Algebra lineal Matrices Ingeniera agrnoma grado en hortofruticultura

Algebra lineal Matrices Ingeniería agrónoma grado en hortofruticultura y jardinería Jorge Cerezo Martínez

Índice n n n n 1. Introducción 2. ¿Qué es una matriz? n 2. 1 Clasificación de las matrices n 2. 2. Tipos de matrices cuadradas 3. Suma de matrices 4. Producto de matrices por números 5. Producto de matrices 6. Matriz traspuesta 7. Rango de una matriz y método de Gauss 8. Aplicaciones de una matriz

Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty; a beauty cold and austere, like that of sculpture Bertrand Russell Mathematics is the language in which God wrote the universe Galileo Galilei

1. Introducción Resumen n n n El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Pero. Los losárabes mayores El primer también adelantos uso de hicieron matrices se sucedieron uso fue dechino ellasen el siglo XVIII Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C. , Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693. Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa). Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX. El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices. Olga Taussky-Todd (1906 -1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

2. ¿Qué es una matriz? n n Es una tabla bidimensional (dos dimensiones, ancho y largo) de una colección ordenada de elementos colocados en filas y columnas. Se llama matriz de dimensión a un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas de la siguiente forma. Las matrices se denotan con letras mayúsculas; sus elementos con minúsculas y subíndice que indique fila y columna. Columna Fila Elemento Minúscula Mayúscula

2. 1. Clasificación de Matrices n Matriz fila: Es una matriz con una sola fila y n columnas. Su dimensión 1 x n n Matriz columna: Es una matriz con m filas y una sola columna. Su dimensión es m x 1 n Matriz nula: Es una matriz en la que todos sus elementos son ceros. Se representa por 0. n Matriz cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, está forma por n filas y n columnas. Si su dimensión es n x n, diremos que su orden es n.

2. 2. Tipos de matrices cuadradas n Diagonal principal: Está formada por todos los elementos de la forma aii. n Matriz triangular superior: Cuando todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. n Matriz triangular inferior: Cuando todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. n Matriz diagonal: Cuando todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son ceros. n Matriz identidad: Cuando es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son unos. Se denota por I.

3. Suma de matrices n La suma de dos o más matrices de la misma dimensión es otra matriz de la misma dimensión, cuyos elementos son la suma de los elementos de las matrices que ocupan la misma posición. De donde se deduce: A + B = C, siendo cij = aij + bij n Como la suma de matrices se realiza elemento, cumple propiedades análogas a las de la suma de números reales. Verbi gratia Calcule A+B-C= D

4. Producto de matrices por números n El producto de un número real k por una matriz A es otra matriz de la misma dimensión que A, cuyos elementos se obtienen al multiplicar k por cada uno de los elementos de A. De donde se deduce: k · A= C, siendo cij =k · aij Verbi gratia Calcule k·A = C

5. Producto de matrices n El producto de una matriz A, de dimensión m x n, por otra matriz B, de dimensión n x p, es otra matriz, C, de dimensión m x p, cuyo elemento cij se obtiene al multiplicar la fila i-ésima de la primera matriz por la columna j-ésima de la segunda. De donde se deduce: A · B = C, siendo cij = ai 1 + b 1 j + ai 2 + b 2 j +…+ aim · bmj 6 7 n n n 1 5 1 9 0 · 2 3 = 4 0 Asociativa (A·B) ·C = A·(B·C) Elemento neutro Im ·A = A·In = A Distributiva v v n 2 Por la izquierda A·(B+C) = A·B + A·C Por la derecha (B+C)·A = B·A + C·A Conmutativa: En general no la cumple 34 17 24 34

6. Matriz traspuesta n La matriz traspuesta At, de una matriz A de dimensión m x n, es otra matriz de dimensión n x m que se obtiene al cambiar en A las filas por columnas o las columnas por filas. De donde se deduce: Si A = (aij), entonces At = (aji) 0 1 1 2 3 5

7. Rango de una matriz y método de Gauss n Una fila no nula Fi de una matriz dependiente linealmente de las filas Fj 1, Fj 2, …, Fjm si se cumple que: F = k 1 Fj 1+k 2 Fj 2+…+k. Fjm n n n Una fila de una matriz es linealmente independiente cuando no depende linealmente de otras filas de la matriz. El rango de una matriz A, Rango (A), es el número de filas o de columnas no nulas, linealmente independientes que tiene la matriz. El método de Gauss para hallar el rango de una matriz consiste en convertir la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal sean ceros, utilizando las transformaciones elementales adecuadas. El rango de la matriz será el número de filas no nulas que tiene la matriz triangular que hemos obtenido. Las transformaciones elementales que se pueden realizar en la matriz son: Ø Ø Ø Intercambiar el orden de la fila i por la fila j. Lo escribimos como Fi ↔ Fj Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus elementos por un número a ≠ 0. Lo escribimos como Fi = a Fi Sustituir la fila i o la fila j por la suma de ambas, multiplicadas por números a y b no nulos. Lo escribimos como Fi = a Fi + b. Fj Rango (A) = 2

8. Aplicaciones de una matriz n Mi jefe, Charlie Happy Agronomist, tiene un gran problema, dirige una importante empresa de exportación, pero siempre le sobra producto que no vende, eso supone importantes perdidas que derivan en el mal humor del jefe, como ingeniero tenía que hacer algo. Lo primero fue elaborar una relación entre el dinero y el humor del jefe. Caso A Caso B Caso C Cantidad de dinero que renta la empresa Cara de todo capitalista codicioso

¡¡Buscad una solución por el amor de Dios!! ¡¡Daos prisa o os bajaré el sueldo piltrafillas!! ? ? ? ? ?

n n Tenemos el caso C, el jefe está cabreado, pensemos pues una solución. Mi jefe trabaja con muchas fincas y cada una le proporciona distintos productos hortofrutícolas Jacinta’s Company Paco&Pepe’s Company Duli S. L. Galindo S. A. Miajica’s Company Cooperativa Murciana

n Entonces llamé a todo el personal y empezamos a pensar, debíamos de hacerlo rápido o el jefe nos despediría a todos. Sí, el guapo soy yo

¿Cómo ordeno los productos? Patata Tomate Pimiento 10. 000 0 90. 000 800. 000 1. 200. 000 0 250. 000 500. 000 0 200. 000 0 1. 500. 000 475. 125 750. 000 700. 000 179. 000 3. 500 230. 000 Galindo S. A. 1. 000. 500 250. 000 460. 000 560. 000 300. 000 70. 000 Cooperativa Murciana 2. 000 1. 000 80. 000 0 0 10. 000 0 100. 000 0 900. 000 60. 000 0 Jacinta’s Company Paco&Pepe’s Company Duli S. L. Miajica’s Company Lechuga Pera Manzana

¿Solución? ¡¡¡Matrices!!!

Conclusión Ahora la empresa puede ordenar los productos dependiendo del lugar de origen y el tipo de producto. Así nunca se compra más de la cuenta. Por consiguiente: • Nos La • Y empresa me han hesubido comprado obtiene el sueldo muchos una casa y a beneficios mí enme la playa han ascendido ¡¡Así se hace!!

Si al final por mucho que digan las matemáticas sirven para todo