Algoritmos de Bsqueda Backtracking y Branch and Bound

Algoritmos de Búsqueda “Backtracking y Branch and Bound” Antonio Paredes Risueño

Índice § § § Introducción Backtracking en paralelo Branch and Bound paralelo

Introducción n Los algoritmos de Backtracking y Branch and Bound se suelen aplicar en la resolución de un gran número de problemas, muy especialmente en los de optimización. Estos algoritmos realizan una búsqueda exhaustiva y sistemática en el espacio de soluciones del problema. Suelen ser muy ineficientes.

Introducción n n Se utilizan para resolver problemas para los que no existe un algoritmo eficiente para resolverlos. Mediante la programación paralela se intentará reducir el tiempo de ejecución de estos algoritmos

Índice § § § Introducción Backtracking en paralelo Branch and Bound paralelo

Backtracking n n n Técnica general de resolución de problemas, que suele aplicarse sobre todo a juegos y problemas de óptimización. Realiza una búsqueda exhaustiva y sistemática en el espacio de soluciones del problema. La solución de un problema de backtracking se puede expresar como una tupla (x 1, x 2, …, xn), que satisface una restricciones R(x 1, x 2, …, xn) y a veces optimizando una función objetivo.

Backtracking n En cada momento el algoritmo se encontrará en un cierto nivel k, con una solución parcial (x 1, x 2, …, xk) (con k<=n). n n Si puede añadirse un elemento xk+1 a la solución parcial se avanza al nivel k+1. Si no se prueban otros valores válidos para xk. Si no existe ningún valor que sea válido por probar, se retrocede al nivel anterior k-1. Se continua con este proceso hasta que la solución parcial sea una solución del problema o hasta que no queden más posibilidades por probar (en el caso de que no se encuentre ninguna solución o se busquen todas las soluciones del problema).

Backtracking n x 1 x 2 x 3 En definitiva, el algoritmo realiza una búsqueda en profundidad en el árbol de soluciones del problema.

Backtracking n En definitiva, el algoritmo realiza una búsqueda en profundidad en el árbol de soluciones del problema. 1 x 1 2 x 3 3 4 10 6 5 7 8 11 9 14 12 13 15 16 17 18

Backtracking. Complejidad n n n Por realizar una búsqueda exhaustiva en el espacio de soluciones del problema, los algoritmos de backtracking son bastante ineficientes. En general, se tienen tiempos con órdenes de complejidad factoriales o exponenciales. Por esto, los algoritmos de backtracking se utilizan en problemas para los que no existen un algoritmo eficiente que los resuelva.

Backtracking. Ejemplo Problema N-Reinas n n n El problema de las N-Reinas consiste en colocar n reinas en un tablero de ajedrez de tamaño n*n de forma la reinas no se amenacen según las normas del ajedrez. Se busca encontrar una solución o todas las soluciones posibles. Este problema puede resolverse utilizando un esquema de backtracking. Cualquier solución del problema estará formada por una n-tupla (x 1, x 2, …, xn), dónde cada xi indica la columna donde la reina de la fila i-ésima es colocada.

Backtracking. Ejemplo Problema N-Reinas n n Las restricciones para este problema consisten en que dos reinas no pueden colocarse en la misma fila, ni en la misma columna ni en la misma diagonal. Por ejemplo, el problema de las 4 -Reinas tiene dos posibles soluciones: [2, 4, 1, 3] y [3, 1, 4, 2].

Backtracking. Ejemplo Problema N-Reinas

Backtracking. Ejemplo Problema N-Reinas 1 2 6 3 4 5 7 8 9 10 14 15 17 11 12 13 Soluciones 16

Índice § § § Introducción Backtracking paralelo Branch and Bound paralelo

Backtracking paralelo n n n Esquema no puramente paralelo, es un esquema utilizado en programación secuencial que se intenta paralelizar. Esto supone que la ganancia de tiempo no sea tan elevada como se pudiera esperar a priori. Se intenta distribuir el espacio de búsqueda entre los distintos procesadores, de forma que cada uno busque la solución del problema en un subespacio de soluciones distinto. Así se exploran varias ramas del árbol de soluciones al mismo tiempo por distintos procesadores. Aumentan las posibilidades de encontrar la solución del problema en menor tiempo.

Backtracking paralelo

Backtracking paralelo P 0 P 1

Backtracking paralelo n n Un factor crítico a la hora de formular un algoritmo de backtracking en paralelo es cómo se realizará la distribución del espacio de búsqueda entre los distintos procesadores. Dos alternativas: n n Asignación estática Asignación dinámica

Backtracking Paralelo Asignación estática n n n Un procesador expande el nodo raíz y genera varios nodos. A cada procesador se le asigna un número de estos nodos. Así se divide el espacio de búsqueda global entre los distintos procesadores. Cada procesador comienza a buscar la solución en el espacio de búsqueda que le corresponda, siguiendo el proceso normal de backtracking. No se necesitan comunicaciones entre procesos.

Backtracking Paralelo Asignación estática n n n Problema: No se sabe a priori si se divide el espacio de búsqueda equitativamente entre los distintos procesadores. Puede haber desequilibrio entre la carga de trabajo de los procesadores. A un procesador puede que se le asigne poco trabajo y este la mayor parte de tiempo inactivo.

Backtracking Paralelo Asignación estática P 0 P 1

Backtracking Paralelo Asignación estática P 0 P 1

Backtracking Paralelo Asignación dinámica n n n Cada procesador trabaja en una parte del espacio de búsqueda. Cuando un procesador termina de trabajar, solicita más trabajo a otro procesador que tiene más trabajo. Proceso: n n n Cada procesador dispone una pila en su espacio local para guardar nodos no expandidos. Cuando un procesador expande un nodo, los nuevos nodos que se crean se introducen en la pila. Cuando la pila de un procesador esta vacía, el procesador solicita nodos de la pila de otro procesador.

Backtracking Paralelo Asignación dinámica n n n Al principio, el espacio total de búsqueda es asignado a un procesador y a los demás procesadores no se les asigna ningún trabajo. Ese procesador será el encargado de distribuir inicialmente el trabajo cuando los demás procesadores se lo soliciten. A los procesos que envían trabajo se les denomina donadores y a los que lo solicitan y lo reciben se les denomina receptores.

Backtracking Paralelo Asignación dinámica n Un procesador puede estar en 2 estados: n n n Activo: Esta realizando algún trabajo. Inactivo: Al procesador no le queda ningún nodo por explorar en su pila y esta solicitando trabajo a otros procesadores. Estado inactivo: n n n El procesador selecciona un procesador donador y le envía una petición de trabajo. Si recibe trabajo del donador, se activa y comienza a trabajar. Si recibe un mensaje de reject (el procesador donador esta inactivo), selecciona a otro procesador donador para enviarle una petición de trabajo.

Backtracking Paralelo Asignación dinámica n Estado inactivo: n Este proceso se repite hasta que el procesador recibe trabajo del donador o hasta que todos los procesadores entran en estado inactivo.

Backtracking Paralelo Asignación dinámica n Estado activo: n n El procesador realiza una cantidad de trabajo fijo (expande un nº determinado de nodos). Cuando termina de realizar el trabajo, chequea si existen peticiones de trabajo a cargo de los demás procesadores. Si recibe alguna petición de trabajo, el procesador donador particiona en dos partes su pila de nodos, y envía una parte al procesador que realizo la petición. Cuando el procesador ha recorrido todo su espacio de búsqueda (su pila esta vacía), entra en estado inactivo.

Backtracking Paralelo Asignación dinámica Servicio pendiente de recibir mensajes Procesador Activo Procesador Inactivo Termina el trabajo disponible Realizar una cantidad de trabajo fija Seleccionar un procesador y solicitarle trabajo Comienza a trabajar Servicio pendiente de recibir mensajes No existe trabajo disponible Enviar una petición

Backtracking Paralelo Asignación dinámica n n Cuando un procesador encuentra la solución, envía un mensaje de broadcast a todos procesadores para estos paren la búsqueda. Si no se recibe este mensaje, el algoritmo terminará cuando todos los procesos estén en estado inactivo.

Backtracking Paralelo n Los algoritmos paralelos de búsqueda en un árbol de soluciones tienen 2 características fundamentales que determinan su rendimiento: n n La estrategia utilizada para dividir el trabajo de un procesador cuando éste recibe una petición de trabajo. El esquema usado para determinar el procesador donador cuando un procesador entra en estado inactivo.

Estrategia de División del trabajo n n Cuando un procesador donador recibe una petición de trabajo de otro procesador y tiene nodos su pila, el procesador donador divide su pila en dos y una de ellas se envía al proceso que realizo la petición. Si se envía poco trabajo, el receptor rápidamente pasa a estar en estado inactivo. Si se envía demasiado trabajo, el donador entrará rápidamente en estado inactivo. Lo ideal sería dividir la pila en dos partes iguales de modo que el espacio de búsqueda representado por cada una sea el mismo.

Backtracking Paralelo Estrategia división de trabajo n n A este método se le llama “División por la mitad”. Pero la dificultad reside en estimar el tamaño que tendrán los subarboles asociados a cada uno de los nodos que se encuentran en la pila. Normalmente los nodos cercanos al fondo de la pila (nodos con profundidad cercana al nodo raíz del procesador) tienen más posibilidades de generar árboles de mayor tamaño. Los nodos más cercanos al tope de la pila (nodos que están a mayor profundidad) tienen más posibilidades de generar árboles de menor tamaño.

Backtracking Paralelo Estrategia división de trabajo n n n Para evitar mandar cantidades pequeñas de trabajo, los nodos de la pila que están más allá de una determinada profundidad no son enviados. A esta profundidad se le llama “cota de profundidad”. Algunas estrategias posible para la división del trabajo son: n n Enviar nodos cercanos al fondo de la pila Enviar nodos cercanos a la cota de profundidad. Enviar la mitad de los nodos que están entre el fondo de la pila y la cota de profundidad. La idoneidad de una estrategia u otra dependerá de la naturalidad del espacio de búsqueda.

Backtracking Paralelo Estrategia división de trabajo 1 2 4 Pila 3 5 7 6 8 10 12 13 7 11 9 11 14 9 Cota de profundidad 13 14

Backtracking Paralelo Esquemas de balanceo de carga n n Los esquemas de balanceo de carga se utilizan para decidir que procesador donador se elige cuando un procesador entra en estado inactivo. Algunos esquemas posibles son los siguientes: n n n Round Robin Asíncrono Round Robin Global Selección aleatoria

Round Robin Asíncrono n n Cada procesador mantiene una variable local llamada “target”. Cuando un procesador termina de trabajar, usa el valor de su variable “target” para determinar el procesador donador al que enviar la petición de trabajo. Cada vez que se envía una petición, se incrementa en una unidad el valor de la variable “target” del procesador: target = ((target+1) modulo p) El valor inicial de target será: target 0 = ((nº procesador+1) modulo p)

Round Robin Global n n Existe una única variable “target” almacenada en el procesador P 0. Cuando un procesador necesita trabajo, solicita y recibe el valor de la variable target de P 0. Una vez que se sabe cual es el procesador donador, el procesador le envía una petición de trabajo. Luego, P 0 incrementa la variable target antes de responder a otra petición. target = ((target+1) modulo p)

Round Robin Global n n Este esquema garantiza que sucesivas peticiones de trabajo se distribuyen uniformemente entre todos los procesadores. La desventaja principal de este esquema es que el procesador P 0 debe gestionar todas las peticiones de acceso a la variable target, y esto puede convertirse en un cuello de botella.

Selección aleatoria n n Es el esquema más simple de todos Cuando un procesador entra en estado inactivo, se elige un procesador al azar. Cada procesador tiene la misma probabilidad de ser seleccionado como donador. Así se asegura que las peticiones se distribuyan uniformemente.

Backtracking Paralelo Detección de terminación n Cuando un procesador encuentra una solución del problema se envía un mensaje de broadcast a todos los procesadores para indicarle que terminen. Pero cuando no se encuentra ninguna solución. ¿Cómo detectar cuando termina el proceso de búsqueda? A continuación se describen dos algoritmos para detectar la terminación de la búsqueda. n n Algoritmo de terminación de Dijkstra´s. Algoritmo de terminación basado en árbol.

Algoritmo de terminación de Dijkstra´s n n Los procesadores se organizan en un anillo lógico y se irán pasando un token. Un procesador puede estar en dos estados: blanco o negro. Un token también puede estar en dos estados: blanco o negro. Inicialmente todos los procesadores están en estado blanco.

Algoritmo de terminación de Dijkstra´s n El algoritmo es el siguiente: n n n Cuando P 0 esta inactivo, el procesador crea un token y envía un token blanco al procesador P 1. Si el procesador Pi envía trabajo al procesador Pj (i>j), el procesador Pi cambia a estado negro. Si el procesador Pi tiene el token y esta inactivo, pasa el token al Pi+1. Si Pi está en estado negro, el color del token se establecerá a negro antes de pasarlo a Pi+1. Si Pi esta en estado blanco, el token se pasa sin cambiarlo. Cuando Pi pasa el token a Pi+1 pasa a estado blanco. El algoritmo termina cuando a P 0 le llega un token blanco.

Algoritmo de terminación basado en árbol n n n Se asocia un peso a cada procesador. Inicialmente, P 0 tiene todo el trabajo y se le asocia un peso de 1. Cuando Pi particiona y manda trabajo a otro procesador, Pi se queda con la mitad del peso y la otra mitad se la envía al otro procesador. Cuando un procesador termina su trabajo, se devuelve el peso al procesador del que se recibió el trabajo. El algoritmo termina cuando el peso del procesador P 0 vuelve a ser 1.

Algoritmo de terminación basado en árbol w 0=0. 5 w 1=0. 5

Algoritmo de terminación basado en árbol w 0=0. 5 w 1=0. 5 w 0=0. 5 w 1=0. 25 w 2=0. 25

Algoritmo de terminación basado en árbol w 0=0. 5 w 1=0. 5 w 0=0. 5 w 1=0. 25 w 2=0. 25 w 0=0. 25 w 1=0. 25 w 2=0. 25 w 3=0. 25

Algoritmo de terminación basado en árbol w 0=0. 5 w 1=0. 25 w 2=0. 25 w 0=0. 25 w 1=0. 5 w 3=0. 25 w 0=0. 25 w 1=0. 25 w 2=0. 25 w 3=0. 25

Algoritmo de terminación basado en árbol w 0=0. 5 w 1=0. 25 w 2=0. 25 w 0=0. 25 w 1=0. 25 w 2=0. 25 w 0=0. 5 w 3=0. 25 w 0=0. 25 w 1=0. 5 w 3=0. 25

Algoritmo de terminación basado en árbol w 0=0. 5 w 1=0. 25 w 2=0. 25 w 0=0. 25 w 1=0. 25 w 2=0. 25 w 0=0. 5 w 3=0. 25 w 0=0. 25 w 1=0. 5 w 0=1 w 3=0. 25

Índice § § § Introducción Backtracking paralelo Branch and Bound paralelo

Branch and Bound n n Técnica similar a Backtracking Suele utilizarse en problemas de optimización. Este esquema puede verse como una mejora del esquema de backtracking. Al igual que en backtracking, el algoritmo realiza una búsqueda sistemática en un árbol de soluciones.

Branch and Bound n Pero Branch and Bound añade dos características nuevas: n n n Estrategia de ramificación: La búsqueda se guiará por estimaciones de beneficio que se harán en cada nodo. Estrategia de poda: Para eliminar nodos que no lleven a a la solución óptima. Estimación de cotas de beneficio en cada nodo. Para cada nodo tendremos la siguiente información: n n Cota inferior (CI) y cota superior (CS) de beneficio que se puede obtener a partir del nodo. Determinan cuando se puede realizar una poda. Estimación del beneficio que se puede encontrar a partir del nodo. Ayuda a decidir el orden de evaluación de los nodos.

Estrategia de poda n Suponemos un problema de maximización. Se han recorrido varios nodos y ha estimado la cota inferior y superior de cada uno de ellos. 1 3 9 2 3 2 15 4 5 12 25

Estrategia de poda n El nodo 2 puede podarse, ya que el nodo 5 tiene una cota inferior mayor que la cota superior del nodo 2. 3 9 1 x 2 2 3 15 4 5 12 25

Estrategia de ramificación n Se pueden utilizar distintas estrategias para recorrer el árbol de soluciones. Puede recorrerse en profundidad, en anchura, según el beneficio estimado, … Se utiliza una lista de nodos vivos (contiene nodos generados y aún no explorados). Algoritmo: n n n Sacar un nodo de la lista de nodos vivos Generar sus descendientes Si no se podan, se introducen en la lista de nodos vivos.

Estrategia de ramificación n ¿Qué criterio se utiliza para seleccionar el nodo que se saca de la lista de nodos vivos? n n n Estrategia FIFO Estrategia LIFO Estrategia del menor costo

Complejidad n El tiempo de ejecución depende: n n n Número de nodos recorridos. Tiempo gastado en cada nodo. En el caso promedio se suelen obtener mejoras respecto al algoritmo de backtracking. Pero en el pero caso, el tiempo puede ser peor. Se debe buscar un compromiso entre la exactitud de las cotas y el tiempo utilizado en calcularlas.

Conclusiones n n En general, el esquema de branch and bound suele obtener mejores resultados que el de backtracking. Sigue siendo muy ineficiente.

Índice § § § Introducción Backtracking paralelo Branch and Bound parelelo

Branch and Bound paralelo n n Al igual que sucedía con backtracking, no es un esquema puramente paralelo. En el proceso secuencial, se necesita información global para poder hacer la poda de nodos. Se puede paralelizar distintos tipos de niveles. Tipos de niveles: n Búsqueda paralela ejecutando el algoritmo con distintos parámetros sobre el espacio global de búsqueda en varios procesadores. Cálculo de cotas, de estimaciones, y criterio selec.

Branch and Bound paralelo n Tipos de nivel. n n Se paralelizan partes del algoritmo. La estructura del algoritmo no cambia. Por ejemplo, se expanden en paralelo los nodos. Se divide el espacio de búsqueda entre los procesadores. De la lista de nodos vivos se asignan nodos distintos a cada procesador. La distribución del trabajo puede ser estática o dinámica, del mismo modo que sucedía con backtracking.

Asignación estática n n A cada procesador se le asigna un número fijo de nodos de la lista de nodos vivos. Los procesos pueden comunicarse la cotas o no. n Si no se comunican las cotas: n n n Si se comunican las cotas: n n n Se necesitan pocas comunicaciones entre procesos. Puede que se estudien nodos que se podían haber podado. Se evita que los procesadores estudien nodos innecesarios. Se necesitan bastantes comunicaciones entre los procesos. Además, al asignar los nodos estáticamente puede darse un desbalanceo de carga de trabajo entre los procesadores.

Asignación dinámica n n Puede utilizarse una bolsa de tareas para asignar los nodos a los procesos de forma dinámica, como se hacía con backtracking. Pero ahora tenemos la opción de comunicar las cotas. Los procesadores toman los nodos y los exploran y depositan los descendientes de los nodos explorados en la bolsa de trabajo. Existen dos estrategias para depositar los nodos: inmediata o pospuesta.

Asignación dinámica n Actualización inmediata n n n Cuando se generan los descendientes de un nodo se introducen de inmediato en la bolsa. Muchas comunicaciones. Actualización pospuesta n n Cuando se generan los descendientes de un nodo no se introducen de inmediato en la bolsa, se sigue generado descendientes a partir de estos. Cada cierto tiempo se introducen en la bolsa. Ventajas: Pueden podarse algunos nodos y no se accede tanto a la bolsa de tareas.

Asignación dinámica n Sistema de memoria compartida n n Se tiene una estructura centralizada de donde los procesadores toman e introducen tareas. Sistema de memoria distribuida n n Se tienen bolsas de trabajo en uno o en varios procesadores. Las peticiones y el depósito de los trabajos conllevan comunicaciones. Se descentraliza la bolsa de tareas. Actualización inmediata o pospuesta.

Asignación dinámica n Comunicación de cotas: n Si se comunican las cotas con mucha frecuencia, se podrán podar más nodos pero puede pederse eficiencia al realizar tantas comunicaciones. n Si no se comunican con mucha frecuencia, no se podarán tantos nodos pero no habrá tantas comunicaciones.

Asignación dinámica n Una única bolsa de trabajos n n n Varias bolsas de trabajos n n Mayor contención. La bolsa puede convertirse en un cuello de botella. Aumenta el desbalanceo de las tareas Se trata de buscar un compromiso entre el desbalanceo y la contención.