Algebra de Boole SISTEMAS DIGITALES I Introduccin al

Algebra de Boole SISTEMAS DIGITALES I

Introducción al Algebra de Boole v. En 1854 el matemático inglés George Boole formalizó un sistema algebraico de dos valores para expresar cierto razonamiento humano v. Ejemplo: Yo iré a Zonda, si Carlos o Mario va y si Juan no va v. En 1938 C. Shannon adaptó el algebra de Boole para describir el comportamiento de circuitos construidos con relés (usados para implementar lógica digital). v. Usamos F para representar si voy a Zonda, y usamos ‘ 1’ para representar que voy y ‘ 0’ no voy: Operadores Lógicos Booleanos F = (C or M) and not( J) Función Lógica Booleana Variable Lógica Booleana Nota: El trabajo presentado por G. Boole era titulado “An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities”

Ejemplos v Un Sistema de apagado de incendio (sprinklers) comezará a dejar fluir agua si el sensor de calor supera un valor límite y si el sistema está habilitado. v. La alarma de un auto sonará si la alarma está habilitada, y el auto se mueve o si una puerta es abierta.

Operadores Booleanos Implementacion de Operadores Booleanos Usando Transistores Simbolo Logico Funcion Logica Circuito Con Transistores Nota: Estos circuitos con transistores son ineficientes, después se verán mejores implementaciones

Diagrama de Tiempo de Compuertas Lógicas Tiempo

Construcción de Circuito Lógico con Compuertas a Sensor de Movimiento Circuito Lógico f b Sensor de Luz a b Circuito Lógico f

Ejemplo Convertir en circuito lógico la siguiente función lógica: F = a AND NOT (b OR NOT (c) )

Ejemplo 2 Sistema de luz de advertencia del cinturón de seguridad Sensores: • S = 1, cinturón ajustado • K = 1, llave de encendido insertada • P = 1, persona en el asiento • Función Booleana: • Persona en el asiento, Y cinturón no ajustado, Y llave insertada • F = P and not (S) and K k p s Función Lógica f

Axiomas del Algebra de Boole Usaremos un variable simbólica, por ej. X, para representar la condición de una señal lógica Una señal lógica puede tener dos posibles valores, ‘alto’ o ‘bajo’, ‘on’ o ‘off’, ‘ 1’ o ‘ 0’ (dependiendo de la tecnología) Los axiomas o postulados de un sistema algebraico constituyen el mínimo número de definiciones que se asumen ser verdaderas, a partir de las cuales se pueden derivar todas las demás reglas algebraicas del sistema

Axiomas del Algebra de Boole A 1 X = 0 if X = 1 A 1’ X = 1 if X = 0 A 2 if X = 0, then X’ = 1 A 2’ if X = 1, then X’ = 0 X X’ ~X X X Y = X’

Axiomas del Algebra de Boole A 3 0. 0=0 A 3’ 1+1=1 A 4 1. 1=1 A 4’ 0+0=0 A 5 0. 1=1. 0=0 A 5’ 1+0=0+1=1 X y Z=X. Y Producto Lógico (Compuerta AND) X y Z=X+Y Suma Lógica (Compuerta OR) Nota: en una expresión lógica que tiene multiplicación y suma lógica, la multiplicación lógica tiene precedencia sobre la suma lógica

Teoremas del Algebra de Boole T 1 X+0=X T 1’ X. 1 =X T 2 X+1=1 T 2’ X. 0=0 T 3 T 4 X+X=X (X’)’ = X T 3’ X. X=X T 5 X + X’= 1 T 5’ X. X’ = 0

Teoremas del Algebra de Boole T 6 X+Y=Y+X T 6’ X. Y=Y. X T 7 (X + Y) + Z = X + (Y + Z) T 7’ (X. Y). Z = X. (Y. Z) T 8 X. Y + X. Z = X. (Y + Z) T 8’ (X + Y). (X + Z) = X + Y. Z T 9 X+X. Y =X T 9’ X. (X + Y) = X T 10 X. Y + X. Y’ = X T 10’ (X + Y). (X + Y’) = X T 11 X. Y + X’. Z + Y. Z = X. Y + X’. Z T 11’ (X + Y). (X’ + Z). ( Y + Z) = (X + Y ). (X’ + Z)

Teoremas del Algebra de Boole T 7 (X + Y) + Z = X + (Y + Z) T 7’ (X. Y). Z = X. (Y. Z)

Teoremas del Algebra de Boole T 8 X. Y + X. Z = X. (Y + Z) T 8’ (X + Y). (X + Z) = X + Y. Z

Teoremas del Algebra de Boole T 9’ X+X. Y =X. 1+X. Y X. (X + Y) = X T 1’ =X(1+Y) T 8 =X. 1 T 2 =X T 1’ X Y X + XY X Y igual X

Teoremas de De Morgan El complemento de un producto de variables lógicas es IGUAL a la suma de los complementos de las variables lógicas XY = X + Y (XY)’ = X’ + Y’

Teoremas de De Morgan El complemento de una suma de variables lógicas es IGUAL al producto de los complementos de las variables lógicas (X + Y) = X. Y (X+Y)’ = X’. Y’

Ejemplos de Aplicación de De Morgan 1 - Aplicar el teorema de De Morgan a las siguientes expresiones: XYZ X+Y+Z

Función Booleana Es una función cuyo valor resultante (‘ 0 o ‘ 1’) dependerá del valor de las variables lógicas y de los operadores lógicos que las vinculan Una función booleana se puede generar de dos formas distintas Dado un circuito lógico, se obtiene la función lógica respectiva Dado un algoritmo verbal, se obtiene la función lógica que lo satisface y se genera el circuito lógico correspondiente

Representación de Función Booleana con Tabla de Verdad: Define el valor de la función (F) por cada posible combinación de los valores lógicas de las variables lógicas entrada Función Booleana de 2 entradas: 4 filas Función Booleana de 3 entradas: 8 filas Función Booleana de 4 entradas: 16 filas

Representación de Función Booleana con Tabla de Verdad: Define el valor de la función (F) por cada posible combinación de los valores lógicas de las variables lógicas entrada

Obtención Función Booleana Desde Un Circuito Dado el siguiente circuito obtener la función booleana respectiva F= AB’CD+ABC’D’+ABC’D+ABCD’+ABCD

Obtención Función Booleana Desde Algoritmo Verbal Algoritmo verbal: Determinar cuando el valor de un numero representado con tres variables lógicas es un numero par A B F C F = ? ?

Circuitos Lógicos con Múltiple Salidas Muchos circuitos lógicos tienen mas de una salida Se puede: ØHacer un circuito separado para cada salida ØUsar términos lógicos comunes Ejemplo: F = ab + c’ G = ab +bc

Circuitos Lógicos con Múltiples Salidas Tabla de Verdad: Numero binario 4 bits a Display 7 segmentos W X Y Z Decodificador Binario-7 Segmentos a b c d e f g

Circuitos Lógicos con Múltiples Salidas Contar el número de ‘ 1’ de tres variables de entrada

Mas Compuertas NAND/NOR son mas comunes de usar

Retardo de Tiempo en una Compuerta Lógica Ideal Real Tiempo

Retardo de Tiempo en una Compuerta Lógica

Correcta conexión entre Compuertas Lógicas

Precedencia de Operadores Booleanos Asumiendo que A=1, B= 1, C=0 y D= 1, las siguientes operaciones lógicas se evalúan del modo explicado: 1. F = AB+C a) Se evalúa primero el producto lógico de AB (es decir A and B, o A. B) y luego al resultado se le suma C. El producto lógico tiene precedencia sobre la suma lógica. 2. F = AB’ a) Se evalúa primero B’, porque el operador lógico NOT tiene precedencia sobre el operador lógico AND. Así, F = 1. (1’) = 1. (0) = 1. 0 = 0 3. F = (AC)’ a) El paréntesis hace que se evalue primer lo que esta dentro del mismo, y luego al resultado se le aplica el operador NOT. F = (1. 0)’ = (0)’ = 1 4. F = (A+B’). C+D’ a) Primero se evalúa el paréntesis: (1+1’)=(1+0)=1. Luego el producto lógico del resultado del paréntesis con C: 1. 0 = 0. Antes se realizar la suma lógica, se evalúa D’: 1’ = 0. Por último la suma lógica, OR, entre 0 + 0 = 0.