Algebraische Entscheidungsbume Vortrag zum Seminar ber Algorithmen Behsaad
Algebraische Entscheidungsbäume Vortrag zum Seminar über Algorithmen • Behsaad Ramez • 6. Sem. Informatik(Diplom) 2/23/2021 Behsaad Ramez 1
Übersicht • Vergleichsbäume • Algebraische Berechnungsbäume • Lineare Entscheidungsbäume • Algebraische Entscheidungsbäume • Beispiele 2/23/2021 Behsaad Ramez 2
Vergleichsbäume • Allgemeine Sortieralgorithmen • Darstellung durch Vergleichsbaum 2/23/2021 Behsaad Ramez 3
Untere Schranke • n! Blatter => Höhe • Beispiel Tennisturnier 2/23/2021 Behsaad Ramez 4
Algebraischer Berechnungsbaum • Algorithmus: 2/23/2021 Behsaad Ramez 5
Beispiel 2/23/2021 Behsaad Ramez 6
Definitionen • Problem P ist im Berechnungsbaummodell lösbar, wenn • Zeitkomplexität von ist die Höhe von T • Zeitkomplexität von P ist die minimale Höhe von allen Bäumen die P lösen. 2/23/2021 Behsaad Ramez 7
Algebraische Entscheidungsbäume • S={YES, NO} ist Entscheidungsproblem, wenn • Beispiel element uniqueness: Ein algebraischer Berechnungsbaum , der ein Entscheidungsproblem löst , wird algebraischer Entscheidungsbaum genannt. 2/23/2021 Behsaad Ramez 8
sei ein Entscheidungsproblem • • Ein Punkt falls • wird YES-Instanz genannt , sei die Menge aller YES-Instanzen. • Beispiel element uniqueness: 2/23/2021 Behsaad Ramez 9
Untere Schranke • Untere Schranke kann über Topologie von werden • von gefunden ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten • Untere Schranke im linearen Entscheidungsbaummodell: • Untere Schranke im algebraischen Entscheidungsbaummodell: 2/23/2021 Behsaad Ramez 10
Lineare Entscheidungsbäume • Jeder Berechnungsknoten u ist mit beschriftet: • Z(u) ist lineare Funktion auf den Eingabevariablen 2/23/2021 Behsaad Ramez 11
R(w) • R(w) sei die Menge aller Eingaben , für die terminiert im Blatt w • seien die Knoten , auf dem Weg zu w , die zwei Kinder haben. • R(w) ist dann die Menge aller Punkte für die gilt: 1. 2. falls man bei nach links geht nach rechts geht Ist lineare Funktion auf der Eingabe 2/23/2021 Behsaad Ramez 12
Konvexität von R(w) • R(w) ist konvex 2/23/2021 Behsaad Ramez 13
Untere Schranke für Höhe h • A, B seien zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten eines Problems P • , Blätter terminiert sind verschieden in denen Anzahl Blätter von T 2/23/2021 Behsaad Ramez 14
Element Uniqueness • seien verschiedene Permutationen von 1. . n • Punkte sind in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von 2/23/2021 Behsaad Ramez 15
Allgemeine Untere Schranke Im algebraischen Entscheidungsbaummodell ist R(w) nicht immer konvex 2/23/2021 Behsaad Ramez 16
Satz • Seien • Der Grad von , Polynome auf n Variablen sei kleiner oder gleich g Die Menge W hat höchstens Zusammenhangskomponenten 2/23/2021 Behsaad Ramez 17
Umformung von Ungleichungen • Grad sind Polynome, 2 • W ist die Menge der Punkte für die gilt: 2/23/2021 Behsaad Ramez 18
Umformung von Ungleichungen • sei ein beliebiger Punkt aus der j-ten Zusammenhangskomponente von W. • 2/23/2021 ist dann: Behsaad Ramez 19
Umformung von Ungleichungen • mit b+c neuen Variablen formen wir E, N, P in polynomielle Gleichungen um. • W‘ sei die Menge aller Punkte : Die Projektion von W‘ auf die ersten n Koordinaten ergibt 2/23/2021 Behsaad Ramez 20
Entscheidungsbäume reduzieren • zum Blatt sei ein Pfad p in T von der Wurzel. • s sei die Anzahl der Anweisungen auf p. • Man kann R(w) mit k+s polynomiellen Ungleichungen auf n+k Variablen darstellen • seien die Eingabewerte repräsentieren 2/23/2021 Behsaad Ramez , 21
Ersetzungsregeln Gehe auf p entlang und füge für Gleichungen und Ungleichungen hinzu Wird zu 2/23/2021 Behsaad Ramez 22
• Sei r die Anzahl der Berechnungsknoten , s die Anzahl der Funktionen und t die Anzahl der Entscheidungen für den linken Weg • Es gibt s+t polynomielle Ungleichungen • Es gibt k-r-t polynomielle > Ungleichungen • Da wir n+k Variablen haben folgt aus 2/23/2021 Behsaad Ramez 23
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Beispiele • Element Uniqueness: • Sorting • Closest Pair • Diskriminante • Set Disjointness • Resultante 2/23/2021 Behsaad Ramez 25
Danke! 2/23/2021 Behsaad Ramez 26
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