Algbre de Boole Prsent par Mr KARKOUB Rida

Algèbre de Boole Présenté par: Mr: KARKOUB Rida Mme: ERRAIH Izza

plan • • • Introduction Les opérateurs logiques et Tables de vérité Les règles de simplification Tableau de karnaugh Conclusion

Introduction • L algèbre de Boole développée au 19ème siècle par George Boole concerne la logique des systèmes binaires. C'est une structure algébrique qui ne contient que deux éléments, que l'on appelle t variables booléennes.

Introduction • Une variable logique : sert à représenter le niveau d une grandeur électrique; • Ces variables ne peuvent avoir que deux états, 1 ou 0 (ture ou false), et respectent quelques règles de calcul que nous détaillerons plus loin.

Les opérateurs logique et Table de vérité • L'algèbre de Boole : utilise plusieurs opérateurs que l'on nomme opérateurs booléens, opérateurs logiques, ou encore fonctions logiques ou portes logiques (terme plus propre à l'électronique). • Une table de vérité : permet de connaitre l'état logique S de l'équation, en fonction des états des variables. La table de vérité la plus simple est la suivante :

Les opérateurs logique et Table de vérité • L addition logique : la porte logique OU (OR) Les interrupteurs A et B sont en parallèles. Dans ce cas la lampe s allume si l un ou l autre des interrupteurs est fermé et on peut écrire : A + B = F

Les opérateurs logique et Table de vérité • Table de vérité OU (OR):

Les opérateurs logique et Table de vérité • La multiplication logique : la porte logique ET (AND) Dans ce cas les interrupteurs sont en série. La lampe s allume si les deux interrupteurs sont fermés. On écrit alors A+B = F

Les opérateurs logique et Table de vérité • Table de vérité Et(AND):

Les opérateurs logique et Table de vérité • L inversion logique : la porte logique NON (NOT) En raisonnant sur les interrupteurs comme variables logiques il n y avait que deux opérations logiques fondamentales (+ et. Toutefois le transistor en commutation utilisé comme variable logique a introduit une 3ème opération logique

Les opérateurs logique et Table de vérité • Table de vérité NON(NOT):

Les opérateurs logique et Table de vérité • Table de vérité NON-OU(NOR):

Les opérateurs logique et Table de vérité • La multiplication logique avec inversion : porte logique NONET (NAND)

Les opérateurs logique et Table de vérité • la porte logique OU exclusif ( ) ou XOR

Les règles de simplification • Axiomes

Les règles de simplification • Théorèmes • Fonctions à une variable

Les règles de simplification • Théorèmes • Fonctions à deux variables

Les règles de simplification • Théorèmes • Fonctions 3 variables

Les règles de simplification • Théorème de Morgan

Les règles de simplification • AUTRES OPERATEURS LOGIQUES

Tableau de karnaugh • La réduction, pour une même expression, du nombre d'opérateurs et/ou du nombre de variables exprimées, conduit à une écriture simplifiée de cette expression.

Tableau de karnaugh la simplification par le tableau de Karnaugh se fait par: • Regrouper les valeurs de S égales à 1 dans des rectangles ayant comme nombre de cases une puissance de 2 (16, 8, 4, 2 ou 1 cases); • Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles, mais ils doivent englober tous les 1 a intérêt à dessiner des rectangles plus grands possibles.

Tableau de karnaugh • CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH o Tableau à 3 variables

Tableau de karnaugh • CONSTRUCTION DU TABLEAU DE KARNAUGH o Tableau à 4 variables

Tableau de karnaugh • Exemples