algoritmi approssimati 1 Algoritmi approssimati Per qualche problema

algoritmi approssimati 1

Algoritmi approssimati Per qualche problema NP-completo esistono algoritmi polinomiali che ritornano soluzioni “quasi ottime”. Un algoritmo approssimato A ha scostamento garantito r(n) se per ogni input di dimensione n il costo C della soluzione prodotta da A si discosta per un fattore r(n) dal costo C* di una soluzione ottima: max(C/C*, C*/C)≤ r(n) l’errore relativo di un algoritmo approssimato A è dato da |C-C*|/C*. L’algoritmo A ha un errore relativo limitato da (n) se |C-C*|/C* ≤ (n) 2

Schemi di approssimazione Uno schema di approssimazione (Sd. A) per un problema di ottimizzazione è un algoritmo approssimato A che prende in input un’istanza di un problema e un qualsiasi valore >0 ed è in grado di risovere l’istanza con errore relativo limitato da . Uno schema di approssimazione polinomiale è uno Sd. A che per qualsiasi >0 dato richiede un tempo polinomiale rispetto a n per risolvere il problema. Uno Sd. A pienamente polinomiale (fully polynomial approximation scheme) è uno Sd. A polinomiale il cui tempo di esecuzione è polinomiale sia per 1/ che per la dimensione n dell’input dell’istanza. 3

Vertex cover. Dato un grafo G trovare un sottinsieme S di dimensione minima dei vertici di G, tale per cui ogni arco abbia almeno un vertice in S. Vertex cover è NP-completo (riduzione da sottografo completo). 4

Vertex cover Algoritmo approssimato per vertex cover: S = E = E[G] while E sia (u, v) un arco arbitrario in E S = S {u, v} togli da E ogni arco incidente in u o in v return S 5

Vertex cover: esempio b c d a e f g 6

Vertex cover: esempio b c d a e f g 7

Vertex cover: esempio b c d a e f g 8

Vertex cover: esempio b c d a e f g 9

Vertex cover: esempio cover ottima b c d a e f g 10

Vertex cover: esempio Teorema L’algoritmo presentato trova un insieme S che è una copertura dei vertici e che non contiene più del doppio del numero dei vertici in una vertex cover minima. Questo algoritmo approssimato ha rapporto limite pari a 2. 11

Il problema del commesso viaggiatore Nel problema del commesso viaggiatore (TSP), dato un grafo completo non orientato pesato G=(V, E, w), con costi interi non negativi, si deve trovare un ciclo hamiltoniano su G di costo minimo. Ipotesi: è sempre più economico andare direttamente da un posto u a un posto v direttamente piuttosto che passando per stazioni intermedie w (disuguaglianza triangolare). 12

Approx-TSP Un algoritmo approssimato per TSP con disuaglianza triangolare è: Approx-TSP-Tour(G, w) 1 seleziona un vertice radice r V 2 costruisci un MST T per G dalla radice r 3 sia L la lista dei vertici visitati con la visita in ordine anticipato di T 4 return il ciclo hamiltoniano H che visita i vertici nell’ordine di L 13

Approx-TSP: esempio a d e b f g c h 14

Approx-TSP: esempio a d e b f g c h 15

Approx-TSP: esempio a d e b f g c h 16

Approx-TSP: esempio a d e b f g c h 17

Approx-TSP: grado Teorema Approx-TSP-Tour è un algoritmo approssimato con grado limite pari a 2 per il problema TSP che soddisfa la disuguaglianza triangolare 18

Altri problemi Esistono molti problemi per i quali sono stati definiti algoritmi approssimati. Ad esempio: Set Covering Subset Sum. . . 19