AE712 AEROELASTICIDADE Roberto GIL Annes da Silva gilita
AE-712 AEROELASTICIDADE Roberto GIL Annes da Silva (gil@ita. br), R: 6482 - IAE/ALA-L (Túnel de Vento)
Modelos Aeroelásticos na Base Modal • Problema geral: Estruturas com múltiplos graus de liberdade Exemplo: Modelo em elementos finitos de uma semi-asa de aeronave comercial
Modelo Aeroelástico • Equações de movimento de um sistema aeroelástico geral: onde é um vetor de deslocamentos físicos estruturais. M e K matrizes de massa e rigidez, respectivamente e L representa o carregamento aerodinâmico. • As matrizes de massa e rigidez são usualmente obtidas de modelos de elementos finitos da estrutura sob análise. • Este tipo de modelo matemático prevê que a estrutura é subdividida em elementos conectados por nós, onde se calculam deslocamentos em resposta a uma força aplicada a estrutura. Neste caso a cargas aplicadas são de natureza aerodinâmica.
Carregamento Aerodinâmico • O carregamento aerodinâmico pode ser subdividido em uma parcela devido a forças externas (Le(t)) e outra incremental, dependente dos deslocamento estruturais (La (u(t), …)) • As cargas externas podem ser devido a rajadas, ação de sistemas de controle, por exemplo. São consideradas em estudos de resposta aeroelástica. • As cargas incrementais, dependentes dos deformações da estrutura, são obtidas de uma teoria aerodinâmica não estacionária tal como o DLM. • A modelagem destas cargas em conjunto coma modelagem da estrutura definem o modelo aeroelástico:
Estabilidade Aeroelástica • A versão homogênea da equação do sistema aeroelástico: • • na maior parte dos casos em estudo será linear Pode-se, da mesma forma como foi feito para o caso da seção típica, estudar a estabilidade do sistema, para se identificar condições de flutter ou divergência aeroelástica. Esta investigação também é realizada variando um parâmetro de interesse do sistema, tal como a velocidade do escoamento. Quando se estuda a estabilidade, é desejável transformar a formulação no domínio do tempo (acima), para o domínio da frequência (Laplace). Entretanto, para tal deveremos transformar as cargas aerodinâmicas para este novo domínio.
Cargas Aerodinâmicas no Domínio de Laplace • A transformação das cargas aerodinâmicas do domínio do tempo para o domínio a frequência (Laplace) pode ser realizada aplicando a definição de transformada de Laplace • Imagina-se que a força aerodinâmica é uma saída devido à estrada associada aos estados, o vetor u(t) e suas derivadas temporais. • Ou seja um carregamento qualquer pode ser representado por uma integral de Duhamel onde a função de resposta indicial do sistema é a função de transferência aerodinâmica H , ou seja, uma integral de convolução resultando em:
Cargas Aerodinâmicas no Domínio de Laplace • Cuja transformada de Laplace é: onde é a função de transferência aerodinâmica, transformada de Laplace de variável de Laplace adimensional. , com sendo a
Problema de Autovalor • O problema de autovalor associado ao sistema aeroelástico no domínio da frequência fica: • Esta é uma solução geral, onde pode-se pressupor carregamentos aerodinâmicos quaisquer, desde que se conheça a função de transferência aerodinâmica. • Este sistema pode ser particularizado para movimentos harmônicos simples, uma vez que temos soluções matemáticas que considera movimentos associados aos corpos de natureza harmônica, tal como o DLM.
Transformação para a Base Modal • Normalmente modelos dinâmicos representado por elementos finitos implicam em um número muito elevado de graus de liberdade. • O que implica também em matrizes de massa e rigidez de dimensões elevadas. • A aproximação mais adequada para a redução da dimensão, ou da ordem do sistema é transformar o modelo dinâmico estrutural para uma base modal. • Esta transformação é realizada através da solução do problema de autovalor associado, de onde se pode obter autovalores e autovetores. Estes autovetores são conhecidos também como modos naturais, ou modos de vibração, e representam um operador que transforma coordenadas de uma base física (ex. Sistema cartesiano) para uma base modal.
Representação modal • Desta forma, a representação dos deslocamento físicos estruturais na base modal é feita através da seguinte transformação: • O que representa fisicamente que um deslocamento físico pode ser escrito como uma combinação linear de coordenadas generalizadas, isto é, coordenadas que representam uma participação modal em um movimento qualquer da estrutura. • A matriz [F] é conhecida como matriz modal e é composta por vetores modais {f}I , que são os autovetores associados ao sistema dinâmico representado pelas equações de movimento sob análise.
Aplicação em aeroelasticidade • Usualmente modos críticos de flutter estão associados às frequências naturais mais baixas do sistema. • Note que o número de graus de liberdade de um sistema discreto será igual ao número de graus de liberdade associados deslocamento de pontos que discretizam este sistema. • Sendo assim pode-se eleger um subconjuntos dos modos naturais da estrutura para representar o sistema dinâmico na base modal, para o estudo de estabilidade aeroelástica por exemplo. • Esta redução de ordem é muito praticada e é uma boa aproximação para se resolver um sistema menos sujeito a instabilidades numéricas.
Modelo Aeroelástico na Base Modal • Aplicando a transformação modal ao sistema aeroelástico temos: onde:
Modelo Aeroelástico na Base Modal - MHS • Assumindo Movimento Harmônico Simples: • Pode-se estudar o problema de estabilidade resolvendo o problema do autovalor associado a este sistema. • Observe que esta consideração é pertinente uma vez que a nossa aerodinâmica não estacionária assume movimento harmônico simples associado às condições de contorno.
Movimentos Harmônicos Simples • Lembrando a equação do sistema aeroelástico, obtida assumindo a hipótese Movimento Harmônico Simples: • Pode-se estudar o problema de estabilidade resolvendo o problema do autovalor associado a este sistema de forma absolutamente análoga ao caso da seção típica. • Note que a aerodinâmica não estacionária também deve estar associada a um movimento harmônico simples associado às condições de contorno. Vamos tratar este assunto na sequência.
Equação do Potencial Aerodinâmico Linearizado • O modelo aerodinâmico agora é tridimensional, para regime compressível e não estacionário, representável em um contexto de pequenas deformações aeroelásticas como: • Esta equação é conhecida como a equação do potencial linearizado a pequenas perturbações. • velocidade do som local -> velocidade do som do escoamento não perturbado. (O Mach também o será)
Modelo Potencial Adotado • A equação básica a partir da qual os métodos de elementos discretos foram desenvolvidos é a equação do potencial aerodinâmico linearizado (EPAL) dada por: • Assumindo que o potencial varie no tempo harmonicamente, isto é a sua intensidade pode-se associar uma frequência, pode -se escrever: • O que implica em escrever a equação do potencial aerodinâmico linearizado no domínio da frequência como: onde (x, y, z) coordenadas cartesianas, k é a frequência reduzida, M o número de Mach e b um comprimento de referência.
Métodos de Elementos Discretos • São métodos baseados em soluções elementares da EPAL. • A idéia é subdividir em elementos uma determinada geometria aerodinâmica sabendo-se que, se conhece a solução elementar da EPAL, associada a cada um destes elementos. • Da composição destes elementos bem como, assumindo o princípio da superposição do efeitos potenciais, pode-se obter uma solução para um carregamento aerodinâmico no corpo.
Métodos de Elementos Discretos • Métodos de elementos discretos não estacionários usualmente são baseados na solução integral da equação do potencial aerodinâmico linearizado, neste caso no domínio da frequência, particularizada para condições de contorno que descrevem a configuração aerodinâmica de interesse. • A transformação da forma diferencial da EPAL para a forma integral é realizada aplicando-se o teorema de Green, chegando a:
Solução Elementar • Esta equação integral assume que sobre a superfície S, são distribuídas fontes js e dipolos jd (soluções elementares da equação do potencial aerodinâmico linearizado), bem como nas superfícies que definem a esteira aerodinâmica (W - Wake). • O potencial harmônico devido uma fonte e um dipolo de intensidade s e m (ou Dj ) são, por exemplo, dados por: onde, Posição da fonte Ponto que recebe Distância entre a fonte e o ponto que recebe
Kernel • Isto é, soluções elementares são função de parâmetros geométricos, numero de Mach e frequência de oscilação (frequência reduzida). • Note que existe um termo comum entre parênteses nas relações que definem as soluções elementares: • Este termo é conhecido como o Kernel da relação integral e é dado por:
Kernel • O Kernel é uma função de Green de espaço livre, da equação: • Ele representa a solução da equação acima sobre um domínio tridimensional com uma fonte ou um dipolo pontual não estacionária de intensidade unitária concentrada no ponto • Assume-se como notação para a intensidade do dipolo como Dj pois o mesmo representa um salto de potencial através da superfície de sustentação sobre a qual estes dipolos estão distribuídos.
Kernel • Rescrevendo a solução integral como função do Kernel tem-se: • A mudança de notação do argumento variável k para ik é introduzida para reforçar a natureza da intensidade do potencial que obedece uma variação harmônica simples. • Versão plana (planar): Vamos estudar um modelo mais simples, onde se pressupõem que o corpo é uma superfície de sustentação coincidente com o plano coordenado X-Y • Desta forma- assumiu-se que a coordenada Z é nula, ver equação acima.
O Método de Funções Kernel • Como já vimos, o objetivo dos método baseados em função Kernel é resolver o problema de configurações complexas, tais como aeronaves completas. • Subdivide-se a superfície destas configurações aerodinamicamente complexas, bem como a esteira que se forma a jusante do corpo elementos geométricos discretos de área de tamanho finito, aos quais associam-se pontos de referência. • Sobre cada ponto deste área elementar, assume-se que existe uma distribuição fontes e dipolos. Estas singularidades são soluções elementares da equação integral (e também da diferencial) que modela o nosso problema.
Superfície assumida: Placa Plana • No caso de estudos aerodinâmicos em um contexto linear, a pequenas perturbações de superfícies de sustentação finas, tal como no caso de asas, o efeito da espessura é de segunda ordem. • Desta forma é consistente assumir apenas uma distribuição de dipolos para representar o salto de potencial que ocorre no caso da asa oscilando segundo um movimento harmônico simples, bem como o salto de potencial que ocorre na esteira. – Singularidade do tipo fonte usualmente são empregadas para modelar os efeitos de espessura, enquanto que as singularidades dipolo servem para modelar o efeito de salto de potencial, o qual está associado a um salto de pressão (o mesmo raciocínio foi usado por Theodorsen, quando usou uma fonte e um sorvedouro aproximando-se de casa lado – extradorso e intradorso – do aerofólio).
Sustentação não estacionária • Portanto o Kernel neste caso fica reduzido a: • Esta relação integral representa uma distribuição de dipolos sobre a superfície de sustentação e a esteira. • Ou seja, uma vez que existe um salto de potencial da esteira, é necessário discretizá-la para representar os efeito de memória representado pelo atraso aerodinâmico induzido pela esteira de vórtices da superfície de sustentação. • Isto implica em um aumento do esforço computacional em termos de alocação de memória, por exemplo, uma vez que é necessário assumir que a esteira estende-se a uma distancia suficientemente grande do bordo de fuga.
Potencial de Aceleração • Desta forma, é conveniente recorrer a uma formulação em termos do potencial de aceleração, pois se o potencial de velocidade satisfaz a equação: • O potencial de aceleração também vai satisfazer, uma vez que se pode escrever o a equação do potencial aerodinâmico linearizado como função do potencial de aceleração. • Como o potencial de aceleração é na realidade a pressão linearizada, e na esteira não se tem salto de pressão, será necessário somente discretizar o domínio que compreende a superfície da asa.
Potencial de Aceleração • Pode-se associar o potencial de aceleração ao potencial de velocidade através da relação que define a pressão linearizada como função do potencial de velocidade.
Potencial de Aceleração • Da mesma forma, as derivadas por potencial de velocidade bem como o potencial de aceleração satisfazem a equação do potencial aerodinâmico linearizado. • Como é uma equação diferencial, pode-se obter a relação inversa como: com x 0 uma variável auxiliar.
Kernel na relação integral • A escolha do limite inferior da integral como é feita para satisfazer a condição que j desaparece quando x , ou seja, a frente da superfície de sustentação • Substituindo a relação para o salto do potencial de velocidade Dj pelo potencial de aceleração chega-se a seguinte relação integral: onde: obtido quando assumimos o MHS
O novo Kernel • Ky é o novo Kernel, ou conhecido como Kernel associado ao potencial de aceleração. • Note que ao eliminarmos a necessidade de modelar esteira, complicamos a forma de obter o Kernel da relação integral, uma vez que o mesmo depende de uma integração do Kernel associado ao salto de potencial de velocidades gerado pela distribuição de dipolos. coeficiente de pressão associado a intensidade do dipolo de pressão
Particularizando a solução • Para particularizar a solução do problema integral, devemos associar condições de contorno que definem o nosso corpo bem como os movimentos a ele associados. • Convenientemente, ao escrevemos a relação entre o salto de velocidade (downwash) e a condição de contorno, ao representar através da relação linearizada, temos, transformado para o domínio da frequência: – Note que jn representa a devida do potencial na direção normal, e h(x, y, 0) uma função de deslocamento da superfície de sustentação. (condição de contorno de Neumann)
Solução de Küssner • Caso “planar” - vetor n alinhado com o eixo “z”. Derivada do potencial em relação a z – velocidade normal induzida (downwash): • Fazendo as substituições do que definimos anteriormente: solução de Küssner para o potencial de aceleração associado ao downwash.
Alguns métodos. . . • O que apresentamos anteriormente é a base para todos os desenvolvimentos baseados em métodos de função Kernel discretos. • Avaliar o Kernel não é tarefa fácil, especialmente quando mesmo refere-se a um salto de pressão (potencial de aceleração). • A diferenças entre os métodos baseados em função Kernel são essencialmente associadas a técnicas que buscam uma solução racional para esta função que é complicada. • Dentre alguns métodos clássicos, podemos citar: – Doublet Lattice Method (DLM) - Albano e Rodden (1969), – Doublet Point Method (DPM) - Ueda e Dowell (1982), – ZONA 6 Method – Chen e Liu (1990), –. . .
O Método Doublet Lattice
Coeficientes de influência • O conceito básico dos métodos de elementos discretos é assumir que o corpo é subdivididos elementos, conhecidos como painéis • Cada painel possui um ponto conhecido como ponto de controle onde se impõem a condição de contorno (e se associa ao downwash induzido pelo movimento). • A equação integral é aproximada pela soma de integrais elementares associada a cada painel. • As integrais elementares que representam as influências de um painel nele mesmo, assim como a interferência mútua entre os painéis implica em um sistema de equações que relacionam pressões ao downwash. – Como resultado tem-se um sistema de equações algébricas que pode ser representado na forma matricial.
Matriz AIC • Esta matriz é conhecida como matriz de coeficientes de influência (Aerodynamic Influence Coefficients matrix - AIC), e tem como papel relacionar o downwash induzido por um movimento (condição de contorno) que implicará em uma variação de pressão percebida por todos os painéis. • Esta forma linear é justificada pelo principio da superposição das influências exercidas pelas singularidades (dipolos) em cada painel. • A variação de pressão no painel “j” implica em uma variação no downwash no painel “i”.
Matriz AIC • i painel que percebe o downwash, j painel ao qual está associado o salto de pressão onde D é a matriz de coeficientes de influência. E D é dado por: uma função exclusivamente do Mach, geometria e frequência reduzida.
Condição de Contorno • A forma de se resolver o problema de calcular o carregamento aerodinâmico não estacionário empregando este método consiste em estabelecer primeiramente condições de contorno que caracterizam o movimento da superfície a ser modelada: onde h é um vetor de deslocamentos físicos associados um modo “i”, por exemplo Componentes da relação da condição de contorno
Fechando o problema • Como se conhece o vetor de downwash pois o mesmo está associado a condição de contorno, bem como as informações necessárias para se obter o Kernel (geometria, frequência reduzida e número de Mach) teremos como incógnitas as pressões (ou o potencial de aceleração). • Para tal, inverte-se a matriz D chegando a: • Como estamos no domínio da frequência, temos o downwash representado por:
Carregamento Aerodinâmico • Ou seja, fechamos a nosso problema com a possibilidade de obter uma distribuição de pressão nos painéis, a qual pode ser relacionada a uma força aerodinâmica por: onde S é uma matriz que representa as áreas dos painéis e F(ik): é um operador que representa a derivada substancial do modo de movimento, responsável por gerar as pressões.
Carregamentos Generalizados • Lembrando que : • E o vetor de forças generalizadas, para um modo "i"
Problema ! • Malhas de elementos finitos usualmente são diferentes da malha aerodinâmica. • Precisamos de informações (normalwash induzido pelo movimento da superfícies de sustentação) exatamente nos pontos de controle adotados pelo método. • No caso do DLM, a ¾ da corda do painel no centro do mesmo. • Busca de uma forma de representar (projetar) os modos estruturais nos pontos de controle aerodinâmicos
Interconexão Fluido-Estrutura Modelo em elementos finitos Modelo em paineis (DLM) Deslocamentos dos painéis Deslocamentos dos nós
Interconexão Fluido-Estrutura • Assume-se que existe um operador [G] que representa a transformação dos deslocamentos por ora definidos nós do modelo em elemento finitos para os pontos de controle dos painéis aerodinâmicos: • Este processo de transformação pode se feito através de uma interpolação dos deslocamentos estruturais em pontos de interessa na malha aerodinâmica. Vale a mesma transformação para os modos de forma: • Lembrando que eles são os mesmos, só mudam as coordenadas onde as amplitudes modais são observadas
Interconexão Fluido-Estrutura • Não só os deslocamentos, mas os carregamentos devem ser transformados de um sistema para o outro. • Para tal recorre-se ao principio dos trabalhos virtuais, uma vez que o trabalhos realizado pelas forças aerodinâmicas tanto em pontos da estrutura como em pondo distintos associados geometria da malha aerodinâmica deve ser o mesmo: e esta igualdade implica em: uma vez que temos a transposta do vetor de deslocamentos virtuais empregados para calcular o trabalho realizado pela força.
Interpoladores dos modos • O interpolador mais adequado para esta transformação são aproximações por ajuste de uma função do tipo spline. • A matriz G resultante da seleção da interpolação adequada, é conhecida normalmente como matriz de splines, cujos coeficientes são obtidos de funções de interpolação.
Carregamento Aerodinâmico Transformado para a Base Modal • O carregamento aerodinâmico que, a priori, era calculado em pontos definidos por uma malha aerodinâmica pode ser representado nos pontos que definem a malha estrutural por: e da mesma forma, o carregamento aerodinâmico generalizado (carregamento na base modal) é dado por: onde: é o operador que representa a derivada substancial associado a relação para a condição de contorno.
Modelo Aeroelástico Completo na Base Modal • Podemos representar o sistema aeroelástico na base modal como: com:
Métodos de solução de Flutter • E como podemos aproveitar a relação que representa o sistema aeroelástico na base modal para o estudo do flutter? • Note que temos o mesmo problema identificado quanto estudamos a estabilidade aeroelástica da seção típica: ou seja, temos como argumento a frequência de movimento circular e a frequência reduzida, que é dependente da velocidade.
Método K • Desta forma, torna-se necessário empregar uma técnica de solução do problema de flutter, tal como empregamos o método V-g (ou k) para a seção típica com dois graus de liberdade. • Neste caso, o método k é baseado na solução do problema de autovalor da seguinte equação: • Assumindo que existe um amortecimento artificial necessário para garantir que a solução do problema de autovalor da equação acima represente um movimento harmônico simples. • Esta idéia de amortecimento artificial foi originalmente introduzida por Theodorsen.
Método K • Deve-se notar que ao assumir amortecimento artificial, o valor deste amortecimento fora da condição de flutter não tem significado físico. • Este é um artifício usado para compor uma curva de evolução do amortecimento necessário para sustentar um movimento harmônico simples, pois é o que a equação representa. • Somente na condição de flutter este amortecimento tem significado físico, ou seja, quando gs=0. • O procedimento empregado para resolver a estabilidade do sistema pelo método k é exatamente o mesmo empregado quando estudamos a seção típica.
Exemplo • Resultado típico do método k, na forma de um diagrama V-g-f
Cálculo de flutter de uma asa • Compreender o o processo de cálculo de flutter usando ume ferramenta computacional comercial. • Softwares ZAERO e NASTRAN: – Ferramentas computacionais que permitem o modelagem do ponto de vista aeroelástico; – O NASTRAN é um software que permite a modelagem da estrutura e da aerodinâmica não estacionária, bem como possui implementado métodos de solução de flutter; – O ZAERO por sua vez, permite a modelagem aerodinâmica não estacionária, possui implementado métodos de solução de flutter e o tratamento da aeroelasticidade integrada a sistemas de controle
Caso de estudo - exemplo • Asa Aeroelástica simplificada – Modelo consiste em uma placa de alumínio com uma massa na sua ponta.
Modelo Aerodinâmico • Emprego de um método de elementos discretos tal como o Doublet Lattice ou o ZONA 6
Arquivo de entrada do ZAERO • Cabeçalho: exemplo HA 145 E. INP • • • • • $******************$ $ Z A E R O I N P U T (HA 145 E. INP) $ $******************$ $ $ THIS CASE DEMONSTRATES A SINGLE WING, SUBSONIC FLUTTER $ CASE USING K AND G FLUTTER SOLUTION METHODS. $ $Begin Executive Control Section ASSIGN FEM=asaest 56 -1. f 06, PRINT=0, FORM=MSC, BOUND=ASYM DIAG 1 CEND $Begin Case Control Section TITLE= SUBSONIC FLUTTER ANALYSIS (HIGH ASPECT RATIO WING) ECHO = SORT SUBCASE = 1 SUBTITLE=ZONA 6 METHOD LABEL=MACH NUMBER = 0. 10, NON-MATCH POINT FLUTTER ANALYSIS FLUTTER=100 O cabeçalho permite que se caracterize o problema quanto ao método de solução, arquivo de entrada com a informação dinâmica, e outros comandos de controle e diagnóstico do modelo em estudo.
Modelo Dinâmico na Base Modal: • Resultado da análise modal feita através do software NASTRAN; • Apresenta um arquivo de saída o qual consiste em um relatório onde se apresenta as massas, rigidezes generalizadas, modos de vibração e informação geométricas do modelo. • É gerada de forma completa para servir como entrada para o ZAERO estabelecendo que os dados de entrada devem ser replicados no relatório de saída:
Modelo Aerodinâmico • • • • BEGIN BULK $ $ * AERO PARAMETERS / FLIGHT CONDITIONS * $ $. . . 1. . |. . . 2. . . |. . . 3. . . |. . . 4. . . |. . . 5. . . |. . . 6. . . |. . . 7. . . |. . . 8. . . |. . . 9. . . |. . . 10. . |$ $ $ ACSID XZSYM FLIP FMMUNIT FMLUNIT REFC AEROZ 0 NO NO KG M 0. 040 $ $ IDMK MACH METHOD IDFLT SAVE <--FILENAME--> PRINT $ MKAEROZ 80. 10 0 0 SAVE ASA 56. AIC 0 +MK 1 $ FREQ 1 FREQ 2 ETC $ +MK 1 0. 05 0. 08 0. 10 0. 11 0. 12 0. 14 0. 16 0. 18 +MK 2 0. 20 0. 25 0. 50 0. 75 1. 00 1. 20 1. 40 2. 00 MKAEROZ por sua vez é a tabela de frequências reduzidas empregada para a geração das matrizes de Coeficientes de influência Q(ik) AEROZ define um comprimento de referência para se obter a velocidade da frequência reduzida para o método k, por exemplo a matriz Q(ik) é armazenada em um arquivo binário para análises posteriores
Modelo Aerodinâmico: Geometria • • $ * WING MACROELEMENT * $ $ WID LABEL ACOORD NSPAN NCHORD LSPAN ZTAIC PAFOIL 7 $ CAERO 7 101 WING 0 11 5 $ XRL YRL ZRL RCH LRCHD ATTCHR +CA 101. 0. 0. 04000 0 0 $ XTL YTL ZTL TCH LTCHD ATTCHT +CA 102. 0 0. 35 0. 040 0 $ $ +CA 101 $ +CA 102 $ CAERO 7 é o comando de entrada que permite estabelecer as propriedades da geometria a ser discretizada por painéis. No programa é conhecido como uma estrutura do tipo MACROELEMENTO. É composto pelas coordenadas do bordo de ataque da raiz, XRL, YRL, ZRL, e as coordenadas do bordo de ataque da ponta da asa; acomanhadas pelas cordas da raiz RCH e da ponta TCH. NSPAN e NCHORD são os Números de divisões ao longo da envergadura e corda respectivamente.
Modelo Aerodinâmico: Geometria • Por exemplo NSPAN = 11 e NCHORD = 5 representa 10 painéis ao longo da corda e 4 painéis ao longo da envergadura respectivamente. • Os demais campos do comando CAERO 7 podem ser visto no manual do usuário do ZAERO e não se aplicam para o presente modelo. • As superfícies de sustentação de uma aeronave, por exemplo pode ser representado por vários macroelementos, cada um representando por painéis as superfícies de sustentação.
Interconexão entre as malhas • Note que até o presente momento, modelo-se a asa com 40 painéis, associados a 40 pontos de controle. • E o nosso modelo estrutural é composto por 180 elementos de placa, separados por 217 nós
Interpolação dos deslocamentos • • • $ * SURFACE SPLINE FIT ON THE WING * $ $ EID MODEL CP SETK SETG DZ SPLINE 1 100 WING 101 100 0. 0 $ $ SETID MACROID BOX 1 BOX 2 ETC PANLST 2 101 101 THRU 140 $ $ SID G 1 G 2 ETC SET 1 100 1 THRU 216 EPS $ $ $ $ $ A sequência de comandos acima representa a operação de interpolação abaixo através de splines de superfície SPLINE 1 relaciona logicamente as coordenadas dos pontos de controle (101) dos painéis, calculadas internamente, e a as coordenadas dos nós estruturais (100) importadas. PANLST 2 define um conjunto de painéis pertencente ao macroelemento 101, discriminado como macroid, e relacionado ao CAERO 7 101. Note que a numeração começa pelo valor do ID do CAERO 7 e termina com a quantidade de painéis somada ao número do primeiro painel. SET 1 contém a numeração dos nós cujas coordenadas são importadas do relatório que contém a solução dinâmica na base modal.
Conclusão do Modelo Aeroelástico • O modelo aeroelástico na base modal está concluído, ou seja temos a equação: e, desta forma, pode-se aplicar um método de solução de flutter na equação acima, como por exemplo o Método K e o Método G.
Método G • Este método consiste em resolver o problema de flutter de forma paramétrica, onde ao invés de se estabelecer uma tabela de frequências reduzidas para proceder com a análise, é estabelecido um conjunto de velocidades. • Deste conjunto de velocidades, emprega-se um procedimento iterativo de onde se obtém a frequência reduzida para o cálculo da matriz de coeficientes de influência. • No entanto, como se empregou uma tabela de frequências reduzidas para gerar as matrizes de coeficientes de influência, as matrizes correspondentes aos valores intermediários de frequências reduzidas são obtidas de um processo de interpolação; • Assumindo que existe um amortecimento artificial necessário para garantir que a solução do problema de autovalor da equação acima represente um movimento harmônico simples. • Esta idéia de amortecimento artificial foi originalmente introduzida por Theodorsen.
Método G • A vantagem deste método é que o mesmo resulta em amortecimento subcríticos com significado físico, baseado em uma hipótese de pequenas perturbações em amortecimento podem vir a representar com propriedade o amortecimento nestas condições. • A equação a ser resolvida pelo método G é a mesma do método K, ou seja: onde da mesma forma, pode-se estabelecer que existe um amortecimento estrutural que pode se prescrito (gs), que contribuirá com o amortecimento total, ou seja aerodinâmico mais estrutural.
Amortecimento estrutural • A forma de se prescrever o amortecimento estrutural pode ser feita através do ZAERO incluindo uma tabela de amortecimento estrutural como função da frequência associada ao problema de autovalor associado ao método G ou K: • • • $ TABDMP 1 10 +TAB 1 0. 0 G 0. 01 +TAB 1 1000. 0. 01 onde se representa através desta tabela, por exemplo uma independência do amortecimento estrutural em um intervalo de frequência de 0 a 1000 Hz
Solução do problema de Flutter • • • $ * NON-MATCHED POINT FLUTTER ANALYSIS * $ $ SETID SYM FIX NMODE TABDAMP MLIST CONMLST FLUTTER 100 ASYM 100 10 $ $. . . 1. . |. . . 2. . . |. . . 3. . . |. . . 4. . . |. . . 5. . . |. . . 6. . . |. . . 7. . . |. . . 8. . . |. . . 9. . . |. . . 10$ $ SETID IDMK DEN FTMUNIT FTLUNIT VREF FLUTTF PRINT FIXMDEN 100 80 1. 225 KG M 0 $ V 1 V 2 V 3 ETC +FL 1 0. 50 1. 00 2. 00 3. 00 4. 00 5. 00 6. 00 8. 00 +FL 2 10. 00 12. 00 14. 00 16. 00 18. 00 20. 00 22. 00 24. 00 +FL 3 26. 00 28. 00 30. 00 32. 00 34. 00 36. 00 38. 00 40. 00 $ $ +FL 1 $ +FL 2 +FL 3 Esta sequência de comandos representa o método de solução do problema de estabilidade aeroelástica, estabelecendo uma faixa de velocidade de interesse para a análise de flutter. FIXMDEN representa uma análise ao nível do mar (1. 225 kg/m 3) Assumindo que o sistema de unidades é [SI], empregando as Matrizes de coeficientes de influência definidas em MKAEROZ 80. Aqui é exemplificada uma variação de 0. 5 a 40 m/s.
Controle de processo de solução • Para acompanhar os passos intermediários, pode-se estabelecer comando tais como PLTAERO e PLTMODE, onde os mesmos permitem a visualização da malha aerodinâmica antes e depois da interpolação, respectivamente. • PLTFLUT permite visualizar de forma animada o modo de flutter, ou seja um modo natural que será complexo e resultante do calculo do problema de autovalor do sistema aeroelástico: • • • $ * PLOT AERO MODEL BY PLTAERO * PLTAERO 11 YES 0 TECPLOT AERO 1. PLT $ $ * PLOT FLUTTER MODE BY PLTFLUT * PLTFLUT 10 100 1 8. 3 TECPLOT FLUT 1. PLTMODE 10 SYM 1. 3 TECPLOT MODE 1. PLT $ $ * V-G PLOT * $ PLTVG 11 100 V VG 1. PLT $ $
Solução final • O resultado da análise é apresentado portanto na forma de diagramas V-g-f, através do comando: • • • $ $ PLTVG 11 * V-G PLOT * 100 V $ VG 1. PLT o qual vai gerar um arquivo de saída com as evoluções modais (vg 1. plt) • O ZAERO fornece um resultado da análise aeroelástica na forma de um arquivo ASCii, tal como a saída F 06 do NASTRAN de onde podese obter um sumário da análise as velocidades de flutter calculadas assumindo alguns valores de amortecimento estruturais, por exemplo, na sequência:
Sáida do ZAERO • • • • FLUTTER SPEED (M /SEC) / FREQUENCY (HERTZ) AS A FUNCTION OF THE ASSUMED STRUCTURAL DAMPING MODE G = 0. 0% 0. 5% 1. 0% 1. 5% 2. 0% 2. 5% 3. 0% ------------------------------------------------4 19. 2/ 25. 137 19. 4/ 25. 051 3. 5% 19. 5/ 19. 6/ 19. 8/ 19. 9/ 20. 1/ 20. 2/ 20. 4/ 24. 966 24. 917 24. 908 24. 899 24. 890 24. 881 END OF K-METHOD FLUT TER EVALUATION ************************ *** *** Z A E R O T E R M I N A T E D *** *** NORMAL LY *** *** 16: 37: 20 11/06/2009 *** ************************* 4. 0% 24. 872
Saída do ZAERO • Da saída do ZAERO pode-se obter as velocidade de flutter, bem como as curvas de evolução modal, tanto para o método K, quanto para o método G, pois ambos são resolvidos simultaneamente no processo de análise aeroelástica. • Referência para o Método G: - ZAERO_THEORETICAL_MANUAL_8. 2. pdf
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