AE712 AEROELASTICIDADE Roberto GIL Annes da Silva gilita

AE-712 AEROELASTICIDADE Roberto GIL Annes da Silva (gil@ita. br), R: 6482 - IAE/ALA-L (Túnel de Vento) 1

Resposta Aerodinâmica a Movimentos arbitrários 2

Movimentos Arbitrários “Regime Incompressível” • Até então tratamos o problema incompressível não estacionário, pressupondo um aerofólio sujeito a movimento harmônico simples; • Assumiu-se a hipótese de movimento harmônico simples, pelo fato da formulação matemática tornar-se mais simples, e pois o interesse é identificar a fronteira de estabilidade flutter; • Entretanto, vamos generalizar o problema considerando que o movimento pode ser arbitrário; • Quando se quer calcular a resposta aerodinâmica para um caso não estacionário onde o movimento é diferente de um harmônico simples, surgem outras funções no lugar de C(k), a qual age principalmente sobre os termos referentes ao potencial de origem circulatória 3

Modelo de Wagner, Herbert: Über die Entstehung des Dynamischen Auftriebes von Trag. Flügeln, fev. 1925 • Assumiu-se como um primeiro exemplo um aerofólio bidimensional movimentando-se em arfagem; • Este aerofólio oscilante gera uma esteira de vórtices alternados cujo potencial a eles associado modifica o carregamento aerodinâmico sobre o perfil; • As forças aerodinâmicas portanto não dependem somente da posição instantânea do aerofólio, mas também da posição e intensidade desteira de vórtices; • Ou seja, isto significa que as forças não dependem exclusivamente do movimento instantâneo, mas também de uma história do movimento desde o seu início. 4

Modelo de Wagner I • O efeito da esteira pode ser significativo ponto de reduzir e defasar com relação ao movimento a magnitude das forças presentes no aerofólio; – Vórtice de partida – é o modelo aerodinâmico não estacionário mais simples; • Supõem-se que uma placa plana que idealiza um aerofólio é submetida a uma variação súbita (impulsiva) em ângulo de ataque, quando a mesma encontra-se sujeita a um escoamento previamente estabelecido; • Esta variação súbita no carregamento aerodinâmico gera um vórtice de partida suficientemente forte, a ponto de reduzir em 50% o carregamento instantâneo no aerofólio. • Após um curto espaço de tempo, o efeito do vórtice desprendido deixa de ser significativo uma vez que ele acompanha o escoamento, e seu potencial torna-se desprezível para o aerofólio (Biot-Savart). 5

Vórtice de partida • O conceito de vórtice de partida vem da aerodinâmica estacionária. • Ele surge no início do movimento do aerofólio no sentido da direção de vôo. • De forma análoga, quando o escoamento já estabelecido ao variarmos o ângulo de ataque subitamente aparecerá um vórtice de partida. 6

Modelo de Wagner II • O efeito do vórtice de partida na resposta temporal em sustentação de um aerofólio, em escoamento estabelecido e não perturbado pode ser modelado pela função de Wagner; • Esta função indica que o carregamento aerodinâmico no início do movimento é metade do carregamento aerodinâmico e regime permanente; • Este carregamento instantâneo cresce suavemente até alcançar o valor de regime permanente para o ângulo de ataque associado à esta entrada degrau. • Deve-se observar que APENAS a parcela circulatória do carregamento sobre o aerofólio é afetada pela emissão do vórtice de partida, fenômeno a ser modelado por uma função de deficiência de sustentação que é conhecida como função de Wagner. 7

Quantificando o Decremento de Sustentação • (ref. BAH e I. E. Garrick) • A Função de Wagner fornece o histórico de variação no tempo da sustentação, dada uma entrada degrau em ângulo de ataque do aerofólio; • Ela é normalmente representada em função do tempo adimensionalizado definido como tempo reduzido e dado por: • Este tempo reduzido pode ser entendido como uma distância em semi cordas. • Sustentação (parcela circulatória): que é função do ângulo de ataque efetivo obtido da razão do downwash a ¾ da corda pela velocidade V 0. 8

Resposta ao degrau • Função de Wagner: • Resposta a uma variação súbita em ângulo de ataque do aerofólio. • A função de Wagner é igual a 0, 5 quando t=0 e cresce assintoticamente para 1. 0. • Esta resposta é também conhecida como resposta indicial do sistema. 9

Função de Wagner • E como é a forma matemática da função de Wagner? • Em 1925, Wagner derivou a função que modela a resposta do carregamento de natureza circulatória a uma variação súbita em ângulo de ataque, supondo escoamento incompressível, e função do tempo reduzido dado por: • O tempo reduzido é uma grandeza muito comum em aerodinâmica não estacionária e representa a distância percorrida pelo aerofólio penetrando no escoamento, em termos de semi-cordas. 10

A Função de Wagner • É uma função que não possui uma transformada de Laplace direta; • É função do tempo, ou ainda um tempo reduzido, grandeza muito comum em aerodinâmica não estacionária que representa a distância percorrida pelo aerofólio penetrando no escoamento, em termos de semi-cordas; • Generalização para movimento arbitrários: A aplicação da função de Wagner a uma simulação de um movimento arbitrário no domínio do tempo pode ser compreendida como uma sucessão de variações tipo degrau em ângulo de ataque e sua derivada no tempo. • A aplicação da integral de Duhamel permitirá o cálculo do carregamento aerodinâmico, para um dado movimento arbitrário conhecido. 11

Superposição de degraus A altura de cada degrau é (daef/dt)dt aef(t’) t’ Obs: assumindo placa plana CLa = 2 p, e Q é o downwash. 12

Movimento Arbitrário • Portanto, vamos nos basear na generalização do movimento fazendo uso da expressão que representa o downwash a ¾ da corda: função do tempo reduzido que será integrada no sentido de Duhamel fornecendo a sustentação da seção típica correspondente representada por: para representar resposta ao movimento arbitrário (qualquer). 13

Carregamento para movimentos arbitrários • A linearidade do escoamento não estacionário a pequenas perturbações, permite calcular uma resposta transiente através da integral de Duhamel que é uma integral de convolução: • E por ser uma integral de convolução, podemos fazer uso da definição e das propriedades da Transformada de Laplace • Esta equação é a base da aerodinâmica não estacionária para movimentos arbitrários prescritos do aerofólio • Inclui o efeito de toda a história do movimento no cálculo da força de sustentação de natureza circulatória. 14

Aproximações para a Função de Wagner ou Admitância Indicial Aplicando a transformada de Laplace: Tempo reduzido Relembrando, é a resposta a um degrau unitário em ângulo de ataque a, ou incremento súbito de velocidade normal induzida a ¾ da corda; A função de Wagner aproximada contém pólos localizados ao longo do eixo real negativo. 15

Aproximação de R. T. Jones • A forma que se chegou através da integral de Duhamel sugere o uso de uma transformada de Laplace, • Porém para que a função de Wagner seja Laplace-transformável, R. T. Jones (NACA Rept 681) apresentou uma aproximação para esta função no domínio do tempo (reduzido): lembrando que s é o tempo reduzido dado por: • Esta função permite agora a aplicação da transformada de Laplace. 16

Usando Wagner Aproximado + Transformada de Laplace • A transformada de Laplace (versão mais adequada, resposta ao impulso – note que a função de Wagner está derivada no tempo é: • A transformada de Laplace da segunda equação é, aplicando propriedade da transformada de Laplace de uma integral de convolução: Variável de Laplace adimens. 17

Movimentos Arbitrários • E considerando a aproximação de Jones dada por: cuja Transformada de Laplace é: • Tem-se a função de transferência relacionando a entrada Q (downwash) com a saída LC (carregamento): • • Note que é semelhante ao que temos da teoria de sistemas dinâmicos! A partir desta função de transferência pode-se escrever a resposta aerodinâmica no domínio do tempo 18

Movimentos Arbitrários • Resposta aerodinâmica no espaço de estados: • onde pode-se observar os estados aumentados! Quando tratarmos de aproximações por funções racionais revisitaremos este assunto bem como veremos como aparecem os estados aumentados. 19

Aproximação por Funções Racionais • A Função de Theodorsen pode também ser generalizada de tal forma que ela seja válida para movimentos quaisquer, vamos estender o conceito de generalização empregando uma aproximação onde os fenômenos aerodinâmicos não estacionários de massa aparente, efeitos quasi- estacionários e atraso aerodinâmico induzido pelo movimento esteira são bem representados. • A idéia é empregar polinômios de Padé (NASA-CR-2779 " Finite State Modeling of Aeroelastic Systems", de Ranjan Vepa), os quais são funções racionais, em variáveis complexas ( variável de Laplace "s"), de forma que a sua transformação inversa para o domínio do tempo gere um sistema aeroelástico no espaço de estados. • Esta forma de representar o nosso modelo aeroelástico no Espaço de Estados é extremamente adequada para se estudar a resposta aerodinâmica a entradas quaisquer, bem como integrar modelos 20 matemático que representam sistemas de controle.

Aproximação por Funções Racionais • Quanto estudamos o problema de Theodorsen, escrevemos as equações de forma que a formulação só dependesse da frequência, uma vez que o nosso operador aerodinâmico representado pela matriz "A" é função da frequência reduzida. 21

Aproximação por Funções Racionais • • Esta idéia foi inicialmente fundamentada do problema de solução de flutter, através da solução do problema de autovalor associado ao sistema de equações aeroelásticas. Entretanto os movimentos são restrito ao do tipo harmônico simples • E para generalizarmos os movimento, podemos reescrever: 22

Aproximação por Funções Racionais • • O problema é que a matriz de coeficientes de influência [A(k)] é definida somente sob a luz da hipótese que as condições de contorno movem-se segundo movimento harmônico simples. Para que a matriz [A(k)] seja Laplace-transformável (inversão), devemos aproximar os coeficientes generalizados por polinômios de Padé: É uma função contínua representando a aerodinâmica não estacionária, pode-se transformar para o domínio do tempo. Note que : sendo "s" a variável complexa de Laplace. 23

O Polinômio Aproximador • Polinômio de conhecido como de “Padé” como ficou sendo na literatura é uma Função Racional que pode ter a forma: Henri Padé • • A aproximação de Padé é semelhante a uma aproximação de Taylor. No entanto a função de aproximação é uma função racional em vez de um polinômio. Polinômios de alta ordem podem introduzir componente de harmônicos de alta ordem, deteriorando a qualidade da aproximação Na entanto, a forma racional do aproximador “de Padé” evita a surgimento de tais componentes, freqüentemente são usados em filtros contínuos de aproximar os atrasos. É uma função adequada para a aproximação de funções transcendentais, como a de Theodorsen, por exemplo. http: //mathworld. wolfram. com/Pade. Approximant. htm 24

Aproximação por Funções Racionais • Observe que o polinômio de Padé na forma apresentada é de segundo grau, ou seja, implicitamente os termos de massa, amortecimento e rigidez aerodinâmicas são bem representados por esta função. • E ainda mais, o atraso aerodinâmico é representado pela série de termos de atraso; • E esta representação permitirá se obter uma função analítica válida para movimentos quaisquer. • O único problema é que a inversão por Laplace do domínio da frequência para o tempo também implicará no surgimento te estados adicionais, associados a inversão da série de termos de atraso. 25

Carregamento Aerodinâmico Aproximado • Substituindo a forma aproximada na expressão para o carregamento generalizado: • Podemos obter o carregamento no domínio do tempo: 26

Estado Aumentados • Onde os estados aumentados entre: • Neste ponto devemos observar que os estados aumentados estão associados à série de termos racionais que representam, na forma de funções de transferência um atraso temporal introduzido no sistema. Vamos precisar da propriedade da derivada de uma integral do tipo: • são oriundos do produto de 27

Propriedades de Convolução • Relembrando a definição do que é convolução: 28

Estado Aumentados - Resumo • Aplicando finalmente a transformada inversa de Laplace temos: Teorema da Convolução • Chegando finalmente às relações entre os estados aumentados estado associados aos graus de liberdade físicos: 29

Aproximação por Funções Racionais • Retornando a nossa relação para o carregamento aerodinâmico • O qual pode ser escrito na forma de um sistema no espaço de estados 30

Aproximação de Roger • • • E como obtemos os coeficientes A ? Pode-se obter as matrizes A para um conjunto de freqüências reduzidas. Pode-se portanto aplicar a aproximação de Roger, a qual não deixa de ser um ajuste através do método dos mínimos quadrados para obter os coeficientes do polinômio ajustado Este método dos mínimos quadrados é aplicado para aproximar cada elemento da matriz A individualmente, vejamos: Pode-se escrever o polinômio em função de k. Vamos escrever a mesma equação considerando cada coeficiente escalar individualmente: 31

Aproximação de Roger • Reescrevendo na forma vetorial: com e 32

Aproximação de Roger • Uma forma para representar o erro entre os valores tabelados e os valores aproximados é dada pela somatória das diferenças entre o tabelado e o aproximado para os "m" valores de frequências reduzidas. • Tratando de números complexos, pode-se escrever: 33

Aproximação de Roger • Da condição de minimização do erro entre os valores aproximados e tabelados dada por: com • O passo seguinte é derivar parcialmente a função erro atendendo a condição de mínimo: sendo os elementos de: que são todos reais. 34

Aproximação de Roger • Lembrando que os pares conjugados complexos dos coeficientes aproximados podem ser escritos como: com: 35

Aproximação de Roger • Calcula-se o erro como: cuja derivada parcial com relação aos coeficientes aij deve se anular: 36

Aproximação de Roger • o que após a aplicação da derivada parcial acima resulta em: 37

Aproximação de Roger • O passo seguinte é escrever os somatórios como o produto dos vetores: definidos como: 38

Aproximação de Roger E: definidos como: o que permite escrever: na forma matricial como: 39

Aproximação de Roger • Os coeficientes aproximados pelo método dos mínimos quadrados pode deste fora ser obtido através da solução do sistema: invertendo a matriz do lado esquerdo, resultando em: As matrizes e tem dimensão mk linhas e nlag+3 colunas, ao passo que os vetores de valores tabelados e seu conjugado complexo tem dimensão mk. • Onde, k 1. . . kmk são as frequências reduzidas empregadas para calcular os valores de referencia ou tabelados. para gerar at. • Uma vez identificado cada termo i, j através da aproximação podese construir a matriz aproximada 40

Validade da aproximação para movimentos arbitrários • O que se pode observar em um primeiro momento é que empregouse valores de referência para realizar a aproximação obtidos de uma teoria aerodinâmica exata para movimentos harmônicos simples; • No entanto o resultado é um polinômio escrito em função de um argumento complexo não imaginário puro: • Matematicamente a função aproximada acima é analítica ao longo do eixo imaginário, por representar exatamente os valores de referencia empregados na sua aproximação pelo método dos mínimos quadrados. 41

Validade da aproximação para movimentos arbitrários • Por outro lado, esta forma de polinômio aproximador permite uma representação para movimentos quaisquer, uma vez que s é um argumento que pode também possuir parte real e imaginária • Em análise complexa, a extensão analítica (ou continuação analítica) é uma técnica para estender o domínio de definição de uma dada função analítica. • Uma extensão analítica no geral tem êxito em definir valores adicionais da função, por exemplo em uma região nova diferente daquela onde forma definida • Exemplificado, embora o polinômio de Padé tenha sido gerado partir de uma aproximação de valores definidos em um subconjunto do plano complexo, ou seja para valores imaginários puros (MHS), pelo princípio da continuação analítica ele será válido para movimentos quaisquer, não só para MHS. 42

Continuação Analítica • • Conceito de análise complexa; A sua dedução ou prova aplicando ao caso do polinômio de Padé aproximado é algo que está forma escopo deste curso. Se o polinômio de Padé é uma função analítica, ele deverá satisfazer as relações de Cauchy-Riemann. É por este caminho que se prova a extensão analítica deste polinômio que representa a aerodinâmica para movimentos arbitrários no plano complexo 43

Modelo Aerodinâmico Espaço de Estados • • Como vamos escrever a carregamento aerodinâmico: no espaço de estados? Primeiramente, define-se o vetor de estados como: Note que teremos um sistema aerodinamicamente aumentado devido a introdução de "nlag" estados adicionais. Portanto a ordem do sistema será "2 nlag+4", ou seja acrescenta-se os dois estados associados aos graus de liberdade da seção típica e 44

Modelo Aerodinâmico Espaço de Estados • Sistema do Espaço de Estados: 45

Modelo Aerodinâmico Espaço de Estados • Portanto: 46

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • Exemplo de uma seção típica: Equações de movimento - • Fazendo: 47

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • Ou seja, escrevendo no espaço de estados: 48

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • Introduzindo a parcela aerodinâmica: 49

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • O sistema de equações fica: 50

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • E na forma matricial tem-se o sistema aeroelástico no espaço de estados: 51

No Matlab. . . • Criando modelo no espaço de estados: • Este modelo é criado como : A=[0, 1; -4, -2]; B=[0; 2]; C=[1, 0]; D=[0]; ss 1=ss(A, B, C, D); • O comando "ss" define o sistema no espaço de estado a ser simulado 52

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • Ou seja, a representação no espaço de estado possui a forma: • Com as matrizes que compõem definidas como: 53

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • • Com o problema aeroelástico agora escrito no espaço de estados, pode-se estudar a estabilidade deste sistema através da solução do problema de autovalores associado à matriz Esta matriz representa a "planta" aeroelástica, em linguagem de sistemas de controle e pode-se notar que é função da velocidade e densidade do escoamento não perturbado. Portanto, pode-se plotar o "Lugar das Raízes" tendo como parâmetro a variar a velocidade ou a densidade. Lembre-se que agora esta solução representa o cálculo de frequências e amortecimentos quaisquer, portanto se desejar plotar um gráfico no formato V-g-f basta extrair as frequências e os amortecimento associados autovalores. 54

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • O amortecimento usualmente é representado em uma curva V-g-f como o fator de amortecimento resultante entre a razão do amortecimento modal com o amortecimento crítico dada por: Fator ou razão de amortecimento modal Amortecimento modal crítico, função da massa "m" e rigidez "k" generalizadas, associado ao i-ésimo modo dinâmico estrutural. • Usualmente, para o caso de estruturas aeronáuticas em alumínio, o fator de amortecimento modal é 0. 03 (3. 0%). 55

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • Seção Típica com três graus de liberdade: 56

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • Equações do movimento: • Adimensionalizando: 57

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • • As equações de Theodorsen para o caso do aerofólio com três graus de liberdade são modificadas com a inclusão da superfície de controle. Pode-se recorrer ao BAH ou mesmo ao NACA Report 496 de Theodorsen para se obter os termos que compõem as matrizes: 58

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • Entretanto o nosso modelo permite que o sistema aeroelástico seja controlado através do aileron: • Para se obter o sistema aeroelástico no espaço de estados, devemos também reescrever a equação acima no domínio da freqüência sob a hipótese de movimento harmônico simples. Repete-se os mesmos passos empregados, incluindo a aproximação por funções racionais, e a aplicação da transformada inversa de Laplace para se em uma nova forma para o sistema: • 59

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • Entretanto o nosso modelo permite que o sistema aeroelástico onde: 60

Modelo Aeroelástico Espaço de Estados • • • A matriz [Ba] representa a rigidez associada ao grau de liberdade associado ao controle da seção típica b. C o qual representa a rotação do aileron. Note que d é um vetor de estados associado ao controle. Pode-se estudar resposta aeroelástica dada uma entrada em b. C, ou seja, atuando a superfície de controle e por exemplo, e estudar a resposta temporal do sistema aeroelástico a esta entrada. Da mesma forma, pode-se integrar um sistema de controle realimentado com idéia de controlar a instabilidade do sistema controle ativo de flutter: 61

Resposta Aeroelástica a Perturbações Externas • Cargas de rajada: vôo em atmosfera turbulenta súbita variação de ângulo de ataque causada por componentes de velocidade normais à direção do vôo • As componentes de velocidade de rajada w podem ser verticais, laterais ou até na direção principal do escoamento 62

Resposta a rajada • Consequentemente, a aeronave responderá a estas variação de ângulo de ataque como flutuações de sustentação, implicando em variação do fator de carga. 63

Diferença: Rajada Discreta e Rajada Contínua • Deve-se diferenciar os tipos de rajadas às quais a aeronave está sujeita; • A rajada ocorre devido às flutuações turbulentas na atmosfera. • Podem agir em todas as direções, porém normalmente separa-se em laterais e verticais 64

Resposta a Rajada Discreta • Primeira aproximação – Domínio do tempo; • Pode-se estudar o efeito de penetração da rajada no domínio do tempo por dois tipos clássicos de funções de rajada – canto vivo e 1 -cosseno; • Efeito da distância entre o início da rajada ao longo da asa, ou mesmo entre asa e a cauda (atraso de penetração); • O corpo percebe a penetração na rajada como uma variação do ângulo de ataque local ao longo da corda; • Este efeito é representado para regime incompressível linearizado por funções de deficiência de sustentação. 65

Rajada de Canto Vivo • Seja a velocidade vertical de rajada dada por: que representa o seguinte perfil de velocidades: 66

Rajada 1 -cosseno • Seja a velocidade vertical de rajada dada por: que representa o seguinte perfil de velocidades: 67

Transformação para o domínio do tempo • Nota-se que a função de rajada 1 cosseno é função de velocidade e distância percorrida • Ou seja fica fácil transformar para o domínio do tempo: 68

Efeito de Penetração na Rajada • Observa-se também que a asa encontra as componentes de maior velocidade vertical antes da empenagem horizontal; • Este efeito de penetração na rajada implica em uma tendência a gerar momentos de arfagem na aeronave Rajadas 1 -cosseno são estudadas em diversas condições, de forma a se chegar a condição de “rajada tunada”, ou seja aquela cujo gradiente de velocidade excita modos estruturais de forma ressonante, implicando em grandes deformações e por sua vez tensões. 69

Tratamento matemático de dois tipos de rajada clássicos • Conforme apresentado, foram introduzidos dois tipos de rajadas, a degrau e a senoidal; • Cada uma tem o seu propósito, de uma resposta a uma entrada degrau pode-se associar uma função de resposta que aqui não será indicial, mas sim possível de se empregar para combinar soluções a rajadas arbitrárias através do conceito de integral de Duhamel. • A rajada senoidal tem a proposta de servir como uma excitação harmônica, isto ; e dependente da freqüência que pode ser útil para: – Identificar picos ressonantes a diferentes entradas, variando a frequência; – Servir como uma descrição, no domínio da frequência, do efeito de penetração da rajada no corpo, sendo assim compreendida também como um “filtro de rajada”. 70

O problema da rajada tipo senoidal • Este problema é modelado através de uma função de deficiência de sustentação conhecida como função de Sears • Representa o efeito de penetração de uma flutuação de velocidade harmônica em torno de um escoamento médio não perturbado a ângulo de ataque nulo. • Este efeito é fisicamente descrito a penetração deste escoamento ao longo da corda do aerofólio, que carrega o mesmo diferentemente de uma situação onde o aerofólio começasse oscilar subitamente na mesma frequência da rajada harmônica 71

O problema da rajada tipo degrau, ou canto vivo • Küssner descreve o problema da entrada de um corpo (aerofólio) em uma rajada de canto vivo de intensidade w 0 , que representa a velocidade vertical da rajada; • O encontro do aerofólio com a rajada pode ser representado através da condição de contorno a pequenas perturbações, onde no caso, ao invés de uma velocidade nula sobre o aerofólio, existirá a velocidade w 0=wg que está relacionada a condição de contorno que descreve o aerofólio como: 72

Funções de Küssner e Sears • Küssner e Schwartz (NACA-TM-991) tratam o problema do aerofólio em movimento, separando a velocidade normal induzida (downwash) em duas partes, uma devido a uma rajada de forma senoidal e a outra associada a uma rajada de canto vivo. (Na realidade este problema é conhecido como a solução geral de Küssner-Schwartz). • Desta separação surgem duas funções, uma denominada k 2(s) que corresponde à resposta indicial devido a uma onda unitária dada por: a qual representa a penetração em uma rajada de canto vivo. • A outra função corresponde a uma onda associada à velocidade normal senoidal que se desloca do bordo de ataque ao bordo de fuga: 73

Função de Küssner 74

Função de Sears 75

Funções de Küssner e Sears • A sustentação resultante desta velocidade normal senoidal à qual o aerofólio está submetido dada por: (solução de Schwartz) • Esta função ficou conhecida como função de Sears, pois a mesma foi tabelada no trabalho de Sears "Some Aspects of Non-stationary Airfoil Theory and its Pratical Applications", Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 8, 1941, pp. 104 -108. O livro "The Theory of Aeroelasticity" de Y. C. Fung, páginas 407 -412 é uma boa referência para conhecer as derivações de Kussner-Schwartz e Sears 76

Funções de Küssner e Sears • Enquanto que a dedução para a parcela referente a rajada de canto vivo é apresentada por Küssner em 1936, e a sustentação resultante é dada por: Representa o quanto a rajada penetra no aerofólio • Da mesma forma que a função de Wagner, a função de Küssner não pode ser escrita atrás de uma forma algébrica explícita. Portanto, ele também pode ser aproximada por: • Novamente, as transformadas de Laplace das funções de Küssner e Sears, estão relacionas entre si da mesma forma que as funções de Wagner e de Theodorsen estão. 77

Funções de Küssner e Sears • Também se pode obter uma resposta geral ao carregamento devido a uma rajada arbitrária, através de uma integral de Duhamel: • De onde se pode obter a resposta a uma turbulência, por exemplo, construída através da superposição de rajadas do tipo canto vivo (degraus). 78

Resposta Aeroelástica no Domínio da Frequência • Para o estudo da resposta aeroelástica, pode-se empregar uma formulação similar para o estudo da estabilidade aeroelástica no domínio da frequência. • Parte-se desta idéia uma vez que se tem uma aerodinâmica não estacionária exatamente definida para movimento harmônico simples; • E adicionalmente, como se observou, representa-se o efeito de penetração da rajada do tipo senoidal através de uma função de deficiência de sustentação que é a função de Sears. • Combinando a representação da aerodinâmica não estacionária com a rajada harmônica simples representada pela função de Sears, pode-se estudar a resposta dinâmica deste sistema aeroelástico no domínio da frequência. 79

Filtro de Rajada • O papel da função de Sears é representar o efeito de penetração de uma flutuação de velocidade harmônica em torno de um escoamento médio não perturbado a ângulo de ataque nulo. • Este efeito é fisicamente descrito a penetração deste escoamento ao longo da corda do aerofólio, que carrega o mesmo diferentemente de uma situação onde o aerofólio começasse oscilar subitamente na mesma frequência da rajada harmônica 80

Filtro de rajada • Este atraso introduzido a medida que a rajada penetra o corpo, a uma velocidade “V” é representado pela função de Sears, que é nada mais que um filtro que atrasa este sinal de entrada no sistema. • Por este motivo, trata-se daqui em diante do conceito de filtro de rajada, o qual será a priori tratado no domínio da frequência e a posteriori no domínio do tempo. 81

Theodorsen e Sears • Comparando os dois tipos de modelos, destacase através das figuras ao lado a diferença entre eles. 82

Resposta da seção típica • Considere o modelo de seção típica com 2 GDL: • Objetivo – estudar a resposta em frequência desta seção típica, quando a mesma é perturbada por uma ação externa, na forma de uma rajada discreta, ou seja, definida por uma função determinística no domínio do tempo. 83

Sistema Aeroelástico • Equações de movimento: onde {x(iw)} vetor de deslocamentos {x(iw)}={ h(iw) a(iw) }T e o carregamento devido a rajada é {P(iw)}={ -L(iw) My(iw) }T. • Rajada harmônica (tempo): 84

Sistema Aeroelástico • Carregamento no domínio da frequência: • Refere-se a um carregamento harmônico, adequado para o estudo da resposta em frequência da seção típica em análise. • É o filtro de rajada que representa a penetração da perturbação ao longo da corda da seção típica. 85

Sistema Aeroelástico • Escrevendo o sistema na forma: onde: Vetor de coluna de rajada e assumindo uma rajada de entrada tipo “ 1 -cosseno”: tem-se a resposta em frequência do sistema aeroelástico dada por: 86

Sistema Aeroelástico • • • deve ser entendido como um vetor de resposta em frequência a uma rajada de amplitude unitária (resposta indicial) O mesmo conjunto de vetores (calculados em várias freqüências discretas) pode ser usado para várias entradas, ou perfis de rajada escolhidos para se estudar a resposta em frequência deste sistema, considerando como entrada a transformada de Fourier desta função de entrada. Por exemplo, toma-se a rajada do tipo “um-menos-cosseno”). Os vetores de saída necessários para as análises de resposta temporal são obtido da transformada inversa de Fourier (IFT) destes vetores de resposta em frequência para uma entrada, neste caso do tipo rajada “um-menos-cosseno”, As velocidade e aceleração são por sua vez obtidas da IFT de: 87

Sistema Aeroelástico • Esta propriedade de obter a resposta aeroelástica de: é possível por se estar trabalhando no domínio da frequência. • Ou seja a resposta de um sistema dinâmico a uma entrada conhecida, é resultado do produto das funções de resposta indicial X(iw) pela função de entrada wg(iw)/V. • Pode-se empregar qualquer tipo de função. Mesmo aquelas descritas discretamente no domínio do tempos, para a posteriori de empregar uma transformada discreta de Fourier para obter a sua representação em um domínio discreto de freqüências. 88

Reconstrução da resposta no domínio do tempo • Cabe destaque o emprego da transformada discreta de Fourier, ou mesmo a transformada rápida de Fourier, requer cuidado no seu emprego quanto a problemas típicos em identificação de resposta de sistema dinâmicos – Resolução temporal; – Aliasing; – Frequência de Nyquist; –. . . ; • Este tratamento do sinal no domínio da frequência para se obter a correspondente reposta no tempo baseiam-se em soluções empregadas na maioria das ferramentas comerciais, tais como o NASTRAN, ZAERO, entre outros. 89