Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi Optimal

Algoritma Golden Section Search untuk Mencari Solusi Optimal pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

PENDAHULUAN Pemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu peubah : max (atau min) Masalah: - Belum tentu f ’(x) = 0 (f. o. c) ada pada selang tersebut - Solusi f ’(x) = 0 (f. o. c) pada selang tersebut tidak dapat diselesaikan secara langsung Algoritma ini berusaha menyelesaikan permasalahan di atas, selama fungsi mempunyai sifat tertentu. Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Algoritma Golden Section Search (kasus maksimisasi) Syarat : f(x) harus bersifat unimodal pada [a, b], artinya jika x* adalah titik optimal pada [a, b] maka • f(x) adalah fungsi monoton naik pada interval [a, x*] • f(x) adalah fungsi monoton turun pada interval [x*, b] Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Pada kasus Max • Jika f(x) adalah fungsi unimodal pada [a, b], maka hanya ada satu lokal maksimum pada [a, b], dan lokal maksimum tersebut adalah solusi permasalahan optimasi. Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

• Kasus sebaliknya, jika f(x) bukan fungsi unimodal pada [a, b] solusi tidak dapat diperoleh. Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Algoritma Golden Section Search Berdasarkan sifat f(x) yang unimodal pada selang [a, b], Konsep Dasar algoritma adalah mempersempit selang daerah asal, sehingga mencapai titik optimal Interval-interval di mana solusi optimal selang ketidakpastian a Penyempitan selang x 1 x 3 x 4 x 2 Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc berada: b

Beberapa Kasus Sifat Fungsi untuk Selang Ketidakpastian yang lebih sempit di dalam [a, b] • Untuk x 1 dan x 2 di dalam [a, b] • Kasus I: f(x 1) < f(x 2) – f(x) fungsi naik pada sebagian [x 1, x 2] dan unimodal – Titik optimal bukan pada [a, x 1], akan tetapi pada [x 1, b] Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

• Untuk x 1 dan x 2 di dalam [a, b] • Kasus II: f(x 1) = f(x 2) – f(x) fungsi turun pada sebagian selang [x 1, x 2] – Karena sifat unimodal, titik optimal pasti tidak lebih dari x 2 – Kemungkinan letak titik optimal [a, x 2] Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

• Untuk x 1 dan x 2 di dalam [a, b] • Kasus III: f(x 1) > f(x 2) – f(x) fungsi turun pada sebagian [x 1, x 2] dan unimodal – Titik optimal bukan pada [x 2, b], akan tetapi pada [a, x 2] Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Prosedur Penyempitan Selang Ketidakpastian 1. Dimulai dengan [a, b] sebagai selang ketidakpastian pertama. Evaluasi sifat f(x 1) dan f(x 2) 2. Tentukan kasus yang mana (1 sampai dengan 3) sebagai dasar penyempitan selang ketidakpastian 3. Evaluasi sifat f(x) pada dua titik di dalam selang ketidakpastian yang baru. Kembali ke langkah 2 sampai selang ketidakpastian relatif sangat kecil Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Penentuan Ujung Kiri x 1 dan Ujung Kanan x 2 selang Ketidakpastian yang baru • x 1 : Pindahkan ujung kanan selang lama (b) ke arah kiri sejauh r bagian selang lama. x 1= b – r(b – a) • x 2 : Pindahkan ujung kiri selang lama (a) ke arah kanan sejauh r bagian selang lama x 2= a + r(b – a) Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

• Selang ketidakpastian setelah iterasi ke k: Ik • Panjang selang ketidakpastian setelah iterasi ke k: Lk • Untuk iterasi 0 , L 0 =b – a • Pada iterasi pertama bisa saja I 1=[a, x 2] atau I 1=[x 1, b] • Panjang selang: L 1= x 2 – a = a + r(b – a) – a = r(b – a) atau L 1= b – x 1 = b – (b – r(b – a)) = r(b – a) Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Ilustrasi prosedur selanjutnya • Dari selang terbaru, akan ditentukan dua titik baru x 3 dan x 4 di mana f(x) akan dievaluasi • Kasus 1: f(x 1) < f(x 2) – I 1=[x 1, b], L 1= b – x 1 = r(b – a) • x 3 = b – r. L 1 = b – r(b – x 1 )= b – r 2(b – a) • x 4 = a + r. L 1 = a + r(b – x 1 )= a + r 2(b – a) Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

• Kasus 2: f(x 1) > f(x 2) – I 1=[a, x 2], L 1= x 2 – a = r(b – a) • x 3 = x 2 – r. L 1 = b – r(x 2 – a)= b – r 2(b – a) • x 4 = a + r. L 1 = a + r(x 2 – a) = a + r 2(b – a) Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Keistimewaan Alogritma Golden Section Search • Tetapan r = 0. 618 adalah solusi dari persamaan kuadrat r 2 + r =1 • Atau r 2 =r – 1, dengan besaran ini: • Pada kasus 1 akan berlaku: • x 3 = b – r 2(b – a) = b – (1 – r) (b – a) = a + r(b – a) = x 2 • Titik kiri dalam selang baru (x 3 ) adalah titik kanan dalam selang lama (x 2 ) Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Keistimewaan Alogritma Golden Section Search • Pada kasus 2 akan berlaku: • x 4 = a + r 2(b – a) = a + (1 – r) (b – a) = b – r(b – a) = x 1 • Titik kanan dalam selang baru (x 4 ) adalah titik kiri dalam selang lama (x 1 ) Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Keistimewaan Alogritma Golden Section Search • Lebar selang pada iterasi ke k mempunyai bentuk khusus: – Lk =rk(b – a) = rk L 0 • Sehingga jika iterasi dihentikan sampai Lk < ε maka: • rk L 0 < ε ↔ k < (ln ε – ln L 0)/ln r • Jumlah iterasi dapat ditetapkan terlebih dahulu dengan hubungan tersebut Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc

Soal • Terapkan algoritma Golden Section untuk menentukan: Dr. Rahma Fitriani, S. Si. , M. Sc