Aktif Filtre Tasarm Ders II Pasif Filtreler Transfer

Aktif Filtre Tasarımı Ders II Pasif Filtreler

Transfer Fonksiyonu • Filtreler çalışma karakteristikleri frekansa bağımlı olan kapasitör ve indüktör gibi elemanlar kullanılarak tasarlanır. • Bu elemanlar aynı zamanda üzerlerine uygulanan akım voltaj arasında 90 o’lik bir faz kaymasına neden olmaktadır. • Karmaşık (complex) empedanslar sırasıyla bobin için ZL=s. L olurken, kapasitör için ZC=1/s. C olmaktadır. • Burada karmaşık frekans s=σ+jw ile verilmektedir.

Transfer Fonksiyonu • s=σ+jw ifadesinde: σ=sönümleme sabiti (neper frekansı- Np/s) w=açısal frekans (rad / s) • Transfer fonksiyonu, başlangıç şartları sıfır alınmak şartıyla, s-ortamında, bir dinamik sistemin giriş ve çıkışı arasındaki dinamik ilişkiyi veren denklemdir. • Transfer fonksiyonu H(s) ile tanımlanabilir.

Transfer Fonksiyonu • Xo elektronik bir sistemin çıkışındaki akım ya da voltajı temsil etsin. • Benzer şekilde Xi de aynı sistemin girişini temsil etsin. • O halde böyle bir sistemin transfer fonksiyonu: • H(s)=Xo/Xi ile tanımlanır. • Burada Xo(t)=L-1[H(s)Xi(s)] ile bulunabilir. L-1 (Laplace transformunu) Xi(s) ise Xi(t)’nin s domenindeki karşılığını verir.

Transfer Fonksiyonu • Genelleştirilmiş transfer fonksiyonu tanımı: • Burada N(s) ve D(s) m’inci ve n’inci dereceden gerçel değerlere sahip s domenindeki polinomlar olarak ifade edilmiştir. • Ayrıca paydanın derecesi filtrenin derecesini belirlemektedir.

Transfer Fonksiyonu • Pay ve paydanın kökleri yani N(s)=0, ve D(s)=0, sırasıyla sıfırlar ve kutuplar olarak adlandırılır ve z 1, z 2, …, zm ve p 1, p 2, …, pn ile tanımlanır. • Böylece transfer fonksiyonu H(s): haline gelir. Burada Ho=am/bm (ölçeklendirme faktörü olarak adlandırılır.

Transfer Fonksiyonu • Transfer fonksiyonunun kökleri aynı zamanda filtrenin kritik (köşe) frekanslarını da tanımlamaktadır. • Kökler gerçel ya da karmaşık olabilir. Transfer fonksiyonunun sıfır ve kutupları karmaşık ise aynı zamanda eşleniktir (conjugate). – Örnek olarak pk= σk+jwk ve pk= σk-jwk gibi.

Transfer Fonksiyonu • Transfer fonksiyonunun kökleri gerçel ve sanal düzlemde noktalar halinde temsil edilirler. • Gerçel katsayılar σk yatay olan gerçel düzlemde gösterilirken, karmaşık katsayılar ise wk ise yatay olan sanal (imaginer) düzlemde gösterilirler. • Kökler gösterilirken sıfırlar “o” ile tanımlanırken, kutuplar ise “x” ile gösterilirler.

Transfer Fonksiyonu • Örnek: Aşağıda görülen devrenin transfer fonksiyonunu elde ederek, kutup ve sıfırlarının yerlerini grafik düzlemde belirleyiniz.

Transfer Fonksiyonu • Örnek: Devrede Vo=[R. Vi/(s. L+1/s. C+R)] ile elde edilebilir. Buradan devrenin transfer fonksiyonunu yazmak istersek: H(s)=Vo/Vi=RCs/[LCs 2+RCs+1] elde edilir. Transfer fonksiyonu düzenlendiğinde: H(s)=R/L x s/[s 2+(R/L)s+1/LC] haline getirilir. Böylece genelleştirilmiş ifadeye benzetilir.

Transfer Fonksiyonu • Örnek: Eleman değerleri yerine yazıldığında transfer fonksiyonu: H(s)=2 x 103 x s/{[s-(-1+j 2) x 103] x [s-(-1 -j 2) x 103]} • Yani bu devrenin transfer fonksiyonu orijinde 2 x 103 değerine sahip bir sıfıra ve -1 + j 2 eşlenik karmaşık kutup değerlerine sahiptir. Diğer bir değişle pasif filtrenin köşe frekans değerleri elde edilmiştir.

Transfer Fonksiyonu ve Kararlılık • Bir elektronik sistem sınırlı bir girişe karşı sınırlı bir çıkış üretiyorsa kararlı olarak adlandırılır. • Bir elektronik devrenin kararlı olup olmadığını anlayabilmek için devrede herhangi bir kaynak aktif değilken, devrenin enerji depolayan elemanları bir miktar enerjilendirilir ve devrenin bu duruma karşı davranışı incelenir. • Bu durumda elde edilen devre cevabı kaynak bağımsız ya da doğal devre cevabı olarak adlandırılır.

Transfer Fonksiyonu ve Kararlılık • Enerji depolayan devre elemanlarının enerjilendirilmesi en basit şekliyle devreye bir darbe girişinin (impulsive input) uygulanması ile olabilir. • Darbe girişinin laplace dönüşümü 1’e eşittir. • Böylece H(t)=L-1[H(s)] olmaktadır. • Burada dikkat çekmesi gereken nokta bu durumun transfer fonksiyonunun kutuplarınca belirlenmesidir.

Filtre Cevabı Karakteristikleri • Filtre cevabı karakteristikleri Butterworth, Bessel ve Chebyshev yaklaşımları kullanılarak modellenebilmektedir. • Şekilde bir alçak geçiren filtre için üç farklı yaklaşım gösterilmektedir.

Butterworth filtre • Butterworth filtre passband içinde mümkün olduğu kadar düz bir frekans responsa (frekans tepkisi) sahip olabilmek için dizayn edilmiş bir Sinyal işleme filtre tipidir. • Ayrıca maksimum düz magnitüd filtre olarak da tarif edilir. • İlk defa 1930 yılında ingiliz mühendis ve fizikçi Stephen Butterworth tarafından "On the Theory of Filter Amplifiers“ makalesinde tarif edilmiştir. – In Wireless Engineer (also called Experimental Wireless and the Wireless Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536– 541

Butterworth filtre • Durdurma bandında ve geçiş bandında dalgalanma olmaz. Geçiş bandı içinde maksimum düz bir frekans tepkisine sahiptir, durdurma bandı içinde ise sıfıra doğru yaklaşır. • Butterworth filtre derecesi arttığında diğer filtrelerden farklı olarak durma bandında sert düşüş dışında frekans genlik eğrisinde şeklini korur.

Butterworth filtre • Butterworth filtre, Chebyshev filtrelere göre daha geniş geçiş bölgesine sahip olduğundan, durma bandı özelliklerinin doğru olarak uygulanabilmesi için yüksek derecelere ihtiyaç duyar. • Chebyshev filtreye göre daha doğrusal bir frekans tepkisine sahiptir.

Chebyshev Filtre • Chebyshev filtreleri bir çeşit yüksek-Q filtreleridir. Bu filtreler; söndürme bandında dik iniş istenildiğinde, geçiş bandının düz olmasının gerekli olmadığı durumlarda kullanılır. • Bu filtre cevabında, geçiş bandı dalgalanmasına izin verilir. Butterworth cevabına oranla söndürme bandındaki başlangıç inişleri daha keskindir.

Chebyshev Filtre • Bu karşılaştırma Şekilde eğriler n=3 derecesindeki filtreler içindir. Chebyshev filtresi, geçişbandında 3 d. B’lik dalgalanma yapar. • Butterworth filtresinden 10 d. B kadar söndürme bandında daha fazla zayıflama yapar. • Chebyshev Filtre Parametrelerinin Yapay Sinir Ağları. Kullanılarak Hesaplanması. Oğuzhan Yavuz, M. Can Bayram, Tülay Yıldırım,

Bessel Filtre • Buttenworth ve Chebyshev filtreleri, daha önce gösterildiği gibi sıçrama davranışlarında önemli bir salınma göstermektedirler. • Optimal kare biçimi davranışı, frekansa bağımlı olmayan gecikme zamanlı, yani frekansla orantılı faz kaymalı filtreler göstermektedir. • Bessel filtresi -Thomson filtresi diye de adlandırılır.