AKREDITAN ZMNA OZNAEN PEDMTU z CW 13 na

AKREDITAČNÍ ZMĚNA OZNAČENÍ PŘEDMĚTU – z CW 13 na CW 057 CW-057 LOGISTIKA 41. PŘEDNÁŠKA Teorie grafů – 0 - úvod Leden 2017 © Ing. Václav Rada, CSc.

۩ TEORIE GRAFŮ 1. pokračování ☺ březen 2017

POKRAČOVÁNÍ další …. . POKRAČOVÁNÍ --- informací --- z oblasti TEORIE GRAFŮ Březen 2016 ☺

Teorie grafů patří mezi relativně mladé matematické disciplíny. Jedná se o obor matematiky, pomocí něhož lze formulovat a řešit mnoho problémů z různých oblastí, nejčastěji celočíselné a kombinatorické povahy – problémů, které lze (relativně snadno) vyjádřit v grafické formě. Březen 2016

ta n – (o ný a om --- c sle rien ne --- yklu d u tov orie z tup gr an n s l ů tov á – a n , f ma ých ické uza -- po neo aný xim zá pis rie vy vře áln visl jád ná c vz nto í – ost řen es tah van m ta í ů í á v ) ini z tah má ů a lní )

me rát o r el a n mé á to jón proj mus í u í ně t , . k a až při ro kil by do po om zn u áš stu etr uli OZ ce ů … po N. : c í P po s v v a … ce r éh šty l ta stu oblé … o k, ž jící mů. m ho e u “ je „čí j vě nsk de é no co vá ho li n p sto o dro noš bn e“ a ý s pe „obc ciá h lní odn výk ího lad !

nk ho mu mu vé r á h s s t o í p í me po k zá a ři n ž trů s k d áv ým … tupo azn uz štěv ick …… va é l t OZ ě e h t m. a z o N. : k , že rajó (kř áka P ce ujd nu ižov zstu roblé. a jící mů e t m ho c o “ je „čí ne vě nsk jmé no ého vá ně n p listo o n dro o bn še“ a ý s pe „obc ciá h lní odn výk ího lad !

rat pojí mí usí uz l n š m m y s ov í k e e u c ed ud uz sp př es e ida éh tou ly av l m n s li ili a t h o s du e k. ran tup ch t ob nej ontr o ým pr ně y kra olu ný , ov. a s je t b , t š u ed y zd p po í. n e a ěm me stu ce p i sta v d po ruh šťá ém ka je př ípa du.

á ny mate tku 1 cké jejich m p do ( ma 8. s zák ate l t a r t i t k e o u d ov hd a E let m y s ec a a y) í u , n ké tick – t l e e yn h j oré r s ý í a o o K du u a alin m m m s y jící ing p ) ě í o s s s r j t ad pe úlo e n t n ě a - ú e za y ha j s K ze s o ch e u ycu je po mí Ru öni ska gs jící važ - n b da ov a ře erg no ána ce u p Pr z eg rob a k ola lem lasi ) atik cko u. u de

řez - ro lem z ěs í c k j e h lád ta , u k a r ter á s č mi při it, z é js e n mo tom da a o s u d l př z t m v ů s e o p o ep p u n o ž ř a j n e lav e v ny ali sně p o pro štív i řek ou jít p t vš u ( ze viz jed řes k echn ob no ažd y čá ráz u, ek ani ý ze sti )? ž b y-

os tro áb vy + ř mo eží + stů … Au tho r B og da n G iuş că r P ite l

Se d dv m m ab os né ř ho ehy tů a od mě da p gra ovíd sta ají a bra f cí ze v j … pro i jící ný n í m teo m pri odpo zo víd rie nci gra pům afů. jdě te s i to !!!

dý m iz o ém e v m na š b p ec ost ne zák ráze řefo hn p ex ráv r l k y a m ) d u i u a oří stu ě zly ě je l o d eu je ma va ok m d ( l p á l a a jí li nou eu erov te y m zal na z , be d ch ě ler s á ž y s k k e z ý lad „na ovs ý g sed ta K v gra ě s kre ké raf) m r á mo lov fu, v slit gra. stů ce, vyt é teo je fy m eu voř rie jed ma ěs ler e ním jí tu t a K ovs ta vla rál ký he s ov m“ tnos ce. t, ž e je

na žní iln yly ý), y z n dv i no dalš záp ho b čníh pozd niče a, je vá ny í si ad řeh o p de ě j i n m z em est lnič ě v r u n ů a a t n z a ně os nik a v ahu hra brits ost k á é k m p da, žel l že ětš - n zen ké by on ou kte ezn lez í os ově y n ho l na ý — figur žitel rá v iční ničn trov by ovo nále hra za aci ných ětší mo í m - m l vyb stav tu v os st a ost imo ud bo čín mo m u o á n stů os tro ( v n v o a m Eu tů. v př roc yní stro án ek e 2 trva vy en lero rač 01 pře ším vs l e 1 uje na roz s z o ký t. Je vý lostr ah e tu ch ov x tak o ů a ist ko uje , nč í n ale j a ji e žn ím

a áz ku. ro a 2 5 f 4 3 2 2 2 5 2 3 e b 2 2 8 d 3 c 2 3

6 u zlů eln je t ík… o . 6 5 b f 5 7 c e 5 8 d

a en jlev up y tu ně ně jší čn y p vše ě – pe otí ch r v ž iz n fektn rov e n jeh ás í sk alé o uz pá l e ý t zt v lů rov d u ah j jící so á t o n. u s mt í o b o g ud r. raf é, u u ne za činí vře ný

a hu eul o os tů kou atem je k ero š m vsk až stu ěs el v atik do ý ta je- ta K yře Le u hr en li v šit onh h o r á a to gra lov sla ard zn nu g c ač vn g E vsk raf r fu u e. r u ý u a j z l f e p e u é g ovn av r r o , prá blé kd raf ěž řen vě m yž y lz eu ý e se po e n lero ule u rok r ž ak o v i tí s u res ský vsk e ý ta lit „. dm jed h, i n ním az ývá ta he m“.

a rov eo ný. hol raf ý s y li rie ský j t e u p n ch eu , je eň oz tova é l e ho lož r li s o n v ý s i ou nto t n ský t g u r p v va a h af j , islý n j ě e n r e -li a ka ý g ano eu s k u raf o žd l v a l e e u ě žr r ý v ův jeh je e dis ovs ím i s ta lý a u. o v ule junk ký, h bu má j rch rov e-l tní de -li ol m ský cyk i so pa á v prá ly. uvis k v l stu ý a ě t pn eh lze í st dy up , je -li eň ro sou vn ý -

ul švý o – Kö akla ho epš Po ob í ca 18 n c d h h i a jev o m gs az r á t s e z be ký . zá le t ů n ýva í o a t r v e d g ma ří 1 prv ná L něj mo u (k eorie a po mat tem 783 ag me der ažd gr li d ika ní i r po a atik Pe už ange toda ní teo ý z n fů, n feren 18. s a troh il p fyz oje ova m varia rii gr ich p eboť ciáln toletí rad í a i r m h c k r a á f o e , R e o ů. v „im tod ko od ě j ku po za Od us j 1 e ns ag a), po Eu 73 čtu edn dn ko t i v a n k 6 v a t ou í o ler n ) t á d e h t r á ) a rou pr e o ní a t y o ř p z e o r o č ak é p Zave kniz íslo“ pou řeš jmu vrátit šil úl ie gr nejle e ž a o oc há dl dv Alge pro d il již ní di uler se do hu, z fů - j pších fe v zí n ojr o e r b d yn ozm ra z uhou roce renc vský vých a lze tradi vůbe í p ou ěrný roku odm 1740 iálníc graf. ozího proj čně c. žív h o 1 m ít p an integ 770 cnin při s rov ísta řes é o u z tud nic rál. – zn e z iu p (ne ač (176 to áp p ř í en r 9 orn livu áve í f( ). é a m x) ho pro čís odliv fu la v u. nk e s ci ( vé 17 35 ). Eu ler

au ak vu e p ých př. ale é ně spo meto opisu těles i ve i jej uz í d s u j ná stu n u nu ící po a hy tavb aplik va ův Je né ovýc meric hyb drod ě lod ací v po pr au os e f h m ké ide yna í. a n rtrét lulý yzi t h á m o ritě ode o ře lní i ce ěm se k i y svý , ka se rní še nev (zf ler eck obje n c m a o. B rto u í h ý stá i pr m ob zké rmu gra db yl ta ch p vil na y a lila te a l č o t orn c fii a o e e v em sy ma jný kut al n ých k vel štovn dese do i m i v m bo tický ch d ny). apř ko na mi p ích tifra l. i e nc i c f k n ps l d e c h a a i r ha e f e p al 8 odný znám ku š e n o r l n g e c j ice eb mů nc iáln 65 m a ká esté , iáln r c pr y a u í o h ch a ptic s ac tore. N séri í y infi mb rov í. a e e m n j š Je a a itez olů nic. po knih eho p výca s imá. t ron rsk ně : je o č lníh om m ho est é b se po i o p a b i. jme bra yl p nko oč tu. no né o ně vky a vá s m p n m isy na p ěs číta ojme švý íčn Zd c í kr jí 60— nová arsk roj - W áte 80 n as ých, r Eu sv ter ikip a oid l e z ed r k. ů ia – ob ec l E u ler

é h ran y b f 5 7 c e 5 8 d

14 ( c = pří 4 mé b-d , 5 = ) ce 4 b -e sty 7 = 1 b-f = 2 , 7 c-d , 1 9 , = 7 1 d-e , 1 4 , c = e = 4 5 6 13 d-f c -f = = , 7 6 n 8 , 1 eb 2 o 7 f = 6 ne bo e-f = 7

V = je m V = no žin 1 …… … im a t V nto ok , E vaný u ori e a u , zlů , 2 gra f, t zv. di gra a pla , 3 tí, že , … , n f

ču zdr 4, je m oj E j … í e m sto o sta ur n o pro če tní žin uz ní ( ma dukt a or l k y o i o e jící o n v n z e o t t n o c ch o d a k v , ur el. an pr čuj ) tok čito ve ých och í, k u áz udy u p den hr řep í, s an í) rav ilni (na ní ci, a př. ka pa pod citu. ) k ij. 3,

ém ou us orie se ne u p ely – ř n e j e t n o d ic n prav ti s by ván na lo o en ob být e y p řib od tov ě jdo obo pouz dig u d an u r e e a ým ucím smě jed af, k nic i hr i dv rné iný terý m an ě am ma hran sm má (je y n ěre i. dn os ahra m, mě ze rně ny )

ity dav ec h s do ky d po jen avat odbě rat ých elů s t při elů min a n Sm ok e ě imá epř m. pře rod e l n a pra ích kroč tný vn ná it í (t m je kla ran ted sitn y i í) k -tý u ap z ac el a ita. jeh o

– k 0 dbě tel – n apac průbě ratel (zdro (m ák ita j ž n í lad hra ý u sto ), y s z …. po ny (i, el (p urče. jen j), řek ní, é s ko l a d jed iště nco vý no ) , tko uz el) u t , ok u h ran ou (i, j)

… zo va t h o dn otu su my :

odt ok při pří tok

ma xim um pr o v z tah : Při p pro ome mic dukt nutí kýc ové – ex h ( tok istu ná y kla a p jí vz do ro z tah výc ap y pr h) oje o v uk n az í ek íceate on olů.

kd e pro ki – j ka pa cita hra (m uz ny (i axim el 1 , j) áln , uz í p el – zd rop n– roj us mí , tno st) ur če ní.

zlu : – k – m apac ax ita ( imá ma lní xim mo áln žn ý to í pro k u pus zle tno m st) j. hra ny (i, j),

áln e p y n ran u, k otř í d a a e k j j e e e os j f m ba jí z oh e g try na říze od raf us gr í m jít m ní no ne há zí s ít. c a o v e i f r n n u i r e i e e a má oje z n álu (n t o l g ní v n a ) r. í p a me fu, po řík aný, če l zi j kte a d t hr ed r ý an no m , kt tliv á p ým eré lný i uz po ly. čet hr an ,

řito í d e n ch o ž m a s ú t ate loh zák t ce býv u p lad čn á je n ou řev ě v o k y i š t ka yp ez pr pro ě om p ac mo uště oje dlo e itu. u j tí c už zen ní i n e es é ty. ní ce í, že sty je o a m ča eze su po n ná tře b-

má A g raf u lní m s kost ouč ra g tem raf oho u – dno kost cen ra g raf íh ran u s …… mi ni-

1 kra č h uje se p 0 ji řev hra nou ( i , j ) ran ode a ( i, j) na k mn a PŘ E PR se AV NÍ bu de vy brá na PR OB bud LE e… M. .

n t ý p h xim nam r a oč á ená lně n, se e s t p k hle p t e o dat rým jen řip im řeš o jen ů ení že í. být pro vzt uze ah: l i ma

á e co vo rafu určitý lů, z né s mu zí n pře ch bož roz nik eb dst mís í at vo a z d cký ace o s t em v. , u n e jí m mi , s e n bo a s elin jso ilni avš ís s n vo g s u ú ce, těv ta, k ze á všt m e ( ales lohy atd. uje am ěv a h ne ). Ch m o ou ine an bch ran bo se pro od y js odk n ble po ud ou stm m) ího c sp se e an a ú ojn s t pro loh ujíc ice ble a č ího m) íns . ké ho

oz á b ny u e po je ýt o zly uz ptim pou e je pak áln ze j dn nutn ed ou í o č . ili pro jít v še mi

ch NŮV o C d YK RŮ n V C ího LUS ce EU lis Y … K s t LE L o ú t U u n l R o S j o í Ů ha c LE š … V í e h ob UR úl TA o oh YH H a č OA íns LG ké OR ho ITM US EU LE

zná mí ICK ÉÚ LO zn íků HY DY –v NA šic MIC hni chá K zák zej É Ú azn íd LO alš íci í p HY – jso po oža up dav výj ř ede ezd ky m uv ozi del na tra sy

UŽ ada NÍ Ú vků LOH Y pož ků a ka pa cit a RO –n ZV euv O ažu vků ZNÍ jem , ka ÚL ev pac OH elik Y– ita ost voz idla zad je d ány ůle veli žitá kos ti p oža -

vo zid el lik v ozí ých mís to ozí ch mís t

es ho d atd ka ta …… žd ým. b --- od em po uz e je dn ou

a k am ka est r žd ilto a u žn v ý žn nov g u ice raf z ice e s l gr u G m (cy ká k afu je gra klu ruž c G s f n e oto u, ) s i p , c t r k u a e žn á t e k vě , kte ý. ter rá (cyk jed é je pro lus no po chá ) v u. g čá z teč í ka rafu ní ždý G a k m je on co vý

…… ěm ono ce kr …… a u s v ž t s u u k jící nici zly. . o u c ho ). (c ykl es. us tu ) – (m ez i lib ov ol-

es ád ešen xov ovs tu, ný k á jej ef í vše ny. ou c íž k ek c e stu tivn h tě raj ní , je ch í a uz lgo to t jíž el ritm ypů ob a k úlo us raj. h n n í ee xis tuje

y oc min r in - cip ené im op m áln tim gra í c alit fu esty ce y – se v o sta v pro yu rie mu z A ž ná ívá nto sí l do sle va B ež C du ellm ném et op jící i ce tim an o ův sta áln b r áz z í, p ek B d ak : o C na tét. o

ptim u alit y a

m ov at ovat í bý afu j mali hl bý t p sm do u z uz t cy sou ty: ou zlu lu i kly oh í b ž ít ý o d oc t ro j s s č í fik vn čís ísle i < noc ním tiv obě lem m j (h eny r níc m a ž. v tij , n n e h h é h ětš a n ran ím) ším mus a v í s n y – , stu ulo od vým stra oh ním od e -

orb a vn ího u ma lity

m est oh dán g od y í r m afu em noce ini e o né má d k m o lní ( on ma r i e co vé ntov ximá ho an uz ém lní) c lu k gr es po afu ty čá po teč stu ním u

čá no pa k p pos zlu (T sti tu s ma oč tu u d ces ou tuje áte puje n = č 0 oš č t m t y m ) n u e po l í a e m no i. o p s h m lou u ro mě od ta i n r, o noc imá zlu ti sm atš v po lní a u en dk í (n čá ě ud í h ( ejd teč k m a r j a a ž sm elš ním x n i m e d pře í) c uz á ld o es l u c da ho tu dá n v g vá é ho raf ce u. lko vo u

min T n= 0 ( T j+ tij Ne jde lš ) í ce T i= T n= 0 ma x( T j+ tij ) sta

es ta 2 – ved lka 3 e ce u – 4 – zly: sty: 6 3 + 1 + 2 + 4 = 10 jed no tek 1 –

ori en tov an éh og raf u –n ejk rat š í ce sta

sta 3 – ve 5 de lka – 6 uzl ce y: 5 sty: + 7 + 8 = 20 jed no tek –

ori en tov an éh og raf u –n ejd elš í ce sta

raf ce af Po mu s u t stu ný y s í v , b bý p n e t eo hle áte z č oh rie čn íslo odn í u n v o á c ze n e l je í uz ný, ne oz lů. ori na en če n č toísle m nu la.

ho u j dn iž oh zly, ku oh otí k o d me no teré odno po cen jso tím dle ým u s e vz i u po tah zly jen a y u: to tak ,

ho ého oh dn oh uz odn ota od lu, oc no ne hr ec o ho ený any no dn ta m m o k má ce [ U ezi on ný lní cov (t ) m ce i ] éh [ U(t a sty o u zlu. j ) ] uz dá lem vá ho. dn otu

U m nim od (tj ) áln po U atí í ce sle , že (t ) dn i ] stě ho roz í ho , u dn d rčí uz ota íl h me lu k hr odn an o p t so rvn y. ím us u. ed ícíc h u zlů m us í

d n eo rie nto va né ho gr afu

stu p o h od no co vá ní u zlů

alg afů ar o je p po r i t če mů otř tní st o a e ba m t po ec hn etod při už čn iky za í m íva ř e dá. n š a e ý h h tice m ný ván ch tva od í A no s p rem t: orvk je y n uz ab lov ýva á i jící nci mi ná sle vý

el ( = e i) x vrc istu eč + k ním i … ho jel ) l i u = uz m e - k lem xis ez j ne i uz ní on i … u tuje co l y l j i e vým xi a s hr u a s i a uz tuje oho na uj lem -li hi dn u hra oce s p na ním oč j a á s o h ki ho i dn oc en ím k i .

4 3 Zá 6 sp klad ec iáln ní tv 7 a í va r ria roz nta ho ro do zh od vací ov ac ces ího ty str - om u 8

0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0

6 8 5, 4 3 4 6 3, 6 Gr af 6, 4 s o ho dn 5 oc e 3, 9 ný mi hra na m i 7

= 5, 4 0 : -6, 2 0 0 -5 0 , 4 0 0 5, 6 1 0 0 0 5, 6 0 0 0 - 0 0 0 0 3 , 6 0 -6, 4 -3, -3 0 0 8 9 , 6 , 5 , 4 0 0 0 0 3, 0 9 0 0 0 0 -8 , 5

afu t i r n c a de tší ě ře kýc je ce h d š e ur řeše stu m ní pr opra čitá ní o v í s b n t s l ích a é ta vo nad A m pr u dít ko o n n o ě v m k a b j raf éh a v ší, j í l í s t t u n o b po pro a B na émů m en ohu do –. t o a í k ž b p ž ě dis el v ě za e ma hr po kre pa zic an s l en posk ov i. ě o ých y ho dn cest oc e-.

u js ván e d vé n žen u r ou í gr opo ero na do oz vy afu ruč vn vy u z ího po l u o u e d ž s n s i o t č t i o , í u. í án š t j u z á e v í l r í n u d ván řky yuž č ité o , o í y v for ab é h stu vz takž t m y s ran pný dál e v etod e z y, k ch eno ka u p mě (os sti ždé ro t e nilo rá m tat vš m oh us ních ech kroí vy ) u z v od no ce tvoři zlů p ýní uz t krat ři lu. ší

yto na e n kr ho 0 – ost o z ky: v í uz tou ých kro el – to h oz k – í o h a d n ný o n a p u o jdo ch o z t l o o l uz u v u s u ž í se se lů a e r se v t J = ak jso šic Ø oh u z hni od ařa nás ze ni d lední o m ci již no oz žin y J výc

Teorie grafů 3. krok – vypočtou se délky cest do těchto uzlů, tj. existuje-li hrana z uzlu i do uzlu j Є J a vypočte se součet pro vj = vi + cij 4. krok – označí se uzel k, pro který platí, že: k: vk = min vj , pro j Є J Březen 2011

Teorie grafů 5. krok – algoritmus může skončit, pokud již byly označeny všechny uzly s hodnotami vi 6. krok – položí se J = Ø a pokračuje se krokem 2. Březen 2017

POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …… v úlohách obchodního cestujícího a čínského listonoše…. . … cw 057 – p. 41 / 1 březen 2017

…… … Březen 2017