Alac Luxembourg 12052016 Duration Vectorielle et ALM francis

Alac Luxembourg 12│05│2016 Duration Vectorielle et ALM francis. vaguener@willistowerswatson. com Mobile : +32 477 61 92 59 Vaguener ǀ Willis Towers Watson 1

AGENDA 1. Rappels 2. Duration, convexité, ALM 2. 1 Définition et Motivation 2. 2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 2. 3 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 1 t 3. Duration vectorielle, ALM : ΔR(t) = ε 0 + ε 1 t + ε 2 t² Annexe Vaguener ǀ Willis Towers Watson 2

1. RAPPELS Vaguener ǀ Willis Towers Watson 3

1. Rappel : Duration comme instant d’immunisation • Soit un investissement obligataire VI(0, r) : capitalisons la valeur actuelle VI(0, r) de l’investissement à l’instant D et calculons la valeur de D qui annule la dérivée de VI(D, r) par rapport à r • A cet instant D, la perte (le gain) sur le réinvestissement des coupons est compensée par l’augmentation (la diminution) de la valeur de l’obligation consécutive à une diminution (augmentation) du taux d’intérêt sur le marché pratiqué pour un instrument financier similaire. Vaguener ǀ Willis Towers Watson 4

1. Rappel : Duration comme mesure de sensibilité, Convexité • Intéressons-nous cette fois à la sensibilité de la valeur d’une obligation à une variation du taux d’intérêt r • Et en développant en série V(0, r) jusqu’au terme d’ordre 2, on a : Vaguener ǀ Willis Towers Watson 5

1. Rappels : Duration et convexité à taux continu • Duration (1) • Convexité (2) Vaguener ǀ Willis Towers Watson 6

Introduction aux notions de 2. DURATION, CONVEXITÉ, ALM Vaguener ǀ Willis Towers Watson 7

2. 1 Définitions et Motivation • Définition ALM La gestion actif-passif (Asset and Liability Management, ou ALM) peut se définir comme un ensemble de techniques visant à coordonner les décisions relatives à l’actif et au passif, dans le but de protéger et d’optimiser la richesse nette. • Partons d’une position initiale d’équilibre : G(0) = VA(0) – VL(0) = 0 (3) • Motivation : Analyser dans un contexte déterministe la sensibilité de G(0) à une variation du taux d’intérêt pratiqué sur le marché en partant d’une position initiale d’équilibre (G(0)=0). Vaguener ǀ Willis Towers Watson 8

2. 2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 • Supposons par exemple qu’immédiatement, après l’instant initial d’évaluation des positions de l’actif et du passif, la courbe de taux subisse un déplacement parallèle (à la hausse ou à la baisse) d’un montant positif ou négatif ε 0 tel que : • La position est immunisée Si • Admettons : 1. 2. Cash-flows d’actifs A(t) et de passifs L(t) insensibles à la courbe des taux. Mouvement parallèle ε 0 de la courbe des taux. Vaguener ǀ Willis Towers Watson 9

2. 2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 • Développons en série G(0, ε 0) jusqu’au terme d’ordre 2 au voisinage de ε 0=0 • Si : • Calculons Vaguener ǀ Willis Towers Watson et , alors la position initiale G(0, 0) est immunisée et et 10

2. 2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 • Calculons avec • Première condition d’immunisation d’une position d’équilibre G(0, 0) = 0 (4) Vaguener ǀ Willis Towers Watson 11

2. 2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 • Calculons (5) • Compte tenu des relations (2), (4) et (5), on peut écrire : • Seconde condition d’immunisation d’une position d’équilibre G(0, 0) = 0 (6) Vaguener ǀ Willis Towers Watson 12

2. 2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 • En synthèse, partant d’une position initiale d’équilibre G(0, 0)=0, les conditions d’immunisation contre une déplacement parallèle de la courbe des taux d’intérêt sur le marché sont : • Egalité des valeurs actuelles : VA(0) = VL(0) • Egalité des Durations : DA = DL Si taux r plat • Condition de Convexité : QA ≥ QL Vaguener ǀ Willis Towers Watson 13

2. 2 Duration et Convexité : ΔR(t) = ε 0 : exemple l Exemple : considérons que les structures de l’actif et du passif soient, d’une part, composées des cash-flows repris dans la figure ci-dessous et, d’autre part, que le taux d’intérêt en base annuelle initial r soit de 5 % et donc un taux continu équivalent de 4, 879 % 104, 2 V(t) 158, 313 A(t) 80 t=0 l t=6 l 80 t=8, 564 t=12 Calculons les durations et convexités de la structure des actifs et passifs (voir relations (1) et (2)) l l Vaguener ǀ Willis Towers Watson La position initiale est équilibrée puisque VA(0)=VL(0)=104, 244 Calculons les effets d’une hausse et d’une baisse du taux de 50 pb : ε 0=± 0, 005 La position est immunisée, MAIS estce toujours vrai ? 14

2. 3 Duration et Convexité : Si ΔR(t) = ε 1. t l l Considérons la même position initiale, mais la courbe des taux subit un effet de pente ou de rotation, c’est-à-dire un déplacement non parallèle. Calculons les effets de pente de la courbe des taux sur la position initiale si ε 1 prend les valeurs de 2, 5 % (hausse) et -2, 5% (baisse) Vaguener ǀ Willis Towers Watson Position non immunisée si ε 1<0 15

Introduction à la notion de 3. DURATION VECTORIELLE Vaguener ǀ Willis Towers Watson 16

3. Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1. t + ε 2. t² l l Soit un instrument financier délivrant les flux : courbe des taux initiale tel que : évalué sous la Admettons une déformation de la courbe des taux avec effets de niveau, de pente et courbure, V(0) devient V(0+) tel que: (7) l Intéressons-nous au facteur d’actualisation autour du point initial (0, 0, 0) en le développant en série (8) Vaguener ǀ Willis Towers Watson 17

3. Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1. t + ε 2. t² l On peut donc utiliser ce développement pour approcher le nouveau facteur d’actualisation après déformation de la courbe des taux. (8) l Calculons les dérivées du premier et second ordre : Vaguener ǀ Willis Towers Watson 18

3. Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1. t + ε 2. t² l Remplaçons dans (8) les dérivées par leur valeur : (8) (9) l l Nous obtenons : L’approximation de la valeur actuelle (7) des flux sous la nouvelle courbe des taux devient : (10) Vaguener ǀ Willis Towers Watson 19

3. Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1. t + ε 2. t² l La duration d’ordre i : l Nous obtenons à partir de la relation (10) : (11) (12) Voir annexe l Appliqué au GAP actif Passif, nous obtenons : Vaguener ǀ Willis Towers Watson 20

3. Duration vectorielle : ΔR(t) = ε 0 + ε 1. t + ε 2. t² § Si on désire obtenir une protection contre une variation plus importante des trois effets, à savoir les déplacements de niveau, de pente et de courbure, la stratégie consiste à posséder : • des actifs et des passifs de même duration du premier, du deuxième, du troisième, du quatrième et du cinquième ordre. • des actifs de duration du sixième ordre supérieure ou égale à celle des passifs § Nous pouvons généraliser en adoptant une modification de la courbe des taux de type polynomiale limitée aux k premiers termes. Vaguener ǀ Willis Towers Watson 21

Merci de votre attention Référence : Devolder, Fox, Vaguener, Mathématiques Financières, 2ème édition Pearson, Montreuil, juin 2015 Vaguener ǀ Willis Towers Watson 22

Annexe : expression (12) Vaguener ǀ Willis Towers Watson 23