Akar Persamaan fx0 Metode AITKEN Percepatan dari metode

Akar Persamaan f(x)=0 Metode AITKEN • Percepatan dari metode iterasi • Disebut juga proses Aitken 2 • Formula xi+2 = xi+1 – ( xi)2/ 2 xi-1 Contoh, Gunakan Metode Aitken untuk mencari akar pendekatan dari x 2 -6 x+8=0, 4 desima, dengan bentuk x=(x 2+8)/6. a. pakai titik awal xo = 1 b. pakai titik awal xo = 5.

• Jawab: n Tabel sebelumnya: 0 1 2 n i ditulis dlm btk. tabel: xn 1 1, 5 1, 7083 G(xn) 1, 5 1, 7083 1, 8197 n xn x |xn -g(xn)| 0, 5 0, 2083 0, 1114 2 x 0 1 X 3=1, 7083(0, 2083)2/(-0, 2917) = 1, 8570 b = ? . 0, 5 1 1, 5 -0, 2917 0, 2083 2 1, 7083

Akar Persamaan f(x) = 0 Metode Newton Raphson • Bisa menyelesaikan bentuk f(x)=0 dan x=g(x) • Hanya memerlukan satu ttk. Awal dan kondisi berhenti . • Tidak selalu konvergen, bisa divergen • Apabila konvergen lebih cepat dari Bisection maupun Iterasi.

• y y y=f(x) 3 x 2 1 konvergen a. Bentuk xo xo divergen f(x)=0 - Sama seperti mencari titik potong antara kurva y=f(x) dengan sb. x (y=0) x

- Metode Newton Raphson dpt. dipakai jika: - Nilai awal xo cukup dekat dgn akar eksak - nilai f’’(x) tidak membesar terus menerus - nilai f’(x) tidak mendekati nol. - | (f(x). f’’(x))/(f’(x))2| < 1. - iterasnya: xn+1 = xn – f(xn)/f’(xn) - iterasi berhenti bila |f(xn)|≤

y=x y y=f(x) xo 2 3 konvergen 1 x • Contoh : Cari akar pendekatan x 2 -6 x+8=0, ttk. awal xo =1, =0, 001, 4 desimal.

• Jawab: x 2 -6 x+8=0 f’(x) = 2 x-6 xn+1 = xn – f(xn)/f’(xn) n 0 1 2 3 xn 1 1, 75 1, 9997 f(xn) 3 0, 5625 0, 0506 0, 0006 • Nilai f(x 3) = 0, 0006 ≤ 0, 001, sehingga nilai pendekatan adalah 1, 9997. (hanya 3 iterasi).

b. Bentuk x=g(x). - Mencari ttk. Potong kurva y=g(x) dengan grs. y=x. - Metode Newton Raphson dpt. dipakai jika: - Nilai awal xo cukup dekat dgn akar eksak - nilai g’’(x) tidak membesar terus menerus - nilai g’(x) tidak mendekati nol. - | (g’’(x))(g(x)-x)/(1 -g’(x))2| < 1. - iterasnya: xn+1 = (g(xn)– xn g’(xn))/(1 -g’(xn)) - iterasi berhenti bila |xn – g(xn)|≤

y=g(x) y y=x Xo, 2, 4, . . X 1, 3, 5. . x divergen • Contoh : Gunakan Metode Newton Raphson untuk menyelesaikan akar pendekatan x 2 -6 x+8=0, ttk. awal xo =1, =0, 001, 4 desimal, dengan bentuk x= (x 2+8)/6.