ALGEBR clasa a VIIIa SISTEME DE ECUAII xy1
ALGEBRĂ clasa a VIII-a SISTEME DE ECUAŢII x=y+1 2 x-y=-4 x+2 y=4 2 x-y=0
BALANŢE şi SISTEME x=masa unui cilindru; y=masa unei bile. x=y+1 x+2 y=4
REZOLVARE ALGEBRICĂ 1. METODA SUBSTITUŢIEI x=y+1 x+2 y=4 În a doua ecuaţie a sistemului, înlocuim pe x cu y+1 şi obţinem o ecuaţie numai în y. (y+1)+2 y=4 3 y=4 -1 3 y=3 y=1. Ne întoarcem la substituţie pentru a-l afla şi pe x. x=y+1 şi y=1 x=1+1 x=2. Sistemul dat are soluţie unică: perechea ordonată de numere naturale nenule (2, 1), adică x=2 şi y=1. Am aflat: masa unui cilindru=2 kg; masa unei bile=1 kg.
2. METODA REDUCERII x=y+1 x+2 y=4 Scriem prima ecuaţie a sistemului astfel: x-y=1 Înmulţim cu -1 această ecuaţie, pentru a-l reduce pe x. -x+y= -1 x+2 y= 4 3 y=4 -1 3 y=3 y=1. Înmulţim cu 2 prima ecuaţie, pentru a-l reduce pe y. 2 x-2 y= 2 x+2 y= 4 3 x=2+4 3 x=6 x=2. Sistemul dat are soluţie unică: perechea ordonată de numere naturale nenule (2, 1), adică x=2 şi y=1. Am aflat: masa unui cilindru= 2 kg; masa unei bile= 1 kg.
SAU COMBINAT x=y+1 x+2 y=4 Scriem prima ecuaţie a sistemului astfel: x-y=1 Înmulţim cu -1 această ecuaţie, pentru a-l reduce pe x. -x+y= -1 x+2 y= 4 3 y=4 -1 3 y=3 y=1. Ne întoarcem în prima ecuaţie pentru a-l afla şi pe x. x=y+1 şi y=1 x=1+1 x=2. Sistemul dat are soluţie unică: perechea ordonată de numere naturale nenule (2, 1), adică x=2 şi y=1. Am aflat: masa unui cilindru= 2 kg; masa unei bile= 1 kg.
DE ŢINUT MINTE • Soluţie a unui sistem este o soluţie comună pentru toate ecuaţiile acestuia. • Sistemele de ecuaţii se pot rezolva prin metoda reducerii sau metoda substituţiei. Prin oricare din metode se urmăreşte obţinera unei ecuaţii care conţine o singură necunoscută • Putem aplica simultan ambele metode.
3. METODA GRAFICĂ x=y+1 x+2 y=4 Prima ecuaţie a sistemului este ecuaţia unei drepte d. Intersecţia dreptei d cu Oy: x=0 y=-1 (0, -1) Intersecţia dreptei d cu Ox: y=0 x=1 (1, 0) A doua ecuaţie a sistemului este ecuaţia unei drepte g. Intersecţia dreptei g cu Oy: x=0 y=2 (0, 2) Intersecţia dreptei g cu Ox: y=0 x=4 (4, 0) Reprezentăm grafic cele două drepte d şi g pentru a afla: - poziţia lor relativă; - coordonatele eventualului punct comun.
REPREZENTAREA GRAFICĂ x=y+1 x+2 y=4
CONCLUZII Dreptele d şi g sunt concurente într-un punct P. Citim de pe grafic abscisa 2 şi ordonata 1. Deci P(2, 1). Verificăm, prin înlocuirea în ecuaţiile sistemului, acurateţea determinărilor grafice: x=2 şi y=1 2=1+1(adevărat) şi 2+2 1=4(adevărat). Sistemul dat are soluţie unică: perechea ordonată de numere naturale nenule (2, 1), adică x=2 şi y=1. Am aflat: masa unui cilindru= 2 kg; masa unei bile= 1 kg.
Alte sisteme de ecuaţii rezolvate cu metoda grafică Sistemul 1. x-y=1 x+y=3 Sistemul 2. 2 x-y=-4 x+y=1 Sistemul 4. 2 x-y=3 2 x+y=1 Sistemul 3. y=-2 2 x-y=0 Sistemul 5. 2 x-y=-4 2 x-y=0 Sistemul 6. 3 x+3 y=3 x+y=1
Sistemul 1. x-y=1 x+y=3 d, g concurente sistemul are soluţie unică
Sistemul 2. 2 x-y=-4 x+y=1 d, g concurente sistemul are soluţie unică
Sistemul 3. y=-2 2 x-y=0 d, g concurente sistemul are soluţie unică
Sistemul 4. 2 x-y=3 2 x+y=1 d, g concurente sistemul are soluţie unică
Sistemul 5. 2 x-y=-4 2 x-y=0 d//g (dem? ) sistemul nu are soluţii
Sistemul 6. 3 x+3 y=3 x+y=1 d=g sistemul are o infinitate de soluţii
DE ŢINUT MINTE • Soluţie a unui sistem este o soluţie comună pentru toate ecuaţiile acestuia. • Soluţia unui sistem poate fi aproximată prin reprezentarea grafică a ecuaţiilor sistemului. • De fiecare dată verificăm, prin înlocuirea în ecuaţiile sistemului, acurateţea determinărilor grafice.
Un profesor către elevii săi: - În primul semestru toate notele au fost slabe, astfel încât aţi ajuns la marginea prăpastiei. Dar, . . . graţie eforturilor depuse în al doilea semestru, constat că aţi făcut un mare pas înainte !
ÎNAPOI IEŞIRE x=y+1 2 x-y=-4 x+2 y=4 2 x-y=0
- Slides: 19