6 3 5 5 2 4 6 1 3 2 8 7 4 6 3 11 9 4 5 10 Representar o grafo por sua lista de arcos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 6 6 2 5 5 3 4 2 6 1 3 6 5 3 2 4 4 3 Algoritmos em Grafos 27

Conceitos Básicos Algoritmo para converter uma representação de um grafo orientado sob forma de matriz de adjacência em matriz de incidência. Ler número de nós n, matriz A linha 1, coluna 1, arco 0 Enquanto linha ≤ n faça Enquanto coluna ≤ n faça Se A(linha, coluna)=1 então arco+1, k 1 Enquanto k ≤ n faça B(k, arco) 0 k k+1 fim_enquanto B(linha, arco) +1 B(coluna, arco) -1 fim_se coluna +1 fim_enquanto coluna 1 linha +1 fim_enquanto Algoritmos em Grafos 28

Conceitos Básicos Exercício: Escrever um algoritmo para converter a representação de um grafo orientado sob forma de matriz de incidência em uma representação por listas de adjacência. Algoritmos em Grafos 29