Algbre de BOOLE Laurent JEANPIERRE jeanpliutc 3 unicaen

Algèbre de BOOLE Laurent JEANPIERRE <jeanpl@iutc 3. unicaen. fr> D’après le cours de Pascal FOUGERAY IUT de CAEN – Campus 3

Contenu du cours l Introduction l Portes logiques de base l Propriétés intéressantes l Résolution d’un problème logique l Équivalence entre circuits

Définitions Algèbre binaire l Variables booléennes : ne prennent que deux valeurs VRAI ou FAUX. l Opérateurs décrits par une table de vérité l l Opérateurs réalisés par des portes logiques George BOOLE (1815 -1864)

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Opération suiveuse (OUI) Table de vérité XS 0 0 1 1 Symbole S=X Équation

Opération inverseuse (NON) Table de vérité Symbole XS 0 1 1 0 _ S = ¬X = X Équation Remarque : La barre oblique est utilisée dans tous les symboles pour représenter la fonction de négation

Opération produit (ET) Table de vérité A 0 1 B 0 0 1 1 S 0 0 0 1 Symbole Équation S = A. B = AB = A^B

Opération somme (OU) Table de vérité A 0 1 B 0 0 1 1 S 0 1 1 1 Symbole Équation S = A+B = A[B = A_B

Opération NON-ET (NAND) Table de vérité A 0 1 B 0 0 1 1 S 1 1 1 0 Symbole Équation ____ S = A. B = AB = A^B

Opération NON-OU (NOR) Table de vérité A 0 1 B 0 0 1 1 S 1 0 0 0 Symbole Équation ____ S = A+B = A[B = A_B

Opération dilemme (OU exclusif, XOR) Table de vérité A 0 1 B 0 0 1 1 S 0 1 1 0 Symbole S = A⊕B Équation

Opération NON OU exclusif (NEXOR) Table de vérité A 0 1 B 0 0 1 1 S 1 0 0 1 Symbole ____ S = A⊕B Équation

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Propriétés algébriques Lois ET OU Identité 1. A = A 0+A = A Nullité 0. A = 0 1+A = 1 Associativité (A. B). C = A. (B. C) (A+B)+C = A+(B+C) Commutativité A. B = B. A A+B = B+A Distributivité A. (B+C) = A. B + A. C Idempotence A. A = A A+A = A Inversion Absorption (1) A. (A+B) = A A+A. B = A Absorption (2) Loi de De Morgan

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Les problèmes logiques l l 1 Problème Plusieurs variables Expressions possibles : l l l Français Table de vérité Équations Circuits logiques Exemple : l l Fonction majorité F(A, B, C) = 1 majorité de 1 Table de vérité A 0 0 0 B 0 0 1 C 0 1 0 F 0 0 1 1 1 0 1 1 1

Fonction Majorité (équations) l. F l l l. F Table de vérité = ¬A. B. C + A. ¬B. C + A. B. ¬C + A. B. C = A. B + A. C + B. C l F = A. (B+C) + B. C l… A 0 0 0 B 0 0 1 C 0 1 0 F 0 0 1 1 1 0 1 1 1

Tableaux de Karnaugh Représentation compacte (non unique) l Couramment utilisé pour 3/4 variables l Utilise un code de Gray l Cherche les regroupements maximaux l A=0 A=1 B=0 B=1 F C=0 C=1 F=¬C F=B D=0 F=D. ¬B F=B. ¬D D=1 F=C. D. ¬B F=B. C. ¬A D=0 F=A. B. C. ¬D

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Équivalence de circuits Il est possible de réaliser toutes les fonctions logiques avec des NAND ou de NOR l Il suffit de remarquer que : l l l ¬(X. X) = ¬X et ¬(X + X) = ¬X ¬¬X = X A+B = ¬¬(A+B) = (¬A NAND ¬B) Loi de De Morgan A. B = ¬¬(A. B) = (¬A NOR ¬B) Loi de De Morgan Ce principe est utilisé dans les CPLD et les FPGA (voir le cours sur la conception).

Ex : XOR avec des NAND l A⊕B = A. ¬B + B. ¬A = ¬(¬(A. ¬B). ¬(B. ¬A )) l A⊕B = (A nand ¬B) nand (B nand ¬A) l A⊕B = (A nand B)) nand (B nand (A nand B))

Ex : NEXOR avec des NOR