AED27 Aerodinmica Supersnica Mtodos Numricos Diferenas Finitas Mtodos

AED-27 – Aerodinâmica Supersônica Métodos Numéricos Diferenças Finitas Métodos numéricos para resolução de Equações Diferenciais Vitor Kleine Valeria Leite

Métodos Numéricos Introdução n Métodos numéricos para resolução de EDP/EDO, assunto também conhecido como: q q n Dinâmica dos Fluidos Computacional; ou CFD (Computational Fluid Dynamics) Equações diferenciais são resolvidas: q q q numericamente dentro de um domínio respeitando as condições de contorno AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Introdução n CFD: O que está envolvido? q q q q Entendimento das características do escoamento que será objeto de estudo Seleção das equações que modelam o escoamento Conhecimento do caráter matemático dessas equações e das condições de contorno Discretização temporal/espacial Técnicas de solução numérica Hardware: como tirar o máximo da máquina (paralelismo, memória, etc) Visualização dos resultados AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Introdução n Alguns dos métodos que foram vistos até agora também podem ser considerados “métodos numéricos para resolução de equações diferenciais”, mas: q q n Equações bem simplificadas Escoamento e geometria bem específicos Passaremos agora a métodos mais gerais: q q Aplicáveis a equações diferenciais mais completas Aplicáveis a diversas geometria AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos DNS (Solução Direta) EDP LES (Simulação de Grandes Escalas) Equações de Navier-Stokes RANS (Navier-Stokes com média de Reynolds) Problemas não-estacionários Problemas com média temporal Navier-Stokes Laminar Equações de Euler Problemas Estacionários (para geometrias estacionárias) AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos n De maneira geral, as equações de interesse na mecânica dos fluidos podem ser escritas na forma: AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos n Ex: Eq. Euler n Vetor de estados (ou vetor de propriedades) (ou vetor de variáveis) (ou vetor de soluções) n n n Forma conservativa AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos n Ex: Eq. Euler n Vetores de fluxo AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos n Ex: Eq. Euler n Termo fonte q Usualmente J=0 na Eq. de Euler AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Discretização n É necessário “discretizar” o problema q q q n Dividir o domínio em pontos Dividir o domínio em elementos Representar a solução como série de funções Métodos clássicos: q q q Diferenças finitas Volumes finitos ou Elementos finitos Formulações espectrais AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Conceito básico n n O domínio é dividido em um número finito de pontos O objetivo é conhecer o valor das variáveis em cada ponto AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Derivadas n O valor das derivadas é estimado a partir da expansão em série de Taylor dos pontos vizinhos Na prática! Erro de truncamento AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Derivadas n A partir de pontos vizinhos diferentes, esquemas diferentes são obtidos AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Derivadas n A partir de pontos vizinhos diferentes, esquemas diferentes são obtidos Diferença forward (ou adiantada) Diferença backward (ou adiantada) 1ª Ordem Diferença centrada 2ª Ordem AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Derivadas n O mesmo tipo de abordagem pode ser utilizado para obter derivadas de maior grau q Por exemplo, para a segunda derivada seria necessário utilizar 3 ou mais pontos q Segunda derivada centrada de 4ª ordem (5 pontos): AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Equação diferencial equivalente n n Exemplo: Equação da advecção linear q (também chamada de equação da onda linear) q q Discretização centrada de segunda ordem no espaço Discretização forward de primeira ordem no tempo AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Equação diferencial equivalente n Na prática, resolve-se: n Isto indica que a equação resolvida é: n Utilizando a eq. original para substituir os termos de derivada temporal por termos de derivada espacial: Equação diferencial equivalente AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência n A equação discretizada tende à equação diferencial quando [∆x, ∆t]→[0, 0]? AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência n O erro de truncamento se mantém limitado? q Grandezas tendem a “explodir” em um esquema instável AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência n Se eu rodar com [∆x, ∆t] “bem pequenos”, meu resultado estará de acordo com a solução exata das equações? AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência n Teorema de Lax q Para um problema de valor inicial bem posto e um esquema de discretização consistente, estabilidade é a condição necessária e suficiente para convergência. AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Referências n Mais detalhadamente em: q q Anderson, J. D. “Computational fluid dynamics”. 1995. Hirsch, C. “Numerical Computation of Internal and External Flows: The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics – Vol 1”. 2007. AED-27 - Aerodinâmica Supersônica